專題02：M型平行線（老師版）

1、專題02：M型平行線-2022年中考數(shù)學(xué)解題方法終極訓(xùn)練一、單選題1如圖，BCD90，ABDE，則與一定滿足的等式是（）A+180B+90C3D90【答案】D【解析】分析：過C作CFAB，根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行得到ABDECF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到作差即可.詳解：過C作CFAB，ABDE，ABDECF， 故選D點睛：考查平行公理已經(jīng)平行線的性質(zhì)，注意輔助線的作法，作出輔助線是解題的關(guān)鍵.2如圖，已知ABDE，130，235，則BCE的度數(shù)為（）A70B65C35D5【答案】B【解析】作CFAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到1BCF，F(xiàn)CE2，從而可得BCE的度數(shù)，本題得以解決【詳解】作

2、CFAB，ABDE，CFDE，ABDEDE，1BCF，F(xiàn)CE2，130，235，BCF30，F(xiàn)CE35，BCE65，故選：B【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答3如圖，已知點是矩形內(nèi)一點（不含邊界），設(shè)，若，則（）ABCD【答案】A【解析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，可得，兩式相減即可得到【詳解】解：矩形，中，即，中，即，由，可得，即，故選：A【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：矩形的四個角都是直角4如圖，點在上，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）（1）；（2）；（3）；（4）A1個B2個C3個D4個【答案】

3、B【解析】利用平行線的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)依次判斷即可求解【詳解】解：ABCD，A+C180，又A110，C70，AEDC+D85，故（2）正確，C+D+CED180，D+CED110，ACED+D，故（3）正確，點E在AC上的任意一點，AE無法判斷等于CE，BED無法判斷等于45，故（1）、（4）錯誤，故選：B【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵5如圖，BCD70，ABDE，則與滿足（）A+110B+70C70D+90【答案】B【解析】過點C作CFAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BCF，DCF，由此即可解答【詳解】如圖，過點C作CFAB，ABDE，ABCF

4、DE，BCF，DCF，BCD70，BCD =BCF+DCF+70，+70故選B【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理證明是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題6如圖，在中，在上取一點，上取一點，連接，若，過點作，且點在的右側(cè)，則的度數(shù)為_【答案】【解析】在中，由三邊的長度可得出，進(jìn)而可得出為直角三角形且，由于平行線之間有拐點，所以過點C作交AB于點M，則，利用平行的性質(zhì)可得出的度數(shù)，結(jié)合可求出的度數(shù)，再利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”即可求出的度數(shù)【詳解】解：在中，即，為直角三角形且過點C作交AB于點M，則，如下圖所示，又，故答案為：【點評】本題考查了勾股定理的逆定理

5、以及平行線的性質(zhì)，利用勾股定理的逆定理，找出并知道過拐點作已知直線的平行線是解題的關(guān)鍵7已知直線ab，將一塊含30角的直角三角板ABC按如圖所示方式放置（BAC30），并且頂點A，C分別落在直線a，b上，若122，則2的度數(shù)是_【答案】38【解析】過點B作BDa，可得ABD=1=22，ab，可得BDb，進(jìn)而可求2的度數(shù)【詳解】如圖，過點B作BDa，ABD=1=22，ab，BDb，2=DBC=ABC-ABD=60-22=38故答案為：38【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)8如圖，ABEF，設(shè)C90，那么x，y，z的關(guān)系式為_【答案】y=90-x+z【解析】作CGAB

6、，DHEF，由ABEF，可得ABCGHDEF，根據(jù)平行線性質(zhì)可得x=1，CDH=2，HDE=z，由C90，可得1+2=90，由y=z+2，可證y=z+90-x即可【詳解】解：作CGAB，DHEF，ABEF，ABCGHDEF，x=1，CDH=2，HDE=zBCD901+2=90，y=CDH+HDE=z+2，2=90-1=90-x，y=z+90-x即y=90-x+z【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，利用輔助線畫出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵9如圖，已知ABCD，易得1+2+3=360，1+2+3+4 =540，根據(jù)以上的規(guī)律求1+2+3+n =_ 【答案】【解析】過點P作平行于AB的直線，運用

