均值不等式精品課件

1、均值不等式第1頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二教 材 回 歸1. 算術(shù)平均值如果a,bR+,那么_叫做這兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值.2. 幾何平均值如果a,bR+,那么_叫做這兩個(gè)正數(shù)的幾何平均值.第2頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二3. 重要不等式如果a,bR+,則a2+b2_(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”);均值定理:如果a,bR+,那么 _(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”).均值定理可以敘述為:兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值2ab第3頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二4. 變式形式上述不等式中等號(hào)成立的充要

2、條件均為a=b.ab2a+b第4頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二5. 已知x,y都是正數(shù),則(1)若x+y=S(和為定值),則當(dāng)_時(shí),積xy取最大值_.(2)若xy=P(積為定值),則當(dāng)_時(shí),和x+y取得最小值_.x=yx=y第5頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二即兩個(gè)正數(shù)的和為定值,則可求其積的最大值;積為定值,則可求其和的最小值.應(yīng)用此結(jié)論要注意三個(gè)條件;“一正二定三相等”,即:(1)_;(2)_;(3)_.各項(xiàng)或各因式非負(fù)和或積為定值各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值第6頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二考 點(diǎn) 陪 練1

3、. 設(shè)0a1,0b0,b0,下列不等式中不成立的是( )答案:D解析:所以A成立,B顯然成立,C可變形為a3+b3a2b+ab2(a2-b2)(a-b)0(a+b)(a-b)20,所以C成立.D中令a=b=1時(shí)不成立.第9頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二4. 在下列函數(shù)中,當(dāng)x取正數(shù)時(shí),最小值為2的是( )答案:D第10頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二解析:對(duì)于 時(shí)取等號(hào));對(duì)于C: (當(dāng)x2+1=1,即x=0時(shí)取等號(hào))而x0,y2;對(duì)于D:y=(x-1)2+22(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)).第11頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，

4、星期二5. (2010廣東梅州揭陽(yáng))(能力題,中)設(shè)x,y均為正實(shí)數(shù),且則xy的最小值為_(kāi).16第12頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二第13頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二解讀高考第二關(guān) 熱點(diǎn)關(guān)第14頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二類(lèi)型一:證明不等式解題準(zhǔn)備:證明不等式是均值不等式的一個(gè)基本應(yīng)用,注意分析不等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)特征,通過(guò)拆(添)項(xiàng)創(chuàng)設(shè)一個(gè)應(yīng)用均值不等式的條件.在解決本類(lèi)問(wèn)題時(shí)注意以下幾點(diǎn):(1)均值不等式成立的前提條件;(2)通過(guò)加減項(xiàng)的方法配湊成算術(shù)平均值,幾何平均值的形式;(3)注意“1”的代換;

5、(4)靈活變換基本不等式的形式并注意其變形式的運(yùn)用.第15頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二典例1證明:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).利用a2+b22ab(a,bR)求證即可.a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42c2a2,2(a4+b4+c2)2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,c2a2+a2b22a2bc,2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c2+abc2+a2bc),第16頁(yè)，共99頁(yè)，2022

6、年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二即a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).即原命題可得證.評(píng)析：證明不等式時(shí),可依據(jù)求證式兩端的式子結(jié)構(gòu),合理選擇基本不等式及其變形不等式來(lái)證.第17頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二如a2+b22ab(a,bR),可變形為等.同時(shí)要從整體上把握基本不等式,如:a4+b42a2b2,a2b2+b2c22(ab)(bc),都是對(duì)“a2+b22ab,a,bR”的靈活運(yùn)用.本題先局部運(yùn)用重要不等式,然后用不等式的性質(zhì),通過(guò)不等式相加(有時(shí)相乘)綜合推出要求證的不等式,這種證明方法在證明這類(lèi)輪換對(duì)稱不等

