高中必修必四平面向量平面向量的數(shù)量積及其運算律 完整版課件PPT

1、2.4.1平面向量的數(shù)量積及其運算律 一般地，實數(shù)與向量a 的積是一個向量，記作a，它的長度和方向規(guī)定如下：(1) |a|=| |a|(2) 當0時,a 的方向與a方向相同； 當0時,a 的方向與a方向相反； 溫故知新 設(shè)a,b為任意向量，,為任意實數(shù)，則有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=a+b運算律OBA已知兩個非零向量a和b，作OA=a， OB=b，則AOB= （0 180）叫做向量a與b的夾角。當0時，a與b同向；OAB當180時，a與b反向；OABB當90時，稱a與b垂直， 記為ab.OAab向量的夾角 我們學過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）

2、FS力F所做的功W可用下式計算W=|F| |S|cos 其中是F與S的夾角 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。（1）向量的加、減法的結(jié)果是向量還是數(shù)量？數(shù)乘向量運算呢？向量的數(shù)量積運算呢？ （2）“ ”能不能寫成“ ”或者“ ” 的形式？思考 已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a| |b|cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab ab=|a| |b| cos一、向量數(shù)量積的定義： 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負？思考：ab=|a| |b| cos當0 90時ab為正；當 =90時ab為零。當90 1

3、80時ab為負。60。CB60。5824-20D（1）已知 |p| =8,|q| =6, p和q 的夾角是 ，求p q60。a與 b的夾角為 ，則 a b=_30。（2）已知練習1（3）已知 中， a=5,b =8,C= ,求BC CAA設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OAB abB1五條重要性質(zhì)例1 已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角=120，求ab。解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。OABab平面向量的數(shù)量積的幾何意義，過點B作垂直于直線OA，垂足為 ，則| b | c

4、os| b | cos叫向量 b 在 a 方向上的投影平面向量的數(shù)量積的幾何意義是: a 的長度 |a|與 b 在 a 的方向 上的投影 |b|cos 的乘積1若a =0，則對任一向量b ，有a b=02若a 0，則對任一非零向量b ,有a b03若a 0，a b =0，則b=04若a b=0，則a b中至少有一個為05若a0，a b= b c，則a=c6若a b = a c ,則bc,當且僅當a=0 時成立7對任意向量 a 有練習2練習三：1、已知 ， 為單位向量，當它們的夾角為 時，求 在 方向上的投影及 ； 2、已知 ， ， 與 的交角為 ，則；3、若 ， ， 共線，則.（1）e a=a

5、 e=| a | cos （2）ab a b=0 (判斷兩向量垂直的依據(jù)) 403或3( a / b a b=|a| |b| ) （3）當a 與b 同向時，a b =| a | | b |，當a 與b 反向時， a b = -| a | | b | 特別地4、已知 ， ，且 ，則 與 的夾角為 ；二、平面向量的數(shù)量積的運算律：數(shù)量積的運算律：其中，是任意三個向量， 則 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、 ON, 證明運算律(3)例 3：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.(ab)a(ab)ba22abb2.aabaabbb證明：（1）(ab)2(ab)(ab)（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.例 3：求證：證明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.例4、的夾角為解:解:3、用向量方法證明：直徑所對的圓周角為直角。練習四：K=6ABCO如圖所示，已知O，AB為直徑，C為O上任意一點。求證ACB=90分析：要證ACB=90，只須證向量 ，即 。解：設(shè) 則 ，由此可得：即 ，ACB=90AD練習五：1、向量