高中數(shù)學(xué)不等式經(jīng)典題型專題訓(xùn)練試題(含答案)

1、I=Ji中數(shù)學(xué)不等式經(jīng)典題型專題訓(xùn)練試題abcbaccbaacbabcbaccbaac0已知實(shí)數(shù)X, y滿足條03,則目標(biāo)函數(shù)z=2x-y （）丿0有最小值0,有最小值0,有最大值6有最小值有最大值3有最小值3,有最小值3,有最大值6有最小值有最大值63若X是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx+cos+sinxcos的最大值是（）A-1cA-1cB. xV2 B. xV2 或 x2D. xl4不等式x2-x-20的解集是(-2x2C. -lxO的解集為（2 1）,則函數(shù)y=f （）的圖象為（）6.設(shè) 6.設(shè) a=0.203 b=0.2o2 C=IOg2O.4 則 a.b, C的大小關(guān)系為（c

2、abcbaabcbcacabcbaabcbcaBA. a2ablIOiiLh IogL(I0 c, abb21D 2b2asin +sin C COS ( + B ) VSin Cl +sin A. Sin ( + B ) sin +sin C COS ( + B ) VSin Cl +sin Sin ( a + ) cos a +cos D. COS ( a + ) cos U +cos 9.若9.若OVmVn,則下列結(jié)論正確的是（A. （y ）7w2n) IogLn D 0g2m0g2n10設(shè)abpC. a-bA XB. prpC. a-b評卷人得分二.填空題（共10小題，每題2分，共20

3、分）1 211已知Q-1 Q且滿足5=2,則市于的最小值為已知 a, bR 且 2a+b=l Rj2-42-2的最大值是已知向fe =(x-b 2), =(4, y)t若;丄，則 好+4丫的最小值為若x0 yO,且+-=1則x+y的最小值是15、在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個而積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長X其邊長X為 (m ) 2已知-l, y0且滿足x+2y=2,則一+二的最小值為+l y若實(shí)數(shù)a+b=2, a0 b0,貝肚+夕的最小值為CIb+vO若X, y滿足約束條件x-y+40 ,貝J z=3-y的最小值是0 且 4a2+b29,貝J a2-ab+b2 的范羽是+

4、1J 020.+1J 020.已知 f(X)=0評卷人得分三簡答題（共10小題，共60分）（6 分）已知 x0, y0,（1）若2xy=l,求丄+丄的最小值.3：求函數(shù)f (X)的最小值.25.（6分）已知向戦=25.（6分）已知向戦=(l+sin2t SinX-COSX) =(1, Sin+cos)函數(shù)f (x)（【）求f（X）的最大值及相應(yīng)的X的值：A（II）在AABC中，a, b, C分別是三個內(nèi)角A, Bt C所對邊，若f （- ） =2, a=2,求ZABC 而積的最大值.的最小值為I 9的最小值為26.(6分)設(shè)Gby C均為正數(shù).且ab+c=12 I則-+726.a b(4 分)

5、己知：Xt y. zRt 2+y2+z2=l,則 -2y-3z 的最大值為(4 分)若 a, b, cR+,且十+g+g=l,求 a+2b+3c 的最小值.（10分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本費(fèi)共由三部分組成：原材料費(fèi)每件50元：職工工資支出750020 x元：電力與機(jī)器保養(yǎng)等費(fèi)用為x2-30 x600元：其中X是該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù).（I）把每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P（X）（元）表示成產(chǎn)品件數(shù)X的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成 本費(fèi)：（II ）如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量X不超過170件且能全部銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每件 產(chǎn)品的銷售價為Q（X）（元），且7Q（X） =1240.v-.試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，

6、總利潤最高？并求出最髙總利潤.（總利潤=總銷售額總的成本）（6分）已知左義在R上的函數(shù)f （X） =x-lx2的最小值為a.（1）求a的值；1 2（2）若m, n是JE實(shí)數(shù)，且m+n=a,求一+r的最小值.ni R評卷人得分參考答案參考答案一單選題(共_小題)1.設(shè) a=sinl4 +cos 14 , b=sinl6 +cos 16 , C =申,則 a, b, C 大小關(guān)系()A abcB. bacC. cbaD acb答案：D 解析:解:由題意知,a=sinl4 +cosl4sinl4-+cosl4-0)=j2si11590.解:由題意知,a=sinl4 +cosl4同理可得，b=si16

7、 +cos 16 =QSin61 , C = Y-=JySil160 ,Vy=SinX 在(0, 90)是增函數(shù),sin59 sin60 .ac003，則目標(biāo)函數(shù)z=2x-y （lvoA.有最小值0,有最大值6B.A.有最小值0,有最大值6B.有最小值有最大值3C.有最小值3,有最大值6D.有最小值-2.有最大值6解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2xy過直線x=3與直線尸0的交點(diǎn)（3, 0）,目標(biāo)函數(shù)取得最大值6： 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2xy過直線X=O與直線x-y2=0的交點(diǎn)（0, 2）時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值2 故選D.3.若X是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx

