數(shù)學(xué)物理方程第四章格林函數(shù)

1、第4章格林函數(shù)在這一章里，我們介紹數(shù)學(xué)物理方程中另外一種常用的方法一格林函數(shù)法從物理上看,一個數(shù)學(xué)物理方程是表示一種特定的“場”和產(chǎn)生這種場的源”之間的關(guān)系例如，熱傳導(dǎo)方程表示溫度場和熱源Z間的關(guān)系，泊松方程表示靜電場和電荷分布的關(guān)系，等等這樣，當源被分解成很多點源的疊加時，如果能設(shè)法知道點源產(chǎn)生的場，利用疊加原理，我們可以求出同樣邊界條件卜任意源的場，這種求解數(shù)學(xué)物理方程的方法就叫格林函數(shù)法而點源產(chǎn)生的場就叫做格林函數(shù).4.15函數(shù)幾何學(xué)中的點是沒有人小的，它僅僅表示空間的一個位置，因此物理學(xué)中的質(zhì)點、點電荷等點源無法用幾何中的點來表示.那么，我們用數(shù)學(xué)語言如何描述這類具有實際背景的點源呢？

2、考慮一根長為/的直線，其上任一點的坐標XG.若總電量為0的電荷均勻分布在直線上，則直線上的電荷分布的線密度Q(X)是55由定積分的性質(zhì)可知(4.1.2)若將上述線段無限縮小，或者說令/TO,則我們得到了一個物理上常用的點源一點電荷此時，電荷分布密度用。表示，同時式(4.1.1)$為而此時，電量仍為0則式(4丄2)仍然成立.為了理解上的方便，我們修改一卜問題的敘述:去電12=1，線段長度為2$,則密度分布函數(shù)為Q=J儀巧(Qdx=f巧Wdx=1JCOJg由此可見巧(x)是偶函數(shù)，則由積分第一中值定理可得L山(x)/(x)dx=/(?)L&(x)dx=/(歹)(YV歹V)當wT0時，我們有了新的結(jié)

3、呆，我們將它定義為5函數(shù).我們稱符合卜述2個條件的函數(shù)為6函數(shù)5(x)=6,0,x=05(x)=oe-oJyJ-85(x)不是通常意義卜的函數(shù)，它用來描述集中分布這種常見而又特殊的一類現(xiàn)彖的數(shù)學(xué)工具力函數(shù)不局限J：描述點電荷的分布密度,它可以用來描述任意點最的密度.借助函數(shù)，我們可以方便地描述各類點源的分布情況.如電最0的點電荷的分布函數(shù)為poW=2W-例1設(shè)有一條張緊靜止的無窮長的細眩，其線密度為p=l若在x=0點，在很短的時間內(nèi)，用大小為F的力敲一卜，使獲得的沖量FAr=l.問眩上的初始速度v是怎樣的？解若x工0，由于時間非常短，擾動尚未傳動,所以”=0，而在x=0上有v=s.此外，由于敲

4、打前弦是靜止的，所以弦上的動量是FA/=1,即(Koj-Ko|pdxv(x)=v(x)dx=1J-coJ-co故初速度v(.v)=J(x).例2設(shè)有一根溫度為0C度的導(dǎo)熱桿，其線密度為Q,比熱為c,現(xiàn)用火焰在x=0處以極短的時間烤一下，傳給桿的熱最為0,請分析一下開始一瞬間桿上的溫度7x)的分布？解在剛開始一瞬間，我們有(422(422丿匚訶匚訶(x)d.v=Q所以有通過以上兩個例題，我們對5(x)有了進一步的認識如果將坐標平移兀，即集中量出現(xiàn)在點X=Xo處貝|J有/(x-x0)d.v=1這樣，我們可以得到5函數(shù)的一個重要性質(zhì)/Ko(x-x0)dx=/(x0)8或者說.1J(x-x0)dx=1