7、式時(shí)具有一定的普遍性.第18頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二類(lèi)型二:求最值解題準(zhǔn)備:1. 利用基本不等式可以求一些函數(shù)或代數(shù)式的最值.(1)如果x0,y0,xy=p(定值),當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值2 (簡(jiǎn)記為:積定,和有最小值);(2)如果x0,y0,x+y=S(定值),當(dāng)x=y時(shí),xy有最大值 S2(簡(jiǎn)記為:和定,積有最大值).第19頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二2. 應(yīng)用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式,主要有:(1)如果a,b(0,+),則;(2)若x(0,+),則x+ 2;若x0,則x+ 2或x+ -2(當(dāng)且僅當(dāng)x

8、=y時(shí)取等號(hào));(3)ab( )2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào));(4)a2+b2+c2ab+ac+bc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)).第20頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二典例2(1)設(shè)0 x0,y0,且x+y=1,求 的最小值.第21頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二分析：(1)由0 x0,8-3x0.由于3x+(8-3x)=8,可由均值不等式得3x(8-3x) 第22頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二第23頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二(2)顯然a4,當(dāng)a4時(shí),a-40,當(dāng)且僅當(dāng) =a-4,

9、即a=4+3時(shí)取等號(hào);第24頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二當(dāng)a4時(shí),a-40,y0,且x+y=1,第26頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二(1)在利用均值不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時(shí),有時(shí)不一定恰好能用上均值不等式,因此還必須對(duì)所給的函數(shù)或代數(shù)式進(jìn)行變形整理,通過(guò)湊項(xiàng)的辦法(一般是湊和或者積為定值)構(gòu)造出均值不等式的形式再進(jìn)行求解.本題第第27頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二(2)小題中 +a雖不是定值,但變形為 +(a-4)+4即可發(fā)現(xiàn) (a-4)=3為定值,故可用均值不等式求之.分式函數(shù)求最值,通常化成 恒正或恒

10、負(fù))的形式,然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值.第28頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二(2)第(3)小題要求根據(jù)條件求最值,如何合理利用條件x+y=1是解答本題的關(guān)鍵,方法是在式子上乘以(x+y).利用均值不等式求最值時(shí),要注意三個(gè)條件,即:“一正二定三相等”,本題常見(jiàn)的誤解為x0,y0,此法錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有考慮等號(hào)成立的條件 同時(shí)成立是不可能的.所以在第29頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二不等式連續(xù)放縮的時(shí)候,要時(shí)刻注意是否在同一條件下進(jìn)行放縮,放縮時(shí)還要注意有目的性同向性,不要出現(xiàn)放縮后不能比較大小的情況.在第(2)小題中當(dāng)a4,即a-40時(shí),要

11、用均值不等式必須前面添負(fù)號(hào)變?yōu)檎?第30頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二類(lèi)型三:利用均值不等式解應(yīng)用題第31頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二解題準(zhǔn)備:均值不等式作為求最值的常用工具,經(jīng)常在有關(guān)最優(yōu)解的實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用.應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟是:仔細(xì)閱讀題目,透徹理解題意;分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,引入未知數(shù),并用它表示其他的變量,把要求最值的變量設(shè)為函數(shù);應(yīng)用均值不等式求出函數(shù)的最值;還原實(shí)際問(wèn)題,作出解答.第32頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二典例3某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200 m2的三級(jí)污

12、水處理池(平面圖如圖所示).如果池四周?chē)鷫ㄔ靻蝺r(jià)為400元/m,中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/m,池底建造單價(jià)為80元/m2,水池所有墻的厚度忽略不計(jì).第33頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬,使總造價(jià)最低,并求出最低總造價(jià);(2)若由于地形限制,該池的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16 m,試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬,使總造價(jià)最低,并求出最低總造價(jià).第34頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二解：設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x m,則寬為 m,再設(shè)總造價(jià)為y元,則有當(dāng)且僅當(dāng)800 x=259200 x,第35頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日

