數(shù)學(xué)分析之十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)課件

1、第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)13.1 一致收斂性一 點(diǎn)態(tài)收斂二 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（或函數(shù)序列）的基本問題三 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（或函數(shù)列）的一致收斂性四 一致收斂性判別 五 小結(jié)問題的提出問題:（一）函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念1.定義:一 點(diǎn)態(tài)收斂現(xiàn)在我們將級數(shù)的概念從數(shù)推廣到函數(shù)上去.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):(定義域是?)解由達(dá)朗貝爾判別法原級數(shù)絕對收斂.4.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與其部分和在本質(zhì)上是完全一致的。二 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（或函數(shù)序列）的基本問題1.極限運(yùn)算與無限求和運(yùn)算交換次序問題2.求導(dǎo)運(yùn)算與無限求和運(yùn)算交換次序問題3.極限運(yùn)算與

2、無限求和運(yùn)算交換次序問題1.函數(shù)列及其一致收斂性 三 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（或函數(shù)列）的一致收斂性2.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性定義xyo幾何解釋:例3研究級數(shù)在區(qū)間( 0 , 1內(nèi)的一致收斂性.解對于任意一個(gè)自然數(shù)(1,1)1小結(jié)一致收斂性與所討論的區(qū)間有關(guān)三一致收斂性判別 定理13-1（函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則） 2.一致收斂的柯西準(zhǔn)則1用定義 由上確界的定義，亦有 定理13-3（函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則） 定理13.5（Weierstrass判別法）4.一致收斂性簡便的判別法：證例4證明級數(shù)證（2）由此判別法所得結(jié)果是絕對一致收斂的. 5.五、小結(jié)點(diǎn)態(tài)收斂函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（或函數(shù)序列）的基本問題一致收斂

3、性判別 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（或函數(shù)列）的一致收斂性13.2 一致收斂函數(shù)列與 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)級數(shù)的性質(zhì)一 一致收斂函數(shù)列的性質(zhì) 二 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)一. 一致收斂函數(shù)列的解析性質(zhì) 1 函數(shù)及限與序列極限交換定理2.連續(xù)性定理 估計(jì)上式右端三項(xiàng). 由一致收斂 , 第一、三兩項(xiàng) 註 定理表明: 對于各項(xiàng)都連續(xù)且一致收斂 即極限次序可換 . 3. 可積性定理 4. 可微性定理 （ 對第二項(xiàng)交換極限與積分次序） 亦即求導(dǎo)運(yùn)算與極限運(yùn)算次序可換. 二 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)1.逐項(xiàng)求極限定理2.連續(xù)性定理定理13.12證(1)(2)同樣有(3)由(1)、(2)、(3)可見,定理13.13(4)3.逐項(xiàng)求積定理證根據(jù)極限定

4、義，有即定理13.14(5)4.逐項(xiàng)求導(dǎo)定理注意:級數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo).例如，級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后得級數(shù)所以原級數(shù)不可以逐項(xiàng)求導(dǎo)第十三章習(xí)題課一、主要內(nèi)容二、典型例題一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)主要內(nèi)容(1) 定義(2) 收斂點(diǎn)與收斂域(3) 和函數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性定義定理（魏爾斯特拉斯(Weierstrass)判別法）一致收斂性簡便的判別法：一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)定理1定理2(4)定理3(5)注意:級數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo).例如，級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后得級數(shù)所以原級數(shù)不可以逐項(xiàng)求導(dǎo)解由達(dá)朗貝爾判別法原級數(shù)絕對收斂.二、典型例題原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;例2解余項(xiàng)的絕對值例3研究級數(shù)在區(qū)間( 0 , 1內(nèi)的一致收斂性.解對于任意一個(gè)自然數(shù)因此級數(shù)在( 0, 1 )內(nèi)不一致連續(xù)說明:從下圖可以看出:但