8、+cos+sinxcos的最大值是（）A. -1B.匹C. 2D. 2答案：D解析：解:y=sin+cosx+sinxcos=SinX (l+cos) +l+cos-l =(l+sin) (1+cosx) -1 y (l+sin) 2+ ( (l+cos) 2-l（當(dāng)且僅當(dāng)l+sin=l+cosx時成立，此時SinX=COSX=） 即 y (max)故選D4不等式x2-x-20的解集是()A. -2x2B. xx2C. x-lxlD. xxl答案：A解析：解：原不等式化為x2-x-20因式分解得(-2)(儀|+1) 0,所以x-20RP2解得:-2xO的解集為(2 1),則函數(shù)y=f ()的圖

9、象為()解析：解：不等式f (X) =ax2-cO的解集為(-2, 1),a b=0.2o2, C=IOg20.4 則 a, b, C 的大小關(guān)系為()A. cabB. cbaC. abcD bc0.2t 故有 a=O,2o30,可得 ba0.由于函數(shù) y=og2x (0, +8)上是增函數(shù),故 c=log20.4Iog2I=O,即 cac,故選A7設(shè)OVbal,則下列不等式中成立的是()A. a2ablA. a2ablD. 2b2a2IogLblosLa0 c abb212 2答案：D解析：解：采用特殊值法，取a丄，b34則 a2=, b2=-, ab=-,故知 A, C 錯：9 IO IZ

10、對于B,由于函數(shù)尸/&；“是定義域上的減函數(shù),.哦中故B錯: 對于D,由于函數(shù)尸/是泄義域上的增函數(shù)，2b2asin +sin B. Sin ( + ) cos +cos C COS ( a + B ) VSin a +sin D COS ( o + ) cos Cl +cos 答案：D解析：解：對于AB中的a, B可以分別令為30 , 60則知道A, B均不成立對于C中的a , 可以令他們都等于15 ,則知道C不成立COS ( a + ) =COS a COS -Sin a Sin cos a 1+cos I=COS a +cos 故選D9.若0VmVn,則下列結(jié)論正確的是（）A. （嚴(yán)2n

11、C. Jo8Ln D 0g2m0g2nL厶厶厶答案：C解析：解：觀察B, D兩個選項(xiàng)，由于底數(shù)21,故相關(guān)的函數(shù)是增函數(shù)，由0VmVn,2m（1） o2l2, 2, , 2 2所以A不對，C對.故答案為C.10設(shè)ab-b答案：D髓：解：VabbO, AI-d- B IE確，a b=-b, C 匸確； 士為故D不正確故選D.評卷人得分二.填空題（共_小題）1 2已知-l, y0且滿足x+2y=2t則一+二的最小值為+l y答案：3 解析：解:Vx-1, y0 且滿足 +2y=2, +l0 且 x+l+2y=312 12 丄 12T7+?)(+l+2y)品斗二品斗二(5+2 3 +l y 3 vr

12、+l2v y+1)當(dāng)且僅當(dāng)二T= 即=0且y=l時取等號，x+l y故答案為：3.已知a, bR,且2a+b=l則2網(wǎng)_仏2_識的最大值是解析：解：V2a+b=l, 4a2b2=l-4ab, S=24 a2-h2 =4ab+2P-l 令 t0則 S=4(+7)244故當(dāng)t豐時，S有最大值為：耳1J2-I故答案為：號一已知向 =(x-b 2), fr =(4, y),若;丄八，則好+4丫的最小值為答案：8解析：解：；丄幾；= (X-1，2), ft = (4, y)VI 6x+4y = 24r+222+2j=2 護(hù)=當(dāng)且僅當(dāng)24x=22v即4x=2y=2取等號故答案為8若0, yO,且-+=It

13、則+y的最小值是答案：25 解析: 解：VxO, y0, E-=1+y= (+y)(一)K y當(dāng)且僅當(dāng)即x=5, y=20時取等號，K y*+y的最小值是25,故答案為：25.15、在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個而積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長X為 (m )答案：20解析：JX 40y解：設(shè)矩形高為y,由三角形相似得：=-j,且x0, y0, V40, y40=x+y2y,僅當(dāng)=y=20m時，矩形的而積S=Xy取最大值400m2.故答案為：20.1 216已知-l, y0且滿足x+2y=2,則一+二的最小值為 答案：3解析：解:Vx-1, y0 且滿足 +2y=2,x+1

