大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)第二章行列式第六節(jié)(課堂講解)

1、主要內(nèi)容問(wèn)題的提出第六節(jié)行列式按一行（列）展開(kāi)余子式和代數(shù)余子式行列式按行(列)展開(kāi)定理3級(jí)行列式的幾何意義行列式計(jì)算舉例一、問(wèn)題的提出在第四節(jié)中，我們把 n 級(jí)行列式的定義中的n! 項(xiàng)分成 n 組，每組提取公因式后得到如下結(jié)果：i = 1, 2, , n .那么這些 Aij , i, j = 1, 2, , n, 究竟是什么呢？這就是本節(jié)我們將要討論的問(wèn)題.為了找到解決問(wèn)題的線索，還是從二級(jí)和三級(jí)行列式的定義入手.二級(jí)和三級(jí)行列式的定義分別如下：把三級(jí)行列式定義中的 6 項(xiàng)，按含有第一行的3個(gè)元素的規(guī)則進(jìn)行分組，每組提取公因式，得于是就有也就是說(shuō)，A11，A12，A13 都是帶符號(hào)的二級(jí)行列

2、式，那么這些二級(jí)行列式的構(gòu)成有規(guī)律嗎？符號(hào)又是怎么確定的呢？下面作進(jìn)一步的研究.A11，A12，A13 的元素在三級(jí)行列式中的位置分別如下：它們的特點(diǎn)：劃掉了a11所在的行和列特點(diǎn)：劃掉了a12所在的行和列特點(diǎn)：劃掉了a13所在的行和列A11，A12，A13 的符號(hào)由它們所對(duì)應(yīng)的元素 a11,a12, a13 在三級(jí)行列式中的位置確定，Aij 的符號(hào)為(-1)i+j .三級(jí)行列式中的 Aij 的構(gòu)成規(guī)則可推廣到 n 級(jí)n 級(jí)行列式中 Aij 是一些帶有正負(fù)號(hào)的n - 1 級(jí)行列式.為了從理論上證明這一結(jié)論，我們先引進(jìn)余子式和代數(shù)余子式的概念.行列式，即二、余子式和代數(shù)余子式定義 7 在 n 級(jí)

3、行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列劃去后,剩下的元素按它們?cè)谠辛惺街械南鄬?duì)位置組成的 n - 1 級(jí)行列式稱為元素 aij 的余子式,記作 Mij . 按這個(gè)定義，對(duì)于三級(jí)行列式，有下面就來(lái)證明Aij = (-1)i + j Mij .我們先由行列式的定義證明 n 級(jí) 與 n - 1 級(jí)行列式的下面這個(gè)關(guān)系，證明左邊事實(shí)上，左邊按行列式定義展開(kāi)得在上述展開(kāi)式中，只有 jn = n 的項(xiàng)才可能不為零，而 ann = 1, 所以上式可變形為顯然 j1 j2 jn-1 是 1, 2, , n - 1 的排列，且所以左邊右邊.這就證明了(1) 式.為了證明 Aij = (-1)i

4、 + j Mij ，在i = 1, 2, , n .中令得的結(jié)論，把 Aij 的行作如下調(diào)換：把 Aij 的第 i 行依次與第 i + 1 行、第 i + 2行、第 n 行對(duì)調(diào)，這樣 aij = 1就調(diào)到原來(lái) anj位置上，調(diào)換的次數(shù)為 n - i ，于是就有為了利用再把 Aij 的第 j 列依次與第 j+1 列、第 j+2 列、第 n 列對(duì)調(diào)，這樣就使 aij = 1 調(diào)到第 n 行第n 列的位置，調(diào)換的次數(shù)為 n - j ，所以證畢定義 8 稱 Aij = (-1)i + j Mij 為元素 aij 的 代數(shù)余子式.例 1 利用下列模型求任意一個(gè)四級(jí)行列式的余子式和代數(shù)余子式.三、行列式按

5、行(列)展開(kāi)定理定理 4 設(shè)Aij 表示元素 aij 的代數(shù)余子式，則下列公式成立：當(dāng) k = i,當(dāng) k i.當(dāng) l = j,當(dāng) l j.用連加號(hào)簡(jiǎn)寫(xiě)為當(dāng) k = i,當(dāng) k i;當(dāng) l = j,當(dāng) l j.證明當(dāng) k = i,當(dāng) k i.由于行列式中行與列的地位是對(duì)稱的,當(dāng) k = i 時(shí)已證，只需證 k i 的情形.設(shè)行列式的第 i 行的元素等于第 k 行的元素，即aij = akj , j = 1, 2, , n , k i .把行列式第 i 行展開(kāi)，得 故只需證由于aij = akj , j = 1, 2, , n , k i ，把上式的 aij 換成 akj ，得于是就有第 i 行

6、第 k 行上式右端的行列式中含有兩個(gè)相同的行，故行列式的值等于零.證畢四、3 級(jí)行列式的幾何意義設(shè) 3 級(jí)行列式的行是向量 1、2、3 在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo),即那么于是由此可得三個(gè)向量1、2、3 共面的充要條件是：的坐標(biāo)構(gòu)成的 3 級(jí)行列式 d = 0；若 d 0，則 |d | 表示以這三條向量為鄰邊的平行六面體的體積.例如它們?cè)O(shè)因?yàn)樗运鼈児裁?圖 2 1 如圖 2 1 所示.設(shè)其體積 V 為 以 1、2、 3為鄰邊的平行六面體如圖2 2所示.圖 2 2五、行列式計(jì)算舉例例 2 任意輸入一個(gè)行列式，利用下列展開(kāi)式模型計(jì)算之.例 3 行列式稱為 n 級(jí)的范德蒙德 (Vandermonde) 行

7、列式.證明證明對(duì) n 作歸納法.當(dāng) n = 2 時(shí)，結(jié)論成立.設(shè)對(duì)于 n - 1 級(jí)的范德蒙德行列式結(jié)論成立，現(xiàn)在來(lái)看 n 級(jí)的情形.在 n 級(jí)范德蒙德行列式中，第 n 行減去第 n - 1 行的 a1 倍，第 n - 1 行減去第 n -2 行的 a1 倍.也就是由下而上依次地從每一行減去它上一行的 a1 倍，有按第 1 列展開(kāi)，并把列的公因子(ai - a1) 提出，得上式右端行列式是 n - 1 級(jí)范德蒙德行列式，按歸納法假設(shè)，它等于所有 (ai - aj) 因子的乘積，其中2 j i n .故證畢例 4 證明證明對(duì) k 用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng) k = 1 時(shí)，上式左邊為按第一行展開(kāi)，就得到所

8、要的結(jié)論.假設(shè)當(dāng) k = m - 1 時(shí)結(jié)論成立，即左邊行列式的左上角是 m - 1 級(jí)時(shí)已經(jīng)成立，時(shí)，結(jié)論也成立.當(dāng) k=m 時(shí)，按第一行展開(kāi)，有現(xiàn)在再來(lái)證明 k=m這里第二個(gè)等號(hào)是用了歸納法假定，最后一步是根據(jù)按一行展開(kāi)的公式.根據(jù)歸納法原理，結(jié)論普遍成立.證畢本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想

9、結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)