高等代數(shù)教案(北大版)-高等代數(shù)試題以及解答

1、高等代數(shù)(上)(No.8)、填空題(每小題1分，共8分)1.一非空復(fù)數(shù)集P為數(shù)域,若其包含0和1,且對加減乘除四種運(yùn)算封閉n(n 1)2.設(shè)d(x)為f(x),g(x)的一個(gè)最大公因式,則d(x)與(f(x),g(x)的關(guān)系倍數(shù)關(guān)系即d(x)=k(fn(n 1)2.設(shè)il,i2,in=1,2,n,貝U(iii2in)+(ininiii)=xa1a2的不同根為a2a2的不同根為.設(shè)n2,a1,an兩兩不同,則anan.xr1.設(shè)t1,tr兩兩不同，則i=(1,ti,ti),i=1，,r線性無關(guān).若可由1,，唯一表示，則1,，r線性無關(guān).設(shè)1,，m為n維向量組，且R(1,，m)=n,則n&m.若A

2、為n級實(shí)對稱陣且AA=O,則A=O.二、選擇題(每小題1分，共8分)1.對于“命題甲：將n(1)級行列式D的主對角線上元素反號，則行列式變?yōu)镈;命題乙：對換行列式中兩行的位置，則行列式反號”有(B).A.甲成立，A.甲成立，乙不成立B.C.甲，乙均成立D.整系數(shù)多項(xiàng)式f (x)在Z不可名是f。A.充分 B.充分必要C.設(shè)D=|a j|n, Aij為aij的代數(shù)余子式,則甲不成立，乙成立甲，乙均不成立，在Q上不可約的(B )條件.必要 D.既不充分也不必要AI1A21.An1r c AI2A22.An2D ?二( C ).A. D B . D C.4.A. D B . D C.4.下述中，錯(cuò)誤白

3、是(D ).Dn D. ( 1)nDA.奇數(shù)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式必有實(shí)根A.奇數(shù)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式必有實(shí)根B.代數(shù)基本定理適用于復(fù)數(shù)域C.任一數(shù)域包含C.任一數(shù)域包含Q5.設(shè)A, B為n級方陣，m 中正確的是(D ).D.在 Px中，f(x)g(x)= f (x)h(x) g(x)=h(x)N,則“命題甲：| A|= A;命題乙：(AB)m= AmBm”A.甲成立，乙不成立B.A.甲成立，乙不成立B.甲不成立，乙成立C.甲，乙均成立D.甲，乙均不成立.任n級矩陣A與A,下述判斷成立的是(B).A.|A|=|A|B.AX=0與(A)X=0同解C.若A可逆，則(A)1=(1)nA1D.A反對稱，-A反對稱.

4、向量組i,，s線性無關(guān)(C).A.不含零向量B.存在向量不能由其余向量線性表出C.每個(gè)向量均不能由其余向量表出D.與單位向量等價(jià).設(shè)A,B均為P上矩陣，則由(A)不能斷言AB.A.R(A)=R(B)B.存在可逆陣P與Q使A=PBQC.A與B均為n級可逆D.A可經(jīng)初等變換變成B三、簡要回答(每小題5分，共20分).設(shè)f(x),g(x)Px,g(x)0,若f(x)=g(x)q(x)+r(x),則(f(x),g(x)=(f(x),r(x)成立嗎？為什么？答：不一定成立.如：f(x)=6x2,g(x)=2x,q(x)=3x,r(x)=0,(f(x),g(x)=x,(f(x),r(x)=x2.八ab,2