14、0 且 x+l+2y=3,12 112 +-=T 0t b0,貝IJ丄+?的最小值為a b答案:2解析：解：T實(shí)數(shù) a+b=2, a0, b0,當(dāng)且僅當(dāng)后哪時取等號.故答案為：J2.v+y018.若X, y滿足約束條件X-Iy+40 ,則z=3x-y的最小值是04答案：-4解析：x+y0解：由約朿條件工-y半0作出可行域如圖，0r s=a2-ab+b2=r2cos2（）r2Sin COS（）+r2sin2（）=r2 （I-Sin COS ） =r2 （1-sin2 ）,由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).得； 當(dāng)sin2 0取最大值1且r取最小值2時,S取得最小值2,當(dāng)sin2 0取最小值J且r取最大值3

15、時，S取得最大值27綜上，a2-abb2的范圍是2,27故答案為：2,二1.x+19x0已知f （x） =0答案：-4x2解析：解：T已知答案：-4x2解析：解：T已知f（x）-+I、 x02-(-l)2, xO故由不等式f（X）可得 2+l ,或.vO解可得-4O, yO（1）若2x+y=l,求丄+丄的最小值.K y（2）若+8y-y=0求Xy的最小值答案:解:(I)U=(U)解:(I)U=(U)X y X y當(dāng)且僅當(dāng)22=y2等號成立,丄丄的最小值為3+2.X yY b2+c22bc c2+a22ca可得a2b2+c2ab+bc+ca,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取得等號) 由題設(shè)可得(a+b+c

16、) 2=1 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=l 即有 3 (ab+bc+ca) 1.則 ab+bc+ca; TOC o 1-5 h z a2b2CI(2) +b2a, +c2bt +a2c,hCa2 屏 e2故一H+ (a+b+c) N2 (ab+c),b c a9 ,11即有t上二2a+b+c.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取得等號)b c ci解析：證明：(1)由 a2+b22abt b2+c22bct c2+a22ca,可得a2+b2+c2ab+bc+ca,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取得等號)CrJ rDUq(W驅(qū)yq% 訓(xùn)Jf+JF+J7 解析：證明：Va, b, cRa+b2flt b

17、+c27, a+c 2a+2b+2c20+2 莎+2莎 a+b+c a b +fr7+w7Vabc=I, 、】1 1/. a+b+c -=+-p=+-p=:W JC(2) Va2+b22ab b2+c22bc. a2+c22ac 2a2+2 b2+2c2 2a b+2 bc+2ac a2+b2+c2 $ a b+bc+act1 1 111 IlllT ab+bc+ac=+7+=Jn +Jfr+JfCab bC c 111: a2+b2+c224設(shè)函數(shù) f (x) =+3-4解不等式f(X)3；求函數(shù)f (X)的最小值.答案：解:不等式f (X) 3,即+3-x-43.而x+3-x-4表示數(shù)軸上

18、的X對應(yīng)點(diǎn)到-3對應(yīng)點(diǎn)和4對應(yīng)點(diǎn)的距離之差，數(shù)軸上的2對應(yīng)點(diǎn)到-3對應(yīng)點(diǎn)和4對應(yīng)點(diǎn)的距離之差為3,故不等式的解集為x2.(3分)f (x) =+3-X-4表示數(shù)軸上的X對應(yīng)點(diǎn)到-3對應(yīng)點(diǎn)和4對應(yīng)點(diǎn)的距離之差，可得函數(shù)f(X)的最小值為7(7分)解析：解：不等式f(X)3,即x+3卜x43.而x+3x4表示數(shù)軸上的X對應(yīng)點(diǎn)到3對應(yīng) 點(diǎn)和4對應(yīng)點(diǎn)的距離之差，數(shù)軸上的2對應(yīng)點(diǎn)到-3對應(yīng)點(diǎn)和4對應(yīng)點(diǎn)的距離之差為3,故不等式的解集為2.(3分)f (x) =x+3-x-4表示數(shù)軸上的X對應(yīng)點(diǎn)到-3對應(yīng)點(diǎn)和4對應(yīng)點(diǎn)的距離之差，25.可得函數(shù)f (X)的最小值為-7.(7分)25.(l+sin2x, Sin

19、X-COSX) , = (1, sinx+cos),函數(shù) f (x) =a 9b(【)求f (X)的最大值及相應(yīng)的X的值：(II)在AABC中，a, b, C分別是三個內(nèi)角A, B, C所對邊，若f (- ) =2, a=2,求AABC而積的最大值.答案：解：(I) Vrt = (l+sin2t SinX-COSX), = (1 SinX+cosx), J , Jf (x) =Cl =l+sin2+sin2x-cos2=l+si n2xcos2x,=1n (2x-7), 斗=1n (2x-7), 斗當(dāng) 2Xn=2k+ BPX+kkZ 時,函數(shù)取得最大值l2.( )由(I)知 f(7)=2 時，

