《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》考試題A卷及答案

1、哈工大 2010 年春季學(xué)期班號(hào)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)試題A答案姓名題號(hào)一二三四五六七八卷面分作業(yè)分實(shí)驗(yàn)分總分滿分值1010101010101010801010100得分值一（本題滿分10 分）如圖所示為一個(gè)擺桿系統(tǒng)，兩擺桿長(zhǎng)度均為L(zhǎng) ，擺桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，擺桿末端兩個(gè)質(zhì)量塊 （質(zhì)量均為 M ）視為質(zhì)點(diǎn)，兩擺桿中點(diǎn)處連接一條彈簧，1 與 2 分別為兩擺桿與豎直方向的夾角。當(dāng) 1 2 時(shí)，彈簧沒(méi)有伸長(zhǎng)和壓縮。水平向右的外力 f (t ) 作用在左桿中點(diǎn)處，假設(shè)擺桿與支點(diǎn)之間沒(méi)有摩擦與阻尼，而且位移足夠小，滿足近似式sin， cos1 。1）寫(xiě)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；2）寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)方程?！窘狻浚?1）

2、對(duì)左邊的質(zhì)量塊，有ML2 &1fL cos1k L sin1 sin2L cos1 MgL sin1222對(duì)右邊的質(zhì)量塊，有ML2&kL1sin 2L2MgL sin 22sincos22在位移足夠小的條件下，近似寫(xiě)成：fkL2Mg 1ML &1124ML &2kLMg 2124第1頁(yè)（共8頁(yè)）即（2）定義狀態(tài)變量則或?qū)懗蓌&1x&2x&3x&4&kg1k2f14ML4M2ML&k1kg24M4M2Lx11 ， x2&， x32， x4&12&x2x1&kgx1kx3fx24ML4M2ML&x4x3&kx1kgx3x44M4M L0100kg0k0 x14ML4Mx20001x3k0kg0 x

3、44M4ML精品文檔012MLf00二（本題滿分 10 分）設(shè)一個(gè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為xAx，其中AR。&221時(shí) ， 狀 態(tài) 響 應(yīng) 為 x(t)e 2t； x(0)2若 x(0)e 2t時(shí)，狀態(tài)響應(yīng)為112e t。試求當(dāng) x (0)1x(t )時(shí)的狀態(tài)響應(yīng) x(t) 。e t3【解答】系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為(t)eA t ，根據(jù)題意有x(t)e 2 teA t1e 2t1x(t)2e teA t2e t1合并得.精品文檔e 2t2ee 2 tet12eA tt11求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為e2t2et121e2 t2et12eA t1111e 2te te 2te te 2t2e t2e 2t2

4、e te 2te t2e 2te t當(dāng) x (0)1時(shí)的狀態(tài)響應(yīng)為3A t 1e 2t2e t2ex (t ) ee 2te t2e37e 2t8e t7e 2t4e t三（本題滿分 10 分）已知某系統(tǒng)的方塊圖如下，2 t2e t12te t3回答下列問(wèn)題：（1）按照上圖指定的狀態(tài)變量建立狀態(tài)空間表達(dá)式；（2）確定使系統(tǒng)狀態(tài)完全能控且完全能觀時(shí)，參數(shù)k 的取值范圍?！窘獯稹浚?）系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為&2kx11x1&10 x2ux21y10 x1x2（2）使系統(tǒng)狀態(tài)完全能控且完全能觀時(shí)，參數(shù)k3 且 k0 。四（本題滿分 10 分）.精品文檔離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x1( k 1)4 1x1

5、(k )0 x2 (k 1)23 x2 (k )u(k)1（1）是否存在一個(gè)有限控制序列u(0)u(1)L u( N ) ，使得系統(tǒng)由已知的初始狀態(tài)x1 (0) ， x2 (0) 轉(zhuǎn)移到 x1 ( N 1) 0 ， x2 ( N1) 0 ？試給出判斷依據(jù)和判斷過(guò)程。（2）若存在，求 N 的最小值及控制序列u(0)u(1) Lu( N ) 。【解答】（1）由題意，G410， Qch Gh01， rankQc2 ，由系統(tǒng)能控性的定義可23， h113知：存在有限控制序列，使得在有限時(shí)間內(nèi)由狀態(tài)初值轉(zhuǎn)移到零。（2）由系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的性質(zhì)可知，此系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，可用適當(dāng)?shù)膗(0) ， u(1)，使得

