172 古典概型與幾何概型

1、17、概率172 古典概型與幾何概型【知識網(wǎng)絡(luò)】1 理解古典概型，掌握古典概型的概率計算公式；會用枚舉法計算一些隨機事件所含的 基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。2 了解隨機數(shù)的概念和意義，了解用模擬方法估計概率的思想；了解幾何概型的基本概念、特點和意義；了解測度的簡單含義；理解幾何概型的概率計算公式，并能運用其 解決一些簡單的幾何概型的概率計算問題。典型例題】例 1(1)如圖所示，在兩個圓盤中，指針在本圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機會均等，那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是4A.-B.C.9D.2)先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標有點數(shù)1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的點數(shù)分別

2、為X、Y,則log2x Y 1的概率為A.B. 36C.112D.在長為18cm的線段AB上任取一點M,并以線段AM為邊作正方形，則這個正方形 的面積介于36cm2與81cm2之間的概率為()A.1B.-2C.D.S向面積為S的厶ABC內(nèi)任投一點P,則隨機事件“ APBC的面積小于一”的概率3為，. 任意投擲兩枚骰子，出現(xiàn)點數(shù)相同的概率為.例2考慮一元二次方程x2+mx+n=0,其中m, n的取值分別等于將一枚骰子連擲兩次先后 出現(xiàn)的點數(shù)，試求方程有實根的概率。例 3甲、乙兩人約定于 6 時到 7 時之間在某地會面，并約定先到者應(yīng)等候另一個人一刻 鐘，過時即可離去求兩人能會面的概率例 4拋擲骰

3、子，是大家非常熟悉的日常游戲了 某公司決定以此玩拋擲（兩顆）骰子的游戲，來搞一個大型的促銷活動“輕輕松 松拋骰子，歡歡樂樂拿禮券”方案1：總點數(shù)是幾就送禮券幾十元總點數(shù)23456789101112禮券額2030405060708090100110120方案2：總點數(shù)為中間數(shù)7 時的禮券最多，為120元；以此為基準，總點數(shù)每減少或 增加 1，禮券減少 20 元總點數(shù)23456789101112禮券額2040608010012010080604020方案3 總點數(shù)為2和12時的禮券最多，都為120元；點數(shù)從2到 7遞增或從12到 7 遞減時，禮券都依次減少20 元總點數(shù)23456789101112

4、禮券額12010080604020406080100120如果你是該公司老總，你準備怎樣去選擇促銷方案?請你對以上三種方案給出裁決【課內(nèi)練習(xí)】1 某班共有 6 個數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組，本學(xué)期初有其它班的3 名同學(xué)準備加入到這6 個 小組中去，則這3 名同學(xué)恰好有2 人安排在同一個小組的概率是 （ ）23 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 15105A.B.C.D. HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 5248112盒中有 1 個紅球和 9 個白球，它們除顏色不同外，其他方面沒有什么差別.現(xiàn)由 10

5、人依次摸出1個球，設(shè)第1個人摸出的1個球是紅球的概率為P,第8個人摸出紅球 的概率是匕，則（）81A. P8= P,881如圖， A、B、率為11A.-B.2321C.D.344B.卩廠尹1C、D、E、F 是圓 O 的六個等分點，則轉(zhuǎn)盤指針不落在陰影部分的概 F （）C. P8=P1D. P8=04兩根相距 3m 的木桿上系一根拉直的繩子，并在繩子上掛 都大于1m的概率為11A.B.-23C第3 題圖彩珠，則彩珠與兩端距離（）1C.42D.-3一次有獎銷售中，購滿100元商品得1 張獎卷，多購多得.每 1000張卷為一個開獎單 位，設(shè)特等獎 1 個，一等獎 5 個，二等獎 100 個.則任摸一