5、,axQb.1J(x-x0)dx=0,x0br，/W(x-x0)d.v=J了(x),axQbr，/W(x-x0)d.v=J0,x0b4.2無界域中的格林函數(shù)在第】章中，我們推導(dǎo)出了靜電場的電勢分布u滿足泊松方程d2ud2ud2u1dxdydz式中4是電荷密度，所占區(qū)域為GJ&是G中任意一個點.如果不考慮其他因素的影響，對J：無界空間中的電勢“，可以利用定積分中的微元法的思想求出來有庫侖定律知，位丁飛點的一個正的單位電荷，在無界空間中點廣處產(chǎn)生的電勢是則以心為中心的小體積dQ在r處產(chǎn)生的電勢為dw=G（r,）p（）dQ因此，在7處產(chǎn)生的電勢為w（r）=fdw=dQJo站訃-咄為了表述上的方便，心

6、處的體積微元dG以后用cb&表示貝ij有嗆）=1血4外-打這樣，我們沒有直接求解方程，而是通過尋找微元，利用積分的方式求出了方程的解而點源產(chǎn)生的電勢G0,rQ）稱為泊松方程式（421）在無界空間中的格林函數(shù),利用它，我們求出了泊松方程在無界空間的解無界空間中的格林函數(shù)又叫做方程的基本解,因此式（422）又稱為泊松方程的基本解有時也稱它為相應(yīng)的齊次方程（即拉普拉斯方程）的基本解，記為G（5）某本解式（4.2.2）是密度為。的點源在空間產(chǎn)生的電勢，因此它在空間除了r=/o點以外，滿足方程=-p0s而在廠=點有奇異性由丁格林函數(shù)是點源函數(shù)，因此在空間某一點有奇異性.在一般的數(shù)學(xué)物理方程中，我們需要考

7、慮的是滿足一定邊界條件和初始條件的解，因此和應(yīng)的格林函數(shù)就比剛才所提到的要復(fù)雜在這種情況卜，一個點源所產(chǎn)生的場，同時要受到邊界條件及初始條件的影響，而這些影響的本身也是待定的.例如，在一個接地的導(dǎo)體空腔內(nèi)的點4處放置一個正的單位點電荷（如圖4-1）,則在點P處的電勢不僅是點電荷本身所產(chǎn)生的場一，并且還要加上這個點4叩一引電荷在導(dǎo)體內(nèi)壁上感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的場而感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)壁上的分布是未知的,我們只知道在邊界上電勢為零（接地丿.因此，在一般情況卜，格林函數(shù)是一個點源在一定的邊界條件和（或）初始條件卜所產(chǎn)生的場通過格林函數(shù),我們可以求得任意分布的源所產(chǎn)生的場.pp圖4-14.3格林公式有界域上的格

8、林函數(shù)為了進一步探討利用格林公式函數(shù)求解數(shù)學(xué)物理方程，我們先來推出一個重要工具一格林公式，它是曲面積分中高斯公式的直接推論.設(shè)G是以足夠光滑的曲面F為邊界的有界域,P(x,y,z),O(x,y,z),R(x,y,z)在g+r是連續(xù)的，在o內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有如卜的高斯公式Pcos(n9x)+Qcos(n,y)+Pcos(n9x)+Qcos(n,y)+7?cos(n,z)dS(431)式中,dG是體積元素/是曲面F的外法向老dS是上的而積元素.設(shè)函數(shù)(?！眤)川在g+r一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在o內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),八6u-3cdv則有蘭+璽+竺勿dzjf(0SOuddud=(/Av)dQ+*Qdx

9、dydydzdz=|(/Av)dQ+lgiadwgiadvdQ十空dS*rdii或表示為(wAv)dQ=魯dS-jgiadwgiadvdQ式(4.3.2丿稱為格林第一公式在式(4.3.2)中，交換的位置,則有(vAw)dQ=u#dS-jgiadwgiadvdQ或表示為(wAv)dQ=魯dS-jgiadwgiadvdQ式(4.3.2丿稱為格林第一公式在式(4.3.2)中，交換的位置,則有(vAw)dQ=u#dS-jgiadwgiadvdQ式(432)減式(4.3.3)得wAv-vAdQ=dvduu_vdiidiidS式（43.4）稱為格林第二公式.卜而，我們以泊松方程第一類邊值問題為例，進一步闡