20、Sin (A-)半,. A-=2k H. A-=2k H斗?；駻-=2k 43+Tk乙TA是三角形的一個內(nèi)角,A=,即AABC是直角三角形.Va=2t . b2+c2=4,S. ABC=7bc!- = l (當(dāng)且僅當(dāng)b=c=匹時.取得最大值)，.,.ABC面積的最大值為1.解析：解：(I ) Vrt = (l+sin2x, SinX-COSX), = (1 SinX+cos),5Af (x) =Q 9b =l+sin2x+sin2-cos2xt =l+sin2x-cos2, =l+jsin(2x#),.當(dāng) 2xf=2k Ji 弓即 X罟+k, kZ 時, 函數(shù)取得最大值l+24FIn(Il )

21、由(I)知 f (亍)=2 時，sin (A-)七L, I I 3 A-j-=2k 芍或 A-j-=2k -j-,R卩 A斗+2k JI 或 A=Jl +2k t kZ,乙A是三角形的一個內(nèi)角,a=2.,即Aabc是直角三角形.Va=2, b2+c2=4,SABCtbCW片二=1 （當(dāng)且僅當(dāng)Zc=Q時，取得最大值），abc而積的最大值為1._一 9 2 526、設(shè)a , b f C均為正數(shù)，且a+b+c=12 ,則的最小值為 a b C9 解：曲柯西不等式：(1+3+5) 2 (a+b+c) (+)UbC因?yàn)椋篴+b+c=12I 9 25所以(1+3+5) 212* (-+-+)I 9 258

22、112* (-+-+)a h CQ ?5當(dāng)且僅當(dāng)時取等號GbC HYPERLINK l bookmark64 o Current Document Q ?5當(dāng)且僅當(dāng)時取等號GbC HYPERLINK l bookmark64 o Current Document I 9 2527即：一+二+最小值為丁 a h C馬27.已知：, y, zR, x2+y2z2=l,則 -2y-3z 的最大值為答案：解：由已知 X, y zR, x2+y2+z2=l,和柯西不等式(a2+b2+c2) (e2+f2+g2)2則構(gòu)造出代(-2) 2+ (-3) 2 (x2+y2+z2) 3 (x-2y-3z) 2.K

23、P ：(-2y-3z) 214KP ： -2y-3z的最大值為J 1.4. 故答案為任T.解析：解：由已知 X, y, zR, 2+y2+z2=l,和柯西不等式(a2+b2+c2) (e2+f2+g2)2貝Il構(gòu)造出I2+ (-2) 2+ (-3) 2 (x2+y2+z2) (x-2y-3z) 2.KP ：(x-2y-3z) 214即：-2y-3z的最大值為J 14 .故答案為任T.(ae+bf+cg)(ae+bf+cg)28若“ b，CeRS且洛=,求中b+3c的最小值.答案:解：Va, b, cR, 7-+-= 1 ,a Zb 5 c. +2ft+3c = (o+2b+3c)(丄 28若“

24、 b，CeRS且洛=,求中b+3c的最小值.答案:解：Va, b, cR, 7-+-= 1 ,a Zb 5 c. +2ft+3c = (o+2b+3c)(丄 + ) =1+1+1 a Ib 3 C+(乂+丄)+(乂+丄)+(乂+衛(wèi))& 2h a 3c 2b 3c3+22fa +23f +23 c Iba 2b 、a 3 c 、Ib 3ca+2b+3c的最小值為9.= 3+2+2+2 = 9,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c=3時取等號.即 a+2b+3cM9,f:I 11-+= I , a 2h 3 c+2b+3e = (+2ft+3 c)(-+-) =1+1+1a 2h 3 c解：Va, b, cR+

25、,+( 乂+務(wù))+( 乂+&)+(Hi) a 2h a 3 C 2b 3 C3 +22h.a +?3； +23 C Zba 2b 、a 3 c 、2b 3c即 a+2b+3cM9, a+2b+3c 的最小值為 9.= 3+2+2+2 = 9,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c=3時取等號.29某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本費(fèi)共由三部分組成：原材料費(fèi)每件50元；職工工資支 出7500+20 x元；電力與機(jī)器保養(yǎng)等費(fèi)用為2-30 x+600元：其中X是該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的 總件數(shù).（I）把每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P（X）（元）表示成產(chǎn)品件數(shù)X的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成 本費(fèi)：（II）如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)屋X不超過170件且能全部銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每件 產(chǎn)品的銷售價為Q（X）（元），且7Q（X） =1240.t2.試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，總利潤最高？并求出最髙總利潤（總利潤二總銷售額-總的成本）答案：解:(I) P (X) =50+7500+2OJr x2-3Ox+6OO 8 100解:(I) P (X) =50+x+40.即“90時，等