統(tǒng)計學原理（第七版）第九章相關與回歸分析

1、統(tǒng)計學原理（第七版）目錄CONTENT010302第一章總論第二章統(tǒng)計設計和統(tǒng)計調查第三章統(tǒng)計整理04第四章總量指標和相對指標050706第五章平均指標和變異指標第六章動態(tài)數(shù)列第七章統(tǒng)計指數(shù)0809第八章抽樣調查與推斷第九章相關與回歸分析1011第十章統(tǒng)計預測第十一章統(tǒng)計綜合分析第九章相關與回歸分析【內容提要】相關分析與回歸分析是兩種既有區(qū)別又有聯(lián)系的統(tǒng)計分析方法。本章闡述了相關關系的概念與特點；相關關系與函數(shù)關系的區(qū)別與聯(lián)系；相關關系的種類；相關關系的測定方法（直線相關系數(shù)的含義、計算方法與運用）；回歸分析的概念與特點；回歸直線方程的求解及其精確度的評價；估計標準誤差的計算。01 PART

2、ONE第一節(jié)相關分析的一般問題點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本相關關系的概念與特點一（一）相關關系的概念在自然界與人類社會中，許多現(xiàn)象之間是相互聯(lián)系、相互制約的，表現(xiàn)在數(shù)量上也存在著一定的聯(lián)系。這種數(shù)量上的聯(lián)系和關系究其實質，可以概括為兩種不同類型，即函數(shù)關系與相關關系。函數(shù)關系是指現(xiàn)象之間客觀存在的，在數(shù)量變化上按一定法則嚴格確定的相互依存關系。在此種關系中，對于某一變量的每一個數(shù)值，都有另一個變量的確定值與之對應，并且可以用一個數(shù)學表達式表達出來。例如，正方形面積（s）與邊長（a）的函數(shù)關系是s=a2；電流（I）與電壓（U）和電阻（R）的關系是I=U/R；商品銷售額（y）是

3、商品銷售價格（P）與商品銷售量（x）的乘積，當商品銷售價格（P）不變時，銷售額（y）由銷售量（x）唯一確定，x與y具有一一對應的確定關系，可以用y=Px這種函數(shù)來表達。以上這些都是函數(shù)關系，這類現(xiàn)象的變化關系是確定的，已知某現(xiàn)象數(shù)值，可求解出另一現(xiàn)象的數(shù)值。相關關系是指現(xiàn)象之間客觀存在的，在數(shù)量變化上受隨機因素的影響，非確定性的相互依存關系。例如，商品銷售額與流通費用率之間的關系就是一種相關關系。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本相關關系的概念與特點一（二）相關關系的特點相關關系表現(xiàn)為數(shù)量相互依存關系。（1）相關關系在數(shù)量上表現(xiàn)為非確定性的相互依存關系。（2）點擊添加文本點擊添加

4、文本點擊添加文本點擊添加文本相關關系的種類二現(xiàn)象間的相關關系，從不同的角度，按不同的標準劃分，有不同的種類。不同種類的相關關系，需要用不同的方法進行研究?，F(xiàn)象間的相關關系主要有以下幾種分類：（一）相關關系按變量的多少，可分為單相關和復相關（三）相關關系從變動方向上劃分，可分為正相關和負相關（二）相關關系從表現(xiàn)形態(tài)上劃分，可分為直線相關和曲線相關（四）按相關的密切程度分，可分為完全相關、不完全相關和不相關點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本相關分析的內容三相關分析是對客觀社會經濟現(xiàn)象間存在的相關關系進行分析研究的一種統(tǒng)計方法。其目的在于對現(xiàn)象間所存在的依存關系及其所表現(xiàn)出的規(guī)律性進行

5、數(shù)量上的推斷和認識，以便為回歸分析提供依據。相關分析的內容和程序是：BA內容和程序（二）判定相關關系的表現(xiàn)形態(tài)和密切程度（一）判別現(xiàn)象間有無相關關系02 PART TWO第二節(jié)相關關系的判斷與分析點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本相關關系的一般判斷一（一）定性分析對現(xiàn)象進行定性分析，就是根據現(xiàn)象之間的本質聯(lián)系和質的規(guī)定性，運用理論知識、專業(yè)知識、實際經驗來進行判斷和分析。例如，根據經濟理論來判斷居民的貨幣收入與社會商品購買力是否存在相關關系；根據會計學理論來判斷生產成本與利潤有無相關關系；根據生物遺傳理論來判斷父輩的身高與子輩的身高是否存在相關關系等。定性分析是進行相關分析的基礎