6、張獎卷中獎的概率 為某學(xué)生做兩道選擇題，已知每道題均有4個選項，其中有且只有一個正確答案，該學(xué) 生隨意填寫兩個答案，則兩個答案都選錯的概率為 在圓心角為150的扇形AOB中，過圓心O作射線交AB于P,則同時滿足：ZAOP 三45。且ZBOP三75。的概率為 .某招呼站，每天均有3輛開往首都北京的分為上、中、下等級的客車.某天小曹準備 在該招呼站乘車前往北京辦事，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車順序.為了盡 可能乘上上等車，他將采取如下決策：先放過第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第 二輛，否則上第三輛.（ 1）共有多少個基本事件？（2）小曹能乘上上等車的概率為多少？設(shè)A為圓周上一定點，在圓周上

7、等可能的任取一點P與A連結(jié)，求弦長超過半徑的耳3倍的概率正面體ABCD的體積為V, P是正四面體ABCD的內(nèi)部的點.1設(shè)“ VPABC三V ”的事件為X求概率P(X)；P-ABC 411設(shè)“ VP ABC三一V且Vp BCD三一 V ”的事件為Y求概率P(Y).P-ABCP-BCD17、概率172 古典概型與幾何概型A組1 取一個正方形及其它的外接圓，隨機向圓內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落入正方形外的概率為2A.兀兀一2 B.兀D.-兀42. 甲、乙、丙三人隨意坐下一排座位，乙正好坐中間的概率為A.1B.3C.D. 已知橢圓+蘋=l(ab0)及內(nèi)部面積為S=nab, A、, A2是長軸的兩個頂點，B,

8、a 2 b21 2 1B2是短軸的兩個頂點，點P是橢圓及內(nèi)部的點，下列命題正確的個數(shù)是()厶PAA2為鈍角三角形的概率為1；厶PB1B2為直角三角形的概率為0；bPB1B2為鈍角三角形的概率為；1 2 aAPAA。為鈍角三角形的概率為一；1 2 aa 厶pb1b2為銳角三角形的概率為。1 2 aA. 1B。 2C。 3D。 4 古典概型與幾何概型的相同點是，不同點是基本事件的連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.其中“恰有兩枚正面向上”的事件包含個等可能基本事件.任取一正整數(shù)，求該數(shù)的平方的末位數(shù)是1的概率.如圖，在圓心角為90的扇形中，以圓心O為起點作射線OC,求使得ZAOC

9、和ZBOC都不小于30的概率.如圖，在等腰三角形ABC中，ZB=ZC=30 ,求下列事件的概率:問題1在底邊BC上任取一點P,使BPVAB;問題2在ZBAC的內(nèi)部任作射線AP交線段BC于P,使BPVAB.P第8題17、概率17.2 古典概型與幾何概型B組1. 在20瓶飲料中，有2瓶過了保質(zhì)期，從中任取1瓶，恰好為過期飲料的概率為（）1111A.B。CoDo 2 10 20 402. 一個罐子里有6只紅球，5只綠球，8只藍球和3只黃球。從中取出一只球，則取出 紅球的概率為（）1536A.B oC oD o 22 22 11 113.已知 O（0，0），A（30，0），B（30， 30），C（0，

10、30），E（12，0），F(xiàn)（30，18）， P（18，30），Q （0，12），在正方形OABC內(nèi)任意取一點，該點在六邊形OEFBPQ內(nèi) 的概率為（）A.425Bo2125Co725Do16254.若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m、n作為P點的坐標，則點P落在圓x2+y2=16內(nèi)的概率是5 在所有的兩位數(shù)（ 1099）中，任取一個數(shù)，則這個數(shù)能被 2 或 3 整除的概率 是 6.在厶AOB中，ZAOB=60, OA=2, OB=5，在線段OB上任取一點C。試分別求下列 事件的概率：厶AOC為鈍角三角形；、AOC為銳角三角形；厶AOC為銳角三角形。7.在區(qū)間T, 1上任取兩實數(shù)a、b求二次方程

