§3.4-薛定諤波動方程(PPT-YBY)

1、3.4 薛定諤波動方程一、薛定諤方程1自由粒子的薛定諤方程（1）將（1）對時間求微商，得（3）再將 對坐標(biāo)求二階微商 （2）自由粒子的薛定諤方程。 拉普拉斯算符：（5） 2薛定諤方程的一般表達(dá)式：（1）能量算符和動能算符將（2）和（4）兩式可改寫為如下形式： 將以上三式相加得： （4） 利用： 可見，粒子的能量 和動量 各與下列作用在函數(shù)上的算符相當(dāng)：（6） 這兩個算符依次稱為：能量算符和動量算符。（2）薛定諤方程的一般表達(dá)式：（7） 3、定態(tài)薛定諤方程：（1）定態(tài)薛定諤方程及波函數(shù)： 當(dāng)勢場 不顯含時間 時 代入（7）式（8） （9） （11） （9）式的解 （10） 4、對薛定諤方程的說明

2、：（13） （1）薛定諤方程的建立是通過引導(dǎo)而建立的。 （2）薛定諤方程式具有復(fù)數(shù)系數(shù)的線性微分方程，它的解必然是復(fù)數(shù)函數(shù)。（12）稱為定態(tài)薛定諤方程。（2）定態(tài)時粒子在空間中的幾率密度：（12） （3）Schrodinger方程是非相對論的量子力學(xué)方程。 （3）經(jīng)典薛定諤方程時空微商的不對稱性.二、應(yīng)用舉例1、一維無限深勢阱：（1）在阱內(nèi)：若記：（1） I II II （2） （3） （4） (4)式的解為（5） （2）在阱外 其解必為（3）根據(jù) 的連續(xù)性條件有：（6） （7） （8） （9） （10） （11） 得到歸一化波函數(shù) 3討論（1）能量不能任意取值，束縛在一維無限深勢阱中的粒子的

3、能量是量子的。這是由薛定諤方程加上標(biāo)準(zhǔn)條件自然地導(dǎo)出的，不用再做量子化的假定。（2） 能級分布是不均勻的，相鄰能級的間距 當(dāng) 能級可視為連續(xù)的。 圖4.2 （3）不同量子數(shù)下的波函數(shù)及幾率密度的曲線見圖4.2所示。（3）不同定態(tài)能量間距與勢阱寬度a的關(guān)系 2、一維有限深勢阱*一維有限深勢阱如圖4.3所示，可表示為：令：4.3一維有限深勢阱其中各個系數(shù)待定；在勢阱邊界連續(xù)條件 超越方程，可用數(shù)值計算或圖解法確定能量。 波函數(shù)： 相應(yīng)的波函數(shù)是： 相應(yīng)的波函數(shù)是： 能量：現(xiàn)用圖解法來確定能量，為此，令：有：這是一個圓的方程式，再將 表示為： 以 為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)作曲線圖 當(dāng) 半徑在 時，任一個圓只有一個交點。 之間的于是得到一個能量值，相應(yīng)波函數(shù)為偶態(tài)。 兩個能量值，相應(yīng)波函數(shù)一個為偶態(tài)，一個為奇態(tài)：三個能量值，兩個偶態(tài)，一個奇態(tài) 3、隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）5.1 一維方勢壘一維有限寬方形勢壘 一維方形勢壘的定態(tài)Schrodinger方程：（，）： （）： 方程的解為：在區(qū)域I： 在區(qū)域： 在區(qū)域III： 利用波函數(shù)及其微商在邊界連續(xù)的條件來確定波函數(shù)的系數(shù) 只討論 的情形。若令： 則：透射系數(shù)（穿透幾率）：透射波的幾率流密度與入射波幾率流密度之比若粒子能量E很小， 則