二次函數(shù)與冪函數(shù) 高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)要點及習(xí)題解答

1、二次函數(shù)與冪函數(shù)1五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxeq f(1,2)yx1圖象定義域RRRx|x0 x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(，0)減，(0，)增增增(，0)和(0，)減公共點(1,1)2二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)f(x)ax2bxca0a1，函數(shù)y2x26x3在x1,1上為單調(diào)遞減函數(shù)，ymin2631.答案：11對于函數(shù)yax2bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就

2、必須滿足a0，當(dāng)題目條件中未說明a0時，就要討論a0和a0兩種情況2冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點小題糾偏1已知函數(shù)f(x)ax2x5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,20)B.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,20)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,20)，) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,20)，0)解析：

3、選C由題意知eq blcrc (avs4alco1(a0，,0，,120aeq f(1,20).2給出下列命題：函數(shù)y2x是冪函數(shù)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點；當(dāng)n0)為增函數(shù)，ac.yeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)x(xR)為減函數(shù)，cb.acb.答案：acb4(易錯題)若(a1)(32a)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式(a1)32a0或32aa10或a1032a.解得a1或eq f(2,3)a0，若在(0，)上單調(diào)遞減，則0.如“題組練透”第4題易錯eq avs4al(考點二求二次函數(shù)的解析式)eq avs4al(重點保分型考點師生共研)典

4、例引領(lǐng)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式解：法一(利用一般式)：設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由題意得eq blcrc (avs4alco1(4a2bc1，,abc1，,f(4acb2,4a)8，)解得eq blcrc (avs4alco1(a4，,b4，,c7.)所求二次函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.法二(利用頂點式)：設(shè)f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，拋物線的對稱軸為xeq f(21,2)eq f(1,2).meq f(1,2).又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，n8.yf(x)aeq blc(rc)(avs4alco1

5、(xf(1,2)28.f(2)1，aeq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,2)281，解得a4，f(x)4eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)284x24x7.法三(利用零點式)：由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即eq f(4a2a1a2,4a)8.解得a4或a0(舍)所求函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.由題悟法求二次函數(shù)解析式的方法 即時應(yīng)用已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意xR，都有f(2x)f(2x)，求

6、f(x)的解析式解：f(2x)f(2x)對xR恒成立，f(x)的對稱軸為x2.又f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，f(x)0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的圖象過點(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.eq avs4al(考點三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)) eq avs4al(?？汲Ｐ滦涂键c多角探明)命題分析高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進(jìn)行單獨考查的頻率較低常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯命題是高考的熱點，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用常見的命題角度有：

7、(1)二次函數(shù)的單調(diào)性問題；(2)二次函數(shù)的最值問題；(3)二次函數(shù)中恒成立問題題點全練角度一：二次函數(shù)的單調(diào)性問題1已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6(1)求實數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；(2)當(dāng)a1時，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間解：(1)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是xa，所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有a4或a6，即a6或a4.所以實數(shù)a的取值范圍是(，64，)(2)當(dāng)a1時，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此時定義域為x6,6，且f(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x3，x0，6，,x22x3，x6，0，

8、)f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6，單調(diào)遞減區(qū)間是6,0角度二：二次函數(shù)的最值問題2已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時有最大值2，求a的值解：函數(shù)f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，對稱軸方程為xa.當(dāng)a1時，f(x)maxf(1)a，a2.綜上可知，a1或a2.3設(shè)函數(shù)yx22x，x2，a，若函數(shù)的最小值為g(x)，求g(x)解：函數(shù)yx22x(x1)21，對稱軸為直線x1，當(dāng)21時，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1，a上單調(diào)遞增，則當(dāng)x1時，y取得最小值，即ymin1.綜上，g(x)eq blcrc (avs4alco1(a22a，21.)角度三：二次函數(shù)中恒成立問題4已知a

9、是實數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，求實數(shù)a的取值范圍解：由題意知2ax22x30在1,1上恒成立當(dāng)x0時，30，適合；當(dāng)x0時，aeq f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(1,3)2eq f(1,6)，因為eq f(1,x)(，11，)，當(dāng)x1時，右邊取最小值eq f(1,2)，所以aeq f(1,2).綜上，實數(shù)a的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2).方法歸納1二次函數(shù)最值問題的三種類型及解題思路(1)類型：對稱軸、區(qū)間都是給定的；對稱軸動、區(qū)間固定；對稱軸定、區(qū)間變動(2)思路：抓“三點一軸”，三點是指

10、區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸2由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的兩大思路及一個關(guān)鍵(1)兩大思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)(2)一個關(guān)鍵：兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離這兩個思路的依據(jù)是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2016濟(jì)南診斷)已知冪函數(shù)f(x)kx的圖象過點eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(2),2)，則k()A.eq f(1,2)B1C.eq f(3,2) D2解析：選C由冪函數(shù)的定義知k1.又f eq blc(rc)(avs4alco1(

11、f(1,2)eq f(r(2),2)，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(r(2),2)，解得eq f(1,2)，從而keq f(3,2).2函數(shù)f(x)2x2mx3，當(dāng)x2，)時，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x(，2時，f(x)是減函數(shù)，則f(1)的值為()A3 B13C7 D5解析：選B函數(shù)f(x)2x2mx3圖象的對稱軸為直線xeq f(m,4)，由函數(shù)f(x)的增減區(qū)間可知eq f(m,4)2，m8，即f(x)2x28x3，f(1)28313.3函數(shù)f(x)(m2m1)xm是冪函數(shù)，且在x(0，)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值是()A1 B2C3 D1或2解析：選Bf

12、(x)(m2m1)xm是冪函數(shù)m2m11m1或m2.又x(0，)上是增函數(shù)，所以m2.4二次函數(shù)的圖象過點(0,1)，對稱軸為x2，最小值為1，則它的解析式為_解析：依題意可設(shè)f(x)a(x2)21，圖象過點(0,1)，4a11，aeq f(1,2).f(x)eq f(1,2)(x2)21.答案：f(x)eq f(1,2)(x2)215對于任意實數(shù)x，函數(shù)f(x)(5a)x26xa5恒為正值，則a的取值范圍是_解析：由題意可得eq blcrc (avs4alco1(5a0，,3645aa50，)解得4a4.答案：(4,4)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1設(shè)eq blcrc(avs4alco1(

13、2，1，f(1,2)，f(1,2)，1，2)，則使f(x)x為奇函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞減的的值的個數(shù)是()A1B2C3 D4解析：選A由f(x)x在(0，)上單調(diào)遞減，可知0時，圖象開口向上，所以x2時取得最大值，f(2)4a4a14，解得aeq f(3,8)；當(dāng)a0，解得1m0，得3x1，,x1，x1時，(x)2，當(dāng)x2，所以(x)2，故此時a2.綜合，得所求實數(shù)a的取值范圍是(，2(2)h(x)eq blcrc (avs4alco1(x2axa1，0 x1，,0，x1，,x2axa1，1x2.)當(dāng)eq f(a,2)0時，即a0，(x2axa1)maxh(0)a1，(x2axa1)maxh(2)a3.此時，h(x)maxa3.當(dāng)0eq f(a,2)1時，即2a0，(x2axa1)maxheq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq f(a2,4)a1，(x2axa1)maxh(2)a3.此時h(x)maxa3.當(dāng)1eq f(a,2)2時，即4a2，(x2axa