11、x2+2ax+b2=0的兩根都為實數(shù)的概率.8. 一海豚在水池中自由游弋.水池為長30m，寬20m的長方形，隨機事件A記為“海 豚嘴尖離岸邊不超過 2m”（1）試設(shè)計一個算法（用偽代碼表示），使得計算機能模擬這個試驗，并估算出事件 A 發(fā)生的概率；（2）求P （A）的準確值.參考答案172 古典概型與幾何概型典型例題】例 1(1)A。C.提示：總事件數(shù)為36種。而滿足條件的(x, y)為(1, 2), (2, 4), (3, 6),共 3 種情形。D.提示：M只能在中間6cm9cm之間選取，而這是一個幾何概型。1(4)作AABC的邊BC上的高AD,取EUAD且ED=AD，過E作直線MNBC分別

12、3交AB于M, AC于N,則當P落在梯形BCNM內(nèi)時，APBC的面積小于 ABC的面積故 P=S梯形BCNMSAABC1(5) /。提示：總事件數(shù)為6X6=36種，相同點數(shù)的有6種情形。6例2由方程有實根知：m2三4n.由于n = N*,故2WmW6.骰子連擲兩次并按先后所出現(xiàn)的點數(shù)考慮，共有6X6=36種情形.其中滿足條件的有:m=2, n只能取1,計1種情形；m=3, n可取1或2,計2種情形;m=4, n可取1或2、3、4,計4種情形；m=5或6, n均可取1至6的值，共計2X6=12種情形.19故滿足條件的情形共有1+2+4+12=19 (種)，答案為 .36例 3以 x 和 y 分別

13、表示甲、乙兩人到達約會地點的時間，則兩人能夠會面的條件是|x- y| 15 .在平面上建立直角坐標系如圖7,則(x, y)的所有基本事件可以看作是邊長為 60 的正方形，而可能會面 的時間由圖中的陰影部分所表示.故602 - 4527P(兩人能會面)=:.60 2 167答兩人能會面的概率為二.16例4由圖可知，等可能基本事件總數(shù)為36種.其中點數(shù)和為2的基本事件數(shù)為1個，點數(shù)和為3的基本事件數(shù)為2個，點數(shù)和為4 的基本事件數(shù)為3個，點數(shù)和為5的基本事件數(shù)為4個，點數(shù)和為6的基本事件數(shù)為5個， 點數(shù)和為7的基本事件數(shù)的和為6個，點數(shù)和為8的基本事件數(shù)為5個，點數(shù)和為9的基本事件數(shù)為4 個，點數(shù)

14、和為10的基本事件數(shù)為3個，點數(shù)和為11的基本事件數(shù)為2個 點數(shù)和為12的基本事件數(shù)為1 個根據(jù)古典概型的概率計算公式易得下表：點數(shù)和23456789101112概率123456543213636363636363636363636678910111256789101145678910345678923456781234567123456第二次拋擲后向上的點第一次拋擲后向上的點例 4 答圖由概率可知，當點數(shù)和位于中間（指在 7 的附近）時， 概率最大，作為追求最大效益與利潤的老總，當然不能選 擇方案 2，也不宜選擇方案 1，最好選擇方案 3另外，選擇方案3，還有最大的一個優(yōu)點那就是，它 可造成

15、視覺上與心理上的滿足，顧客會認為最高獎（120 元）可有兩次機會，即點數(shù)和為2與 12，中次最高獎（100 元）也有兩次機會，所以該方案是最可行的，事實上也一 定是最促銷的方案我們還可以從計算加以說明三個方案中，均以拋擲36 次為例加以計算（這是理論平均值）：點數(shù)和23456789101112合計所需點數(shù)和出現(xiàn)的次數(shù)12345654321禮券額方案1禮券額20304050607080901001101202520方案1各點數(shù)和所需禮券額2060120200300420400360300220120方案2禮券額20406080100120100806040202920方案2各點數(shù)和所需禮券額20

