專題6：旋轉(zhuǎn)中的半倍角模型剖析

1、專題六：旋轉(zhuǎn)中的半倍角模型剖析專題導(dǎo)入專題導(dǎo)入導(dǎo)例：如圖，在RtABC 中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且DAE=45，將ADC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90后，得到AFB，連接EF下列結(jié)論：EAF=45； BE=CD；EA平分CEF； BE2+DC2=DE2.下其中正確的個數(shù)有（ ）A個 B個 C個D個方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛 圖2 圖3如圖，已知OA=OB，2=1+3，則可以通過以下解題策略進(jìn)行轉(zhuǎn)化：連接FB，將FOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至FOA的位置，連接FE，F(xiàn)E，可得OEFOEF.模型分析（1）半角模型的命名：存在兩個角度是一半關(guān)系，并且這兩個角共頂點(diǎn)，且共頂點(diǎn)線段相等；（2）通過先旋轉(zhuǎn)全等再軸對稱全等

2、，一般結(jié)論是證明線段和差關(guān)系；（3）常見的半角模型是90含45，120含60.導(dǎo)例答案：D典例精講典例精講類型一：特定角度的半倍構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等例1問題：如圖，在RtABC中，ABAC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為 ；探索：如圖，在RtABC與RtADE中，ABAC，ADAE，將ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：如圖，在四邊形ABCD中，ABCACBADC45若BD9，CD3，求AD的長【分析】（1）證明BADCAE，根據(jù)全

3、等三角形的性質(zhì)解答；（2）連接CE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BDCE，ACEB，得到DCE90，根據(jù)勾股定理計算即可；（3）作AEAD，使AEAD，連接CE，DE，證明BADCAE，得到BDCE9，根據(jù)勾股定理計算即可 類型二：一般的半倍角構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等例2（1）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且EAF=12BAD請直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系： （2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且EAF=12BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形ABCD中，A

4、B=AD，B+D=180，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD所在直線上的點(diǎn)，且EAF=12BAD請直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系： 【分析】（1）如圖1，延長EB到G，使BGDF，連接AG，即可證明ABGADF，可得AF=AG，再證明AEFAEG，可得EF=EG，即可解題；（2）如圖2，同理可得：EF=BE+DF；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建ABG，同理證明ABGADF和AEGAEF可得新的結(jié)論：EF=BEDF專題過關(guān)專題過關(guān)1在等邊ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD，將BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60，得到BAE，連接ED，若BC=5，BD=4則下列結(jié)論錯誤的是（）AAEBCBADE=BDC

5、CBDE是等邊三角形 DADE的周長是92如圖，在ABC中，BAE=60若AB=2AC，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，且PA=3， BP=5 ，APC=120，則PC=_3.正方形ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)，（1）將ADE繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使AD，AB重合，得到ABF，如圖1所示.觀察可知：與DE相等的線段是_，AFB=_；（2）如圖2，正方形ABCD中，P，Q分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，且PAQ=45，試通過旋轉(zhuǎn)的方式說明：DQ+BP=PQ；（3）在（2）題中，連接BD分別交AP，AQ于M，N，你還能用旋轉(zhuǎn)的思想說明BM2+DN2=MN2.4. 已知等腰RtABC與等腰RtCDE，ACB=DCE=9

6、0把RtABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ED的延長線上時，若BC=132（2）當(dāng)RtABC旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時，過點(diǎn)C作BD的垂線交BD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G，求證：BD=2CG5.在四邊形ABCD中，B+D=180，對角線AC平分BAD.（1）如圖1.1，若DAB=120，且B=90，試探究邊AD，AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.（2）如圖1.2，若將（1）中的條件“B=90”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由.（3）如圖1.3，若DAB=90，探究邊AD，AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，4)

7、，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，連接AP，并把AOP繞著點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到ABD.()求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線AB的解析式;()當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)(t，0)時，試用含t的式子表示點(diǎn)D的坐標(biāo);()是否存在點(diǎn)P，使OPD的面積等于34，若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可) 備用圖 7.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，0)，B(2，0)，C(0，2)，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是AC，BC的中點(diǎn)，將CDE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到CDE，旋轉(zhuǎn)角為，連接AD，BE.(1)如圖，若090，當(dāng)ADCE時，求的大?。?2)如圖，若90180，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時，求sinCBE的

8、值；(3)若直線AD與直線BE相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍. 專題七：旋轉(zhuǎn)中的半倍角模型答案例1.（1）BCDC+EC，理由如下：BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE在BAD和CAE中，AB=AC，BAD=CAE，AD=AE.BCBD+CDEC+CD；（2）BD2+CD22AD2，理由如下：連接CE由（1）得BADCAEBDCE，ACEBDCE90CE2+CD2ED2在RtADE中，AD2+AE2ED2，又ADAE，BD2+CD22AD2；（3）作AEAD，使AEAD，連接CE，DEBAC+CADDAE+CAD，即BADCAE在BAD與CAE中，AB=AC，BA