6、 x (2)0 ，即 N 的最小值為 1。根據(jù)狀態(tài)方程 x (k1) Gx (k) hu(k ) 進(jìn)行遞推如下：x (1)Gx (0)h u(0)x (2)Gx (1)hu(1) G Gx (0)hu(0)hu(1)G 2 x (0) Gh u(0)h u(1)0 ，由上面最后一步可得Ghu(0)hu(1)G 2 x (0)即h Ghu(1)G2 x (0)u(0)Qc u(1)G 2 x(0)u(0)u(1)1 2x(0)40104010 x1 (0)u(0)Qc G187x (0)7x2 (0)18即 u(0)18 x1 (0) 7x2 (0) ， u(1)40 x1 (0)10 x2 (

7、0) 。五（本題滿分 10 分）對(duì)下列系統(tǒng)&010651試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，滿足以下要求：閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)0.707 ；階躍響應(yīng)的峰值時(shí)間等于3.14 秒?！窘獯稹?假設(shè)狀態(tài)反饋控制律為 uk1k2x1，代入狀態(tài)方程得閉環(huán)系統(tǒng)x2&01x0k2 xx61k1501x6k15k2閉環(huán)特征多項(xiàng)式為f ( )detIA125k26k15k2根據(jù)題意的要求，0.7072， tP， n212n項(xiàng)式為f*()222222nn根據(jù)多項(xiàng)式恒等的條件可得：5k226k12解得k14k23狀態(tài)反饋控制律為 uk1 k2x14x13x2 。x2精品文檔6k1，期望特征多六（本題滿分 10 分）設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空

8、間表達(dá)式為010 x&xu05100y10 x若該系統(tǒng)的狀態(tài) x2 不可測(cè)量，試設(shè)計(jì)一個(gè)降維狀態(tài)觀測(cè)器， 使降維觀測(cè)器的極點(diǎn)為10 ，.精品文檔)要求寫(xiě)出降維觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程，并寫(xiě)出狀態(tài)x2 的估計(jì)方程。【解答】將狀態(tài)空間表達(dá)式寫(xiě)成：&x2x1&5x2 100ux2yx1進(jìn)一步寫(xiě)成&5x2100ux2&x2y設(shè)降維觀測(cè)器方程為)&5lx2100ulx2)&x25lx2100uly引入中間變量 z)ly ，兩邊求導(dǎo)數(shù)得x2&)&)&)&l x2100u5l x2 100uzx2ly5lylyz&5lzly100uz&5 lzl5ly100u根據(jù)題意，降維觀測(cè)器的極點(diǎn)為-10，即5l10，解得 l5

9、 。最終得到降維觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程為z&10z50y100u)狀態(tài)估計(jì)的表達(dá)式為x2z5 y 。. （本題滿分 10 分）證明對(duì)于線性定常系統(tǒng)的線性變換，其傳遞函數(shù)（矩陣）保持不變?！咀C明】設(shè)原線性系統(tǒng)為&AxBuxyCxDu其傳遞函數(shù)矩陣為 W (s) C sI A 1 BD.精品文檔設(shè)線性變換為 xTz ，變換后的線性系統(tǒng)為11z& TATzTBu該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為W ( s)CTsI11B DT 1ATT11B DCT sT 1T T 1 AT TCTT 1sIA T11BDTCTT1 sI11BDA TT1C sIABD顯然， W ( s)W (s) ，即其傳遞函數(shù)（矩陣）保持不變。證畢八. （本題滿分 10 分）&33x1x1x2某 2 階非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為&252x1x25 ，證明該系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處x2x1 x2x23x12漸近穩(wěn)定?！咀C明】取李雅普諾夫函數(shù)V ( x)x12x22 ，顯然是正定函數(shù)；此外，沿著狀態(tài)軌線的導(dǎo)數(shù)為：&2x2 x&233x12x2252x1 x25V ( x ) 2x1x&12x1 x2x1x2x2x2316x