高考三角函數(shù)與解斜三角形知識點(diǎn)總結(jié)復(fù)習(xí)

1、三角函數(shù)與解三角形知識點(diǎn)總結(jié)一、三角函數(shù)的基本概念角的概念的推廣： 平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所的圖形。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫角，一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱它形成一個角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。象限角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角任何象限。終邊相同的角的表示： TOC o 1-5 h z 終邊與 終邊相同 （ 的終邊在終邊所在射線上），注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.

2、終邊與 終邊共線 （ 的終邊在終邊所在直線上）.終邊在x軸上的角可表示為：（ 4）終邊在 y軸上的角可表示為：終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：與 2 的終邊關(guān)系：由 “兩等分各象限、 一二三四”確定 . 如若 是第二象限角，則 是第 2象限角弧長公式：l，扇形面積公式：s.例如：已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1 弧度，則扇形的面積為。任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè) 是任意一個角，P（x, y）是的終邊上的任意一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），它與原點(diǎn)的距離是rx2 y2 0，那么 sin， cos，tan， （y 0） 。注：三角函數(shù)值與角的大小關(guān)，與終邊上點(diǎn)P 的位置關(guān)。例如： 已知角 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)

3、原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若p 4, y 是角 終邊上一點(diǎn)，25且 sin，則 y基本知識方法.各象限角的三角函數(shù)值符號規(guī)律余弦右為正，左為負(fù)，縱為零正切一三為正，二四為負(fù)，橫為零，縱不存在. 要正確利用三角函數(shù)線解答“三角函數(shù)值的大小比較”和“解簡單三角不等二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：（ 1）平方關(guān)系：（ 2）倒數(shù)關(guān)系：（ 3）商數(shù)關(guān)系：例如： （1） 已知 tan 1，則 sin 3cos ； sin2 sin cos 2tan 1sin cos。 （2）已知 sin cos 2 ，0, ，則 tanA. 1B.22C. 22D. 1三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（k

4、 ）的本質(zhì)是：奇偶 （對 k 而言，指k 取奇2tan cos 2 tan cos 2 sin 例如：cos sin數(shù)或偶數(shù)），符號（看原函數(shù)，同時(shí)可把看成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（ 1）負(fù)角變正角，再寫成2k + , 02 ； （2） 轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。22kk Z2sin sinsin sin sinsincoscoscos cos coscoscossin基本知識方法：1.利用平方關(guān)系時(shí)，要注意開方后符號的選??；誘導(dǎo)公式的作用在于將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0, 內(nèi)角的三角函數(shù)值，其2解題思路是化負(fù)角為正角，化復(fù)雜角為簡單角，運(yùn)用時(shí)應(yīng)充分注意符號；利用商

5、數(shù)關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系能夠完成切割化弦；涉及 sin ,cos 的二次齊次式（如 asin2 bsin cosccos2 ） 的問題常采用“ 1 ”代換法求解；涉及 sin cos ,sin cos ,sin cos 的問題常采用平方法求解； 三、三角函數(shù)圖像及性質(zhì).用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)y sin x， x0,2 的圖像中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：余弦函數(shù)y cos x， x 0,2 的圖像中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y sin xy cos xy tan x圖像定義域值域單調(diào)性最值奇偶性對稱中心對稱軸方程周期1.例如 ： (1 ) 函 數(shù) y s i

6、 n52x的 奇 偶 性 是 。 ( 2 ) 函 數(shù)2y 2c oxs( sixn c oxs) 的 圖 象 的 對 稱 中 心 和 對 稱 軸 分 別 是 、。 ( 3)函數(shù) f ( x ) 5 sin xcosx 5 3 cos2 x 5 3( x R )的單調(diào)遞2增區(qū)間為 。用五點(diǎn)法畫y Asin( x ) 一個周期內(nèi)的簡圖時(shí)，要找五個特征點(diǎn)如下表所示：x02322y0A0A03即五點(diǎn)的橫坐標(biāo)總由x 0、 、 2 來確定 .22函數(shù) y sin x的圖象變換得到y(tǒng) Asin（ x ） 的圖象的步驟： TOC o 1-5 h z ysin x的圖象得到y(tǒng) Asin（ x ） 的圖象主要有下