10、明格林函數(shù)的概念.Am=r=/(432)(433丿(434丿(4.3.5)(436)式中，/是在區(qū)域。上的邊界上給定的函數(shù).在介紹格林函數(shù)Z前,我們要引進空間的/函數(shù)來表示點源的密度分布，有5（1G=（x-x）5（y-兒）5心一Z。）r=r0(r-/;)dr=l億(兀,兒找0)wG)J(r-r0)/(r)dr=/(r0)用G（,山）表示位J飛點的單位強度的正點源在第一類邊界條件卜產(chǎn)生的場,則G（幾必）作為廣的函數(shù)滿足(437)(437)(422(422丿(43.8)g|f=o(43.8)以G(5)乘式(4.3.5),w(r)乘式(43.7),二式相減后在Q上對r積分，以dr表示r點處的體積微元

11、，有(GAm一wAG)dr=jGpdr+jw(r)(r-7)dr利用格林第二公式及5函數(shù)的性質(zhì)，有(心)=丄6(5)0(廠)+丄G(r,心)竽_(廣)密)dS口(5)(咖一山心篤：。)dS(4.3.9)2(5)“(咖廠一打(廠)篤dS(4.3.9)但這個表達式中所表示的意義與我們的初衷相矛盾G(r,/0)表示的是位J飛點的點源在廣點產(chǎn)生的場.但我們能證明G(aG=G(r0,r)，這樣，式(4.3.9丿可以改寫成”0)=丄6(時)億)磯-4，/(心嚴丫ds=LG(s)p(Rd-./(心嚴,：dS(4.3.10)這樣，式(4.3.1)的物理詮釋就很清楚了:右方第一個體積分代表在區(qū)域O中體分布源“兀

12、)在r點產(chǎn)生的場的總和，第二個面積分則表示了在邊界上的源所產(chǎn)生的場.卜面我們來證明G(“)=G(時)，由式(4.3.7)及式(4.3.8),我們有(43.11)G(s)=0(4312)AG(r,r,)=-5(廠一八)(4.3.13)Gm)b=0(4.3.14)G(r,r2)x是式(4.3.11)G(r,?;)x式(4.3.13)，有4C(r,r2)AG(r,?;)-G(r,rY)AG(r,r2)=G(r,r2)(r-G(r,rx)J(r-r2)兩側(cè)同時対廠積分，有(422(422丿LG(M)4G(s)-G(uMG(m)M=兒)-G(s)5(iQd廣根據(jù)格林公式第二公式及/函數(shù)的性質(zhì)，有丄G(r

13、,r2)-G(r,“)第JjdS=G(“,勺)-G,4)則根據(jù)式(4.3.12)及式(43.14)，有GE)警叫-Gg)警厶0dndn所以G(“)=G(m)這種性質(zhì)在物理學(xué)中稱為倒易性，如圖4-2所示，即位J;八點的點源，在一定的邊界情況I、，在廠2點產(chǎn)生的場等r位Jr2點的同樣強度的點源，在相同的邊界情況F在八點產(chǎn)生的場我們稱這種現(xiàn)彖為格林函數(shù)的対稱性.應(yīng)當說明，在得式(4.3刃時，我們利用格林公式把重積分化為曲而積分時，這要求4G(及在積分區(qū)域G內(nèi)連續(xù)為前提，由式(4.3.7)可明顯看到4G不連續(xù)，這樣的推導(dǎo)請參閱谷超豪等著數(shù)學(xué)物理方程(第二版).4.4格林函數(shù)的應(yīng)用在第1章里，我們從無源

14、靜電場的電位分布及穩(wěn)恒溫度場的溫度分布推出了三維拉普拉斯方程d2ud2u血喬+盲+作為描述穩(wěn)定或平衡等狀態(tài)的方程，它與初始狀態(tài)無關(guān)，因而不能提初始條件對邊界條件，常見的是如下兩種現(xiàn)象.第一邊值問題在空間（x,y,z）中某一區(qū)域G的邊界T上給定了連續(xù)函數(shù)幾要找這樣的函數(shù)u（x,y,z），它在閉區(qū)域Q+T上連續(xù)，且滿足Am=0wlr=f第一邊值問題也稱為狄利克萊（Duichlet）問題,或簡稱為狄氏問題.拉普拉斯方程的連續(xù)解，即具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),并且滿足拉普拉斯方程的連續(xù)函數(shù)，稱為調(diào)和函數(shù)因此，狄氏問題也可以這樣敘述:在區(qū)域G內(nèi)找一個調(diào)和函數(shù)，它在邊界r上的值是已知的.第二邊值問題在空間在空間（