13、，11點(diǎn)37分，星期二即x=18 m時(shí),y取得最小值.當(dāng)污水池的長(zhǎng)為18 m,寬為 m時(shí)總造價(jià)最低,為44800元第36頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二(2)0 x16,0 16,12. 5x16,x18,不能用基本不等式,但我們可用函數(shù)單調(diào)性定義證明上第37頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二述目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),從而利用單調(diào)性求得最小值.由(1)知,y=(x)=800( )+16000(12. 5x16).對(duì)任意x1,x2,設(shè)x10,b0)”等形式.解函數(shù)應(yīng)用題中的最值問(wèn)題一般利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式來(lái)解決.第40頁(yè)，共99頁(yè)，2

14、022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二探究:某食品廠定期購(gòu)買(mǎi)面粉,已知該廠每天需用面粉6噸,每噸面粉的價(jià)格為1800元,面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元,購(gòu)買(mǎi)面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.(1)求該廠多少天購(gòu)買(mǎi)一次面粉,才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少?(2)若提供面粉的公司規(guī)定:當(dāng)一次購(gòu)買(mǎi)面粉不少于210噸時(shí),其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠(即原價(jià)的90%),那么該廠是否應(yīng)考慮利用此優(yōu)惠條件?請(qǐng)說(shuō)明理由.第41頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二解析：(1)設(shè)該廠應(yīng)每x天購(gòu)買(mǎi)一次面粉,則其購(gòu)買(mǎi)量為6x噸.由題意知,面粉的保管等其他費(fèi)用為:3=9x(x+1).設(shè)平均每天所支

15、付的總費(fèi)用為y1元,則y1= +61800當(dāng)且僅當(dāng)9x= ,即x=10時(shí)取等號(hào).即該廠每10天購(gòu)買(mǎi)一次面粉,才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少.第42頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二(2)若廠家利用此優(yōu)惠條件,則至少每35天購(gòu)買(mǎi)一次面粉.設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件后,每x(x35)天購(gòu)買(mǎi)一次面粉,平均每天支付的總費(fèi)用為y2元,第43頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二x2x135,x2-x10,x1x20,100-x1x20,f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2).即f(x)=x+ 在上為增函數(shù).當(dāng)x=35時(shí),f(x)有最小值,此時(shí)y210070

16、0)的特殊情況,在應(yīng)用均值不等式求函數(shù)最值時(shí),一定要注意ax, 的符號(hào),必要時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論.第48頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二變式:在算式“4+1=30”中的,中,分別填入兩個(gè)正整數(shù),使它們的倒數(shù)和最小,則這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)對(duì)(,)應(yīng)為_(kāi).答案:(5,10)第49頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二解析:設(shè)數(shù)對(duì)為(a,b),則4a+b=30, 第50頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二解 題 策 略1. a2+b22ab成立的條件是a,bR.而 成立,則要求a0且b0,使用時(shí),要明確定理成立的前提條件.2. 在運(yùn)用均值不

17、等式時(shí),要特別注意“拆拼湊”等技巧,如例2,使其滿足均值不等式中“一正”(即條件要求中字母為正數(shù)),“二定”(不等式的另一邊必須為一定值),“三相等”(等號(hào)取得的條件)的條件.第51頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二3. 正確理解定理:和一定,相等時(shí),積最大;積一定,相等時(shí),和最小.4. 連續(xù)使用以上兩個(gè)公式中的任一個(gè),或兩個(gè),等號(hào)成立的條件很?chē)?yán)格,要求同時(shí)滿足任何一次的字母存在且一致.上述解答的錯(cuò)誤原因在于:兩次使用均值不等式“=”不能同時(shí)取得.第52頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二5. 函數(shù)y= +bx(a0,b0)的單調(diào)性與極值(或值域)