7、列兩種方法:y sin x（ 相 位 變 換 ）（周 期 變 換 ）（振 幅 變）；y sin x （ 周 期 變 換 ）（ 相 位 變 換 ）（ 振 幅 變）.將函數(shù) y 3cosx sin x x R 的圖像向左平移m m 0 個長度單位后，5y 軸對稱，則m 的最小值是（） A. B. C. D. 512636x2）為了得到函數(shù)y 2sin（x ）,x R的圖像，只需把函數(shù)y 2sin x,x R的圖像上所36有的點(diǎn)。當(dāng)函數(shù) y Asin（ x ） （ A 0,0， x 0, 表示一個振動時(shí)，A叫做振T 2 叫做周期，f 1 叫做頻率，x 叫做相位，叫做初相T例如： 已知簡諧運(yùn)動f (x

8、) 2sin x的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，則該簡諧運(yùn)動32 TOC o 1-5 h z 的最小正周期T 和初相分別為()A. T 6， ； B. T6， ； C. T 6 ， ； D. T 6 ， 6363基本知識方法“五點(diǎn)法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù) y Asin( x )的簡圖，五個特殊點(diǎn)通常都是取三個平衡點(diǎn)，一個最高、一個最低點(diǎn)；給出圖象求y Asin( x ) B的解析式的難點(diǎn)在于, 的確定， 本質(zhì)為待定系數(shù)法，基本方法是：尋找特殊點(diǎn)(平衡點(diǎn)、最值點(diǎn))代入解析式；圖象變換法，即考察已知圖象可由哪個函數(shù)的圖象經(jīng)過變換得到的，通?？捎善胶恻c(diǎn)或最值點(diǎn)確定周期T ，進(jìn)而確定；“對應(yīng)點(diǎn)法”對稱性 :

9、 1 函數(shù) y Asin( x ) 對稱軸可由x k k Z 解出；對稱中心的橫坐標(biāo)是方程x k k Z 的解，對稱中心的縱坐標(biāo)為0 .( 即整體代換法)函數(shù) y Acos x 對稱軸可由x k k Z 解出；對稱中心的縱坐標(biāo)是方程x k k Z 的解，對稱中心的橫坐標(biāo)為0 .( 即整體代換 TOC o 1-5 h z 法 )正、余弦函數(shù)在對稱軸處(最值處)的導(dǎo)數(shù)值為零.函數(shù) y Atan x 對稱中心的橫坐標(biāo)可由x k k Z 解出， 對稱中心的縱坐標(biāo)為0 ，函數(shù) y tan x 不具有軸對稱性.A 0 時(shí)， y Asin x ，當(dāng) x 2k k Z 時(shí)，有最大值A(chǔ)，2當(dāng) x 2k k Z

10、時(shí) ,有最小值A(chǔ)； A 0時(shí)，與上述情況相反.2求三角函數(shù)的值域的常用方法： 化為求代數(shù)函數(shù)的值域；化 為求y Asin( x ) B的值域；化為關(guān)于sin x(或 cosx)的二次函數(shù)式；三角函數(shù)的周期問題一般將函數(shù)式化為y Af ( x )(其中 f(x) 為三角函數(shù)， 0 ) y Asin( x ) 為奇函數(shù)k ；函數(shù) y Asin( x ) 為偶函數(shù)ky Acos( x ) 為 偶 函 數(shù)k ； 函 數(shù) y Ac o s( x 為 ) 奇 函 數(shù)k2函 數(shù) y sA i n (x (A 0 , 的 單 調(diào) 增 區(qū) 間 可 由3 TOC o 1-5 h z 2k x2k 解出， 單調(diào)減區(qū)