16、801803205007205003201808020方案3禮券額120100806040204060801001202120方案3各點數(shù)和所需禮券額120200240240200120200240240200120從表清楚地看出，方案3 所需的禮券額最少，對老總來說是應(yīng)優(yōu)先考慮的決策【課內(nèi)練習(xí)】Do 3個人加入6個小組中有36種方法。3人中恰有2人在同一小組的，于是只須加 入兩個小組，共有空5 =15種選擇，而3人的分組又有6種情形，故答案為二仝。2 216 12C。提示:雖然摸球的順序有先后，但只需不讓后摸的人知道先摸人摸出的結(jié)果，那么 各個摸球者摸到紅球的概率都是相等的，并不因摸球的順序

17、不同而影響到其公平3 B。1B。提示：記“彩珠與兩端都大于lm”為事件A,則P(A)=3。51 + 5 +100 _ 53 1000 一500 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark136 o Current Document /3 x 39=4x41615。提示：P點只能在中間一段弧上運動，該弧所對的圓心角為150 -45 -75即就是 30,30(1)三類客車分別記為上、中、下.則有如下的基本事件上-中-下；上-下-中；中-上-下；中-下-上；下-上-中；下-中-上.因此，基本事件總數(shù)為 6 個.(2)小曹能乘上上等車的事件記為A,則A中包含上述事件中 的：中

18、-上-下；中-下-上；下-上-中，故31P蔦=夕1答共有6個基本事件，能乘上上等車的概率為2 -連結(jié)圓心O與A點，作弦AB使ZAOB=120，這樣的點B有兩點，分別記為B1與B2，僅當P在劣弧BB上取點時，AP嵐OA,此時ZB1OB2=120，故所求的概率2 1 2 1 2120 1為 二360 310.分別取 DA、DB、DC 上的點 E、F、G,并使 DE=3EA，DF=3FB, DG=3GC，并連結(jié)EF、FG、GE,則平面EFG平面ABC.C當P在正四面體DEFG內(nèi)部運動時，滿足VABC1VDE327V，故 P(X)= D-EFG = ()3 = (一)3 =4VDA464D-ABC在A

19、B上取點H,使AH=3HB,在AC上取點I,使AI=3IC，在AD上取點J 使AJ=3JD，則P在正四面1體AHIJ內(nèi)部運動時，滿足VPBCD三V .P-BCD結(jié)合，當P在正四面體DEFG的內(nèi)部及正四面體AHIJ的內(nèi)部運動時，亦即P在正11四面體EMNJ內(nèi)部運動時，同時滿足VPABC三V且VPBCD三V，于是 P-ABCP-BCDP(Y)=VJ EMNVD - ABC=J )3 = (1)3 =丄DA 2817、概率172 古典概型與幾何概型A組1 B。提示：所求概率為圓面積與正方形面積的差值除以圓面積。B。提示：乙可選3個位置中的一個坐下。D。提示：是正確的?；臼录牡瓤赡苄?；有限性與無限

20、性的區(qū)別.3。提示：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）。一個正整數(shù)的平方的末位數(shù)字只取決于該正整數(shù)的末位數(shù)，它必然是0， 1， 1， 9 中的任意一個，因而基本事件為 。=1, 2, 3,，9，共10個.正整數(shù)的平方的末位數(shù)是1的事件A=1，9，共2個.21因為所有這些事件都是等可能基本事件，故由概率的計算公式得P（A）二一=-.10 5記A=作射線OC,使ZAOC和ZBOC都不小于30，作射線OD、OE使ZAOD=30。,30 1ZAOE=60.當 0C 在ZDOE 內(nèi)時，使ZAOC 和 ZBOC 都不小于 30,則 P（A）=.90 3問題1,因為點P隨機地落在線段BC上，故線段BC為區(qū)域D.以B為圓心、BA為 半徑畫弧交BC于M,則P必須落在線段BM內(nèi)才有BPBM=BA，于是BABCBA _丄逼2 BA cos3033P(BP AB) = P(BP BM) = BMBC問題2,作射線AP在ZBAC內(nèi)是等可能分布的，在BC上取點M,使ZAMB=75 , 75 5則BM=BA,當P落在BM內(nèi)時，BPAB.于是所求的概率為_-.120 8B。C。3. D。提示：1-102302162524. 9。