18、要了解,并能在解題中靈活運(yùn)用,特別是當(dāng)問(wèn)題不能滿足均值不等式的條件之一“三相等”時(shí)使用.6. 對(duì)于均值不等式,不僅要記住原始形式,而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等,例如:.同時(shí)還要注意不等式成立的條件和等號(hào)成立的條件.第53頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二快 速 解 題典例已知a、b、c、dR,x、yR+,且x2=a2+b2,y2=c2+d2.求證:xyac+bd.解題切入及分析：有a2+b2、c2+d2的形式出現(xiàn),就可以用a2+b22ab.由a、b、c、dR,故ac+bd可能為正,也可能為負(fù).當(dāng)ac+bd0的情況.第54頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日

19、，11點(diǎn)37分，星期二解：證法一:當(dāng)ac+bd0時(shí),顯然有xyac+bd成立.當(dāng)ac+bd0時(shí),x2y2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2,即xyac+bd.第55頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二證法二:當(dāng)ac+bd0、-1cos(-)1就行了.【得分主要步驟】本題證明步驟簡(jiǎn)單,但需考慮ac+bd或正或負(fù)的兩種情況.若ac+bd0,則(ac+bd)2與x2y2的大小不能確定,證題時(shí)需注意此處.【易丟份原因】沒(méi)有考慮到ac+bd0還是ac+bct12,y1-y2=(t1-t2t1-t24

20、,t1t2-10,y1-y20,即y10且a(a+b+c)+bc=4-2 ,是2a+b+c的最小值為( )A. -1B. +1C. 2 +2D. 2 -2答案：D第72頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二第73頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二3. (綜合題,中)設(shè)abR+,且a+b=4,則有( )答案:B第74頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二由此可知,A,C,D都不正確,則只有B正確,故選B.第75頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二4. (能力題,中)設(shè)0 x0時(shí),f(x)=恒成立,則m-n的最小

21、值是( )答案:C第77頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二第78頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二6.(易錯(cuò)題,中)已知x2+y2=a,m2+n2=b,且ab,則mx+ny的最大值是( )答案:A第79頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二分析:由條件x2+y2=a,m2+n2=b易聯(lián)想到三角換元.解析:令第80頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二評(píng)析:此題若使用均值不等式,即,會(huì)錯(cuò)選B,因?yàn)樯鲜霾坏仁健?”不能取得.第81頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二二填空題7. (能力題,

22、中)x0,y0,若 恒成立,則a的最小值_-.2第82頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二8. (2010中山模擬)(基礎(chǔ)題,易)若a,b是正常數(shù),ab,x,y(0,+),則的最小值為_(kāi),取最小值時(shí)x的值為_(kāi).25第83頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二第84頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二9.(基礎(chǔ)題,易)已知a,bR*且a+b=1,那么下列不等式:正確的序號(hào)是_.(1)(2)(3)第85頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二第86頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二三解答題10

23、. (基礎(chǔ)題,易)設(shè)函數(shù)f(x)= x ,得（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)（）的最小值；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)（）的最小值第87頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二第88頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二(2)因?yàn)?,(此時(shí)再利用(1)的方法,等號(hào)取不到)由于x1x20,所以x1-x20,x1+11,x2+11.所以(x1+1)(x2+1)1.而0a0.即f(x1)f(x2),所以f(x1)-f(x2)0.即f(x1)f(x2),所以f(x)在在，）上單調(diào)遞增所以（）（）評(píng)析：（）問(wèn)中因等號(hào)不能取到，所以考慮使用函數(shù)單調(diào)性，由此提醒我們時(shí)刻注意三個(gè)條件，在變形時(shí)拆分項(xiàng)及配湊因式是常用的方法第90頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)37分，星期二11. (應(yīng)用題,中)某廠為適應(yīng)市場(chǎng)需求,投入98萬(wàn)元引進(jìn)世界先進(jìn)設(shè)備,并馬上投入生產(chǎn),第一年需各種費(fèi)用12萬(wàn)元,從第二年開(kāi)始,每年所需費(fèi)用會(huì)比上一年增加4萬(wàn)元.而每年因引入該設(shè)備可獲得年利潤(rùn)為50萬(wàn)元.請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù),解決以下問(wèn)