15、x,y,Z）中某一區(qū)域Q的邊界F上給定了連續(xù)函數(shù)/，要找這樣的函數(shù)w（x,y,z），它在閉區(qū)域G+F上連續(xù)，且滿足Az/=0*du.存式中/是曲面F的外法向欠量第二邊值問題也稱為諾依曼（Neumann丿問題.以上兩個邊值問題都是在邊界F上給定某些條件,在區(qū)域內(nèi)部求解拉普拉斯方程，這樣的問題稱為內(nèi)問題.在應(yīng)用中，我們述會碰上另一類現(xiàn)彖，如確定某物體外部的穩(wěn)恒溫度場時，就歸結(jié)為在區(qū)域G的外部求調(diào)和函數(shù)使之滿足邊界條件ur=f，這里T是區(qū)域。的邊界J表示物體表而的溫度分布這樣的問題稱為拉普拉斯方程的外問題.限j:篇幅,本書僅討論如何利用格林函數(shù)求解狄利克萊問題(4.4.1)(442)Am=0(4.4

16、.1)(442)0)w|:=0=0(-cov+s)例3(Z0)w|:=0=0(-cov+s)(4.4.4)(4-4.5)解先求出格林函數(shù)G(幾心)為此在上半空間z0中任意一點rQ(x0,yoo)處置一單位正電荷，在點兀關(guān)于平面0的燉稱點人(心兒廠為)處置一單位負電荷,G(y)=如圖4-3所示由它們所形成的靜電場的電勢在平而z=0上恰好為零因此上半空間的格林函數(shù)為G(y)=(4.4.6)圖43圖43為了利用式（443丿求解問題式（444人式（445丿需耍計算邊界曲面上的值由dn在平而Z=0上的外法線方向是0Z軸的負向，所以0G0G0G3(xxo)+(yy)2+(z僉)訂亍3（x+xo）2+（y+

17、y。）+（z+Zo）(447)_1z(447)2龍、,-（x-xQ）+（y-yQ）+z-則定解問題式（444丿，式（445丿的解為(4.4.8)“（x,y,z）=J_ro匚f（?,“）Td員“(4.4.8)（X-駢+。-）+才亍用同樣的方法，我們可以求出球域上的格林函數(shù)，并給出球域內(nèi)的狄利克萊問題的解.設(shè)有一球心在原點，半徑為人的球面F在球內(nèi)任取一點心（XoQdZ。），在。幾的延長線上截取線段Oi，令|0幾卜燉|=A，使Po-Pi=用，這樣的點八稱為點心關(guān)J：球面F的反演點（或?qū)ΨQ點），如圖4-4所示.我們在點rQ處放置一單位正電荷，在點/;處放置一q單位的負電荷，通過選擇恰當?shù)膓值，使得這兩

18、個點電荷所產(chǎn)生的電勢在球面F為零.即式中為球面F上任意一點由三角形Orf與厶OP在點0處有公共角，且夾這個角的兩條邊成比例-=,因此這兩個三角形相似于是得到=RPiMlPo因此Rg=一P。即只要在點八處放單位的負電荷，則由幾及人處點源產(chǎn)生的電勢在球面上為零，這PQ樣,球域內(nèi)的格林函數(shù)為G（5）G（5）=1(1R1(4.4.9)(422(422丿(422(422丿式中為球域內(nèi)任意一點Or=pQ.卜而，我們利用格林函數(shù)來求解球域內(nèi)的狄利克萊問題Aw=0ur=f由式（439丿得（介電常數(shù)=1）(r0)=-/(r)(r0)=-/(r)on因此，我們要計算空dur因此，我們要計算空dur，由11姻+八2ocosy11卩_引Jp；+_2ppcosyR=PP。式中是向量兀與喬的夾角所以G(M,)=/LJ加+p2-2pp0cos/yjpp2-2p2pp0cos/+R4在球而上dGOGdGOG(422(422丿cTTdpp=R14兀Docosy(P14兀(p2+Po-2p0pcos/)7(PJP2-2/?0pcos/R4)IJp=/?伽(用+加-2恥cos斥所以狄氏問題的解為w(r)=iy(ds(4-41)(/?2+PJ-2/?p0cos/)2為了方便解釋物理現(xiàn)彖，我們也可以利用格林函數(shù)的倒易性,求出球內(nèi)