5、.設(shè)A,則當(dāng)a,b,c,d滿足何條件時(shí)，A=A?A=A2?為什么？cd答：當(dāng)b=c時(shí)，A是一個(gè)對稱矩陣，因此A=A.當(dāng)a+d=1或c=b=0且a,d0,1時(shí),A=A2.直接根據(jù)矩陣相等的定義.若1,s與1,，s均相關(guān)，則1+1,，s+s相關(guān)嗎？為什么？答：不一定.如：1=(0,2,0),2=(1,0,1),3=(2,1,2),1=(0,1,0),2=(1,0,0),3=(1,1,0),顯然1,2,3;1,2,3兩組向量均相關(guān)，但1+1,2+2,3+3是線性無關(guān)的.若A,B均為n級陣，且AB,則A與B的行向量組等價(jià)嗎？為什么？Pi1pi2 Q答：等價(jià)。因?yàn)锳B,所以存在可逆矩陣P,Q,使得A=P

6、BQ,設(shè)A=(1,，n)T,B=(1，n)T,P=(pij),Q=(Q1,Pi1pi2 Q12(pi1,pi2,.,pi2)Q(1,2,.,Pinpi1pin同理可得到(pi1, p同理可得到(pi1, pi 2,., pi2 )(1 ,2 ,.,pi2 QP1=(pij).四.計(jì)算題(每小題10分，共40分)1.把f(x)=5x46x3+x2+4按x1的方哥展開解：利用綜合除法可得1/51/5004/50116/5111/5104/504/54/514/514/59/54/519/5113/5114/51所以f(x)=5x46x3+x2+4=5(x46x3+1x2+4) TOC o 1-5

7、h z 555=5(x1)4+154(x1)3+13(x1)2+5(x1)+5=5(x1)4+14(x1)3+13(x1)2+4(x1)+4方法2用待定系數(shù)法。0000.xy0 x0000.xy0 x0 xy2.計(jì)算Dn.2.計(jì)算Dn000y00解:Dn解:Dnx1)n0 xn100yn1(1)n3.求向量組3.求向量組 1= (1, 1,2,4),2=(0,3,1,2),3=(3,0,7,14),4=(1, 1,2,0),5=(2,1,5,6)的極大無關(guān)組，并求出組中其余向量被該極大無關(guān)組線性表出的表達(dá)式.解:1031242 140解:1031242 1406 HYPERLINK l boo

8、kmark22 o Current Document 10 3120 3 3030 1101 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 0 0 0441031201101 HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 0000000011103010 110 10000000011所以 5= 1+ 2+ 4, 3=3 1+ 2 ,1, 2 , 4,為向量組的極大線性無關(guān)組。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 1114.解022X HYPER

9、LINK l bookmark37 o Current Document 11011111解：設(shè)A= 022則|A|=6 0,則A可逆.從而可求出 A的逆A 1 HYPERLINK l bookmark41 o Current Document 1 HYPERLINK l bookmark41 o Current Document 11110 0022 0 1 0110 0 0 1 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 11110 002201 00211 0 1111 HYPERLINK l bookmark32 o Current Docume

10、nt 361 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 36111所以A 111361 13 33-,從而x=313611361 131316162五、證明題(每小題8分，共24分)1.若(x3+x2+x+1)|(f(x2)+xg(x2),則(x+1)|f(x),(x+1)|g(x).證明：因?yàn)閤3+x2+x+1=(xi)(x+i)(x+1),所以x=i,x=i,x=1為其根，因此由已知條件可得x=i,x=i,x=1為f(x2)+xg(x2)的根，所以f(1)ig(1)0f(1)ig(1)0f(1)g(1)0從而f(1)=g(1)=0,故(x+1)|f

11、(x),(x+1)|g(x).b2.試證：b1b2aababca1a1bi2b2.試證：b1b2aababca1a1bi2a1b1c1a2a2b2a2b2c2ccC1C1C2C2a b a1 b1 a2 b2證明：b b1 b2ccaC1Ga1 HYPERLINK l bookmark55 o Current Document c2c2a2 HYPERLINK l bookmark49 o Current Document bcabb1c1a1b1b?c2a?b?a ca1c1a2c22a a b a c2a1 a12 a2 a 2b1a1c1b2a2c2a=2 a1a2acaa1c12a1a2c2a2a bab1a2 b