6、，在此基礎上，根據需要通過編制相關表和繪制相關圖來進行分析。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本相關關系的一般判斷一（二）相關表相關表就是把被研究現(xiàn)象的觀察值對應排列所形成的統(tǒng)計表格，如某地區(qū)工業(yè)固定資產投資與工業(yè)增加值的歷史資料對應排列所形成的表9-1。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本相關關系的一般判斷一（三）相關圖相關圖也叫相關散點圖，它是根據相關表中的觀測數(shù)據在坐標圖中繪制的點狀圖形。用x和y分別代表兩個變量，把相關表中的對應觀測值一一描繪在坐標圖中，則形成了反映相關點分布狀況的圖形，據此可以觀測現(xiàn)象間相關關系的情況（如根據表9-1的數(shù)據所繪制的圖9-1和根據

7、表9-2的數(shù)據所繪制的圖9-2）。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本相關關系的一般判斷一（三）相關圖點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本相關關系的定量分析二（一）相關系數(shù)的含義相關系數(shù)是指直線相關條件下，說明兩種現(xiàn)象之間相關關系密切程度和方向的統(tǒng)計分析指標，用r表示。其定義公式為：依直線相關系數(shù)的定義公式可知相關系數(shù)的含義如下：1.r的取值范圍為-1r1。因為協(xié)方差的絕對值最小為0，最大為x和y的乘積。2.r的絕對值越接近于1，表明相關關系越密切；越接近于0，表明相關關系越不密切。3.r=+1或r=-1，表明兩種現(xiàn)象完全相關，即存在函數(shù)關系。4.r=0，表明兩種現(xiàn)象無

8、直線相關關系。5.r0，表明現(xiàn)象呈正直線相關；r0，表明現(xiàn)象呈負直線相關。實際中|r|0.3，視為不相關；0.3|r|0.5，為低度相關；0.5|r|0.8，為顯著相關；|r|0.8，一般稱為高度相關。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本相關關系的定量分析二（二）相關系數(shù)的計算1.根據相關系數(shù)的定義公式可直接計算相關系數(shù)。具體計算時，要使用相關資料，設計一個計算表，將公式9-1中所需要的基本數(shù)據先計算出來，即需要列出5個計算欄：x-x 、y-y 、（x-x ）（y-y ）、（x-x ）2、（y-y ）2。2.相關系數(shù)的簡捷計算法。按照定義公式計算相關系數(shù)r運算量較大，過程煩瑣，實踐

9、中多采用由定義公式推導出的簡捷公式計算相關系數(shù)。簡捷計算公式為：3.相關系數(shù)的其他計算公式。在公式9-1中，分子、分母中均有1/n，因此可以消掉，于是可得：03 PART THREE第三節(jié)回歸分析的一般問題點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本回歸分析的概念與特點一（一）回歸分析的概念現(xiàn)象之間的相關關系，雖然不是嚴格的函數(shù)關系，但現(xiàn)象之間的一般關系值，可以通過函數(shù)關系的近似表達式來反映，這種表達式根據相關現(xiàn)象的實際對應資料，運用數(shù)學的方法來建立，這類數(shù)學方法稱為回歸分析。其意思是：根據現(xiàn)象之間相關關系的形式，配合一條最適合的直線或曲線（本章只介紹直線），用這條直線反映它們之間數(shù)量變化

10、的一般關系，即當自變量發(fā)生一個量的變化時，因變量一般會（或平均會）發(fā)生多大量的變化。例如，單位面積化肥施用量增加1千克，稻谷單產量會增產多少千克。反映現(xiàn)象間相關關系數(shù)量變化規(guī)律的這條直線，就叫回歸直線，表現(xiàn)這條回歸直線的數(shù)學表達式，稱直線回歸模型，它是推算或預測因變量的經驗數(shù)據模型。直線回歸模型有一元線性回歸模型（只反映兩個現(xiàn)象之間的相關關系）和多元線性回歸模型（反映三個或三個以上現(xiàn)象之間的相關關系）。本章僅討論一元線性回歸模型。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本回歸分析的概念與特點一（二）回歸分析的特點與相關分析相比，回歸分析的特點有：1.回歸分析的兩個變量是非對等關系。2.在