9、D=CAE，ADC45，EDA45，EDC90DECE2-CD262例2（1）如圖1，延長EB到G，使BG=DF，連接AG在ABG與ADF中，AB=AD，ABG=ADF=90，BG=DF.AG=AF，1=21+3=2+3=12BAD=GAE=EAF又AE=AE，易證AEGAEFEG=EFEG=BE+BG，EF=BE+FD.(2)(1)中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立.理由如下：如圖2，延長EG到G，使BG=DF，連接AG.ABC+D=180，ABG+ABC=180，ABG=D.在ABG和ADF中，AB=AD，ABG=D，BG=DF.ABGADF（SAS）AG=AF，1+3=2+3=12BAD=

10、EAFGAE=又AE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD（3）結(jié)論EF=BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF=BEFD如圖3，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AGB+ADC=180，ADF+ADC=180，B=ADF在ABG與ADF中，AB=AD，ABG=ADF，BG=DF.，BAG=DAF，AG=AFBAG+EAD=DAF+EAD=EAF=12GAE=EAFAE=AE，AEGAEF.EG=EF.GE=BE-BG，EF=BE-FD.專題過關(guān)專題過關(guān)1 B 2提示：把APC旋轉(zhuǎn)到AC邊到AB邊上，并擴(kuò)大2倍，得到AMB，進(jìn)而， APCAMB，相似比為2，連接MP，得到MPA

11、=90，PM=3,PMA=30，PMB=90,利用勾股定理得BM=4,PC=2答案：23.(1)ADE繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使AD，AB重合，得到ABF，DE=BF，AFB=AED(2)將ADQ繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，則AD與AB重合，得到ABE，如圖1， 圖1則D=ABE=90， 即點(diǎn)E，B，P共線，EAQ=BAD=90，AE=AQ，BE=DQ PAQ=45，PAE=45 PAQ=PAE APEAPQ（SAS） PE=PQ而PE=PB+BE=PB+DQ， DQ+BP=PQ；(3)四邊形ABCD為正方形，ABD=ADB=45如圖2，將ADN繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，則AD與AB重合，得

12、到ABK則ABK=ADN=45，BK=DN，AK=AN 可證AMNAMK，得到MN=MKMBA+KBA=45+45=90， BMK為直角三角形 BK2+BM2=MK2 BM2+DN2=MN24. （1）ADC是由BEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到的，AD=BE=5，ADC=BECABC與CDE均為等腰直角三角形，BC=AC=132AB=13，ADC=BEC=135.AEB=90.AE=AB2-DE=7.在等腰直角三角形CDE中，CD=22DE=7（2）如圖2，過點(diǎn)A作AHCE，交CG的延長線于H，連接HE，則CAH+ACE=180，ACB=DCE=90，BCD+ACE=180CAH=BCDCFBD，ACB=

13、90，CBF+BCF=ACG+BCF=90CBF=ACG在BCD和CAH中，CBD=ACH，CB=AC，AHCE，四邊形ACEH是平行四邊形CH=2CG.BD=2CG5.（1）.證明如下：在四邊形中，.，平分，同理.（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：以為頂點(diǎn)，為一邊作，的另一邊交延長線于點(diǎn)，為等邊三角形，.（3）.理由如下：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，又平分，.又，.在中，. 6.()如圖，過點(diǎn)B作BEy軸于點(diǎn)E，作BFx軸于點(diǎn)F.圖由已知得:BF=OE=2，OF=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，2).設(shè)直線AB的解析式是y=kxb(k0)，則有，.直線AB的解析式是y=x4;()ABD由AOP旋轉(zhuǎn)得到，A

14、BDAOP.AP=AD，DAB=PAO.DAP=BAO=60，ADP是等邊三角形.如解圖，過點(diǎn)D作DHx軸于點(diǎn)H，延長EB交DH于點(diǎn)G，則BGDH.圖在RtBDG中，BGD=90，DBG=60，BG=BDcos60=t=.DG=BDsin60=t.OH=EG=2t，DH=2t.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2t，2t);()存在.假設(shè)存在點(diǎn)P，在它的運(yùn)動過程中，使OPD的面積等于，設(shè)點(diǎn)P為(t，0)，下面分三種情況討論:當(dāng)t0時，如圖，BD=OP=t，DG=t，DH=2t.OPD的面積等于，t(2t)=，t1=，t2=(舍去).點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(，0).當(dāng)D在x軸上時，如圖，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=OP=，當(dāng)

15、t0時，如圖，BD=OP=t，BG=t，DH=GF=2(t)=2t.OPD的面積等于，t(2t)=，t1=，t2=，點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(，0)，點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(，0).當(dāng)t時，BD=OP=t，BG=t，DH=t2.OPD的面積等于，(t)(2t)=，t1=，t2=(舍去).點(diǎn)P4的坐標(biāo)為(，0).綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P1(，0)，P2(，0)，P3(，0)，P4(，0).7.(1)如圖，圖A(-2，0)，B(2，0)，C(0，2) .OA=OB=OC.ACB=90.CDE是CDE旋轉(zhuǎn)得到的，DCE=90.ADCE，ADC=DCE=90.D為AC的中點(diǎn)，CD=AC.CD=CD，CD=AC.在RtACD中，cos=，=60；(2)設(shè)F為DE的中點(diǎn)，連接CF，如圖.圖