11、間可由2kx 2k2222解 出 ； 函 數(shù) y Ac o s ( x (A 0 ,0的 單 調(diào) 增 區(qū) 間 可 由2kx 2k 解出，單調(diào)減區(qū)間可由2k x2k 解出 .四、兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)sin( )； cos( )；21tan( )例如： ( 1 ) 已知 tan( )， tan( )那么 tan()的 值是 。 ( 2)已 知 , 為銳角 ， sin x ,cos y ，43 TOC o 1-5 h z cos( ) ，則 y 與 x的函數(shù)關(guān)系為?！盎还健保?a sin bcos(其中例如： ( 1 ) 如果 f x sin x 2cos(x ) 是奇函數(shù)，則tan =

12、。2) 當(dāng)函數(shù) y 2cosx 3sinx取得最大值時(shí)，tanx的值是 。二倍角公式：cos2=sin2， tan2sin2降次公式：cos2， sin2基本知識方法尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關(guān)系，把握式子的變形方向，準(zhǔn)確運(yùn)用公式；三角變換主要體現(xiàn)在：函數(shù)名稱的變換、角的變換、1 的變換、和積的變換、冪的變換等方面；掌握基本技巧：切割化弦，異名化同名，異角化同角等； TOC o 1-5 h z 應(yīng)注意的幾點(diǎn): 1 熟悉公式的正用、逆用，還要熟練掌握公式的變形應(yīng)用.注意拆角、湊角技巧，如， 2等 .注意倍角的相對性，如3 是 3 的倍角 .4 要時(shí)時(shí)注意角的范圍的討論.三角函數(shù)式的化簡

13、要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子的結(jié)構(gòu)與特征 .解決給角求值問題的基本思路：1 化為特殊角的三角函數(shù)值；2 化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值；3 化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值.求角問題，先求此角的某個三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出角.應(yīng)根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù). 1 已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；2 已知正、 余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是0,， 選正、 余弦皆可；若角的范圍是0,，2選余弦函數(shù)；若角的范圍是22，選正弦較好選余弦函數(shù)；若角的范圍是22，選正弦較好.五、正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用 正弦定理) 正弦定理：在一個三角形中， 各邊和它所對角的正弦的比相等即 其中

14、 R 是三角形外接圓的半徑(2)正弦定理的其他形式： a 2RsinA， b ， c ； sinA a sinA a2R ，sinB ， sinC a b c余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍 即 a2 ， b2 ，c2 .若令C 90，則c2 ，即為勾股定理 (2)余弦定理的變形：cosA ， cosB ， cosC .若 C 為銳角，則cosC0，即a2 b2c2；若C 為鈍角，則cosC0，即a2 b2c2.故由a2 b2與 c2值的大小比較，可以判斷C 為銳角、鈍角或直角(3)正、余弦定理的一個重要作用是實(shí)現(xiàn)邊角，

15、余弦定理亦可以寫成sin2A sin2B sin2C 2sinBsinCcosA， 類似地，sin2B ；sin2C .注意式中隱含條件A B C .解三角形的類型(1)已知三角形的任意兩個角與一邊，用定理，只有一解 (2)已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，用定理，可能有 如在 ABC 中，已知a， b 和 A時(shí)，解的情況如表：A 為銳角A 為鈍角 或直角圖形關(guān)系式a bsinAbsinA ab解的 個數(shù)(3)已知三邊，用定理 有解時(shí)，只有一解(4)已知兩邊及夾角，用定理，必有一解 三角形中的常用公式及變式（1） 三 角 形 面 積 公 式 S 其中R， r 分別為三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑

16、A（2）A B C ， 則 A ， 2 ， 從 而 sinA cosAtanAsin2cosAtanAsin2AA cos2tanA2.tanA tanB tanC5.解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角 中，目標(biāo)視線在水平視線上方的 叫作仰角，目標(biāo)視線在水平視線 下方的叫作俯角方位角從某點(diǎn)的正北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫作方位角，方位角的范圍是（0，360 ）方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北（南 ）偏東（西）度北偏東m南偏西n坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為，坡度為i，則i h tan 坡度坡面的垂直高度h 和水平寬度l的比例 如 ：（1 ） 設(shè) ABC 的 內(nèi) 角 A, B,C 所 對 邊 的 長 分