11、回歸分析中，因變量是隨機變量，自變量是可控制變量。特點點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本回歸分析的內容二回歸分析是指將具有相關關系的現(xiàn)象的變量轉變?yōu)楹瘮?shù)關系，并建立變量關系的數(shù)學表達式，來研究變量之間數(shù)量變動關系的統(tǒng)計分析方法。具體內容包括兩個方面：12確定現(xiàn)象之間相關關系的數(shù)學模型測定數(shù)學模型的擬合精度點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本相關分析和回歸分析的區(qū)別與聯(lián)系三相關分析與回歸分析既相互區(qū)別又密切聯(lián)系，是相輔相成的。相關分析是研究兩個或兩個以上變量之間相關關系及其密切程度的分析。判斷相關關系及其密切程度，一般可通過進行定性與定量分析、編制相關圖表、計算相關系數(shù)

12、等，來反映相關方向和密切程度?；貧w分析是指將相關現(xiàn)象的關系轉變?yōu)楹瘮?shù)關系，并建立變量關系的數(shù)學表達式，來研究變量之間數(shù)量變動關系的統(tǒng)計分析方法。相關分析和回歸分析是研究現(xiàn)象之間相互依存關系的不可分割的兩個方面。一般先進行相關分析，測定相關現(xiàn)象之間相關程度的大小，進而決定是否需要進行回歸分析，并擬合相應的回歸方程，以便進行推算和預測等，因而可以說相關分析是進行回歸分析的基礎，回歸分析是把變量的相關關系轉變?yōu)楹瘮?shù)關系的手段，是相關分析的繼續(xù)和深入。但需指出，相關分析可以不分自變量和因變量，而進行回歸分析時，則必須明確自變量和因變量，當自變量與因變量位置互換時，所得到的回歸方程不同。04 PART

13、FOUR第四節(jié)一元線性回歸模型的建立與檢測點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本一元線性回歸模型一（一）構建回歸模型應具備的條件構建一元線性回歸模型應具備以下幾個條件：123現(xiàn)象間確實存在數(shù)量上的相互依存關系。現(xiàn)象間存在直線相關關系。具備一定數(shù)量的變量觀測值。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本一元線性回歸模型一（二）回歸直線方程的求法回歸直線方程又稱一元一次線性回歸方程，若以x表示自變量，y表示因變量，則其基本形式為：y =a+bx點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本估計標準誤差二一元線性回歸方程是在直線相關條件下，反映兩個變量之間一般數(shù)量關系的數(shù)學模型。根

14、據回歸直線方程，可以由自變量的給定值估計出因變量的值。但是，估計出的因變量數(shù)值并不是一個精確數(shù)值，而是一個理論值。這就是說，由一元線性回歸方程進行預測是存在誤差的。誤差越大，說明擬合的回歸直線方程越不精確；誤差越小，說明擬合的回歸直線方程越精確，即代表性越大。因此，一元線性回歸直線方程求出后，有必要對其擬合精度進行評價。估計標準誤差就是進行這種評價的統(tǒng)計分析指標。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本估計標準誤差二（一）估計標準誤差的概念與計算估計標準誤差是用來說明回歸直線方程代表性大小的統(tǒng)計分析指標。其定義公式為：（二）估計標準誤差與相關系數(shù)的關系估計標準誤差與相關系數(shù)存在著密切的關系，二者的關系可由如下表達式描述：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本估計標準誤差二（三）相關系數(shù)與回歸系數(shù)的關系相關系數(shù)與回歸系數(shù)的關系可用如下公式表示：（四）回歸方程的變形形式在y =a+bx中，b是直線的斜率。由于回歸直線方程必經過（x , y ）點，根據點斜式直線方程的公式，回歸直線方程可由下式給出：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本應用相關分析與回歸分析應注意的問題三相關分析