7、兩次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到三個角的和；分別過點P，Q作AB的平行線，運用三次平行線的性質(zhì)，即可得到四個角的和；同樣作輔助線，運用（n-1）次平行線的性質(zhì)，則n個角的和是【詳解】解：（1）如圖，過點P作一條直線PM平行于AB，ABCD，ABPMABPMCD，1+APM=180，MPC+3=180，1+APC+3=360；（2）如圖，過點P、Q作PM、QN平行于AB，ABCD，ABPMQNCD，1+APM=180，MPQ+PQN=180，NQC+4=180；1+APQ+PQC+4=540；根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n-2）條輔助線，運用（n-1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到1+2+

8、3+n =180（n-1）故答案為：【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵10如圖，平分，則_【答案】【解析】過E點作EMAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得BED=B+D，利用角平分線的定義可求得B+3D=132，結(jié)合B-D=28即可求解【詳解】解：過E點作EMAB，B=BEM，ABCD，EMCD，MED=D，BED=B+D，EF平分BED，DEF=BED，DEF+D=66，BED+D=66，BED+2D=132，即B+3D=132，B-D=28，B=54，D=26，BED=80故答案為：80【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線證出BED=B+D是解題

9、的關(guān)鍵三、解答題11如圖，AB/CD，點 為兩平行線間的一點請證明兩個結(jié)論（1）；（2）【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求證即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得證；【詳解】（1）過點作，ABCD，ABEFCD， ， （2），又BED=BEF+DEF，【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12（1）已知：如圖（a），直線求證：；（2）如圖（b），如果點C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)點C在AB與ED之外時，見解析【解析】（1）由題意首先過

10、點C作CFAB，由直線ABED，可得ABCFDE，然后由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可證得ABC+CDE=BCD；（2）根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得ABC=BFD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得ABC-CDE=BCD【詳解】解：（1）證明：過點C 作CFAB，ABED，ABEDCF，BCF=ABC，DCF=EDC，ABC+CDE=BCD；（2）結(jié)論：ABC-CDE=BCD，證明：如圖：ABED，ABC=BFD，在DFC中，BFD=BCD+CDE，ABC=BCD+CDE，ABC-CDE=BCD若點C在直線AB與DE之間，猜想,ABEDCF，.【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形

11、外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，注意掌握輔助線的作法13如圖1，求的度數(shù)小明的思路是：如圖2，過作，通過平行線性質(zhì)可求的度數(shù) （1）請你按小明的思路，寫出度數(shù)的求解過程；（2）如圖3，點在直線上運動，記，當(dāng)點在線段上運動時，則與、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；若點不在線段上運動時，請直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）見解析；（2），見解析；【解析】（1）過作，利用平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）過作，再利用平行線的性質(zhì)即可得出答案；分在延長線上和在延長線上兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出答案【詳解】解：（1）如圖2，過作，（2）、，理由：如圖3，過作，；、如備

12、用圖1，當(dāng)在延長線上時，； 理由：如備用圖1，過作，；如備用圖2所示，當(dāng)在延長線上時，；理由：如備用圖2，過P作，；綜上所述，【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是過作14已知AB/CD（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到BED求證：BEDB+D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分ABC，DF平分ADC，且BF，DF所在的直線交于點F如圖2，當(dāng)點B在點A的左側(cè)時，若ABC50，ADC60，求BFD的度數(shù)如圖3，當(dāng)點B在點A的右側(cè)時，設(shè)ABC，ADC，請你求出BFD的度數(shù)（用含有，的式子表示）【答案】（1）見解析；（2）55；（3）【解析】（1）根據(jù)平行線的判定定

13、理與性質(zhì)定理解答即可；（2）如圖2，過點作，當(dāng)點在點的左側(cè)時，根據(jù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求的度數(shù)；如圖3，過點作，當(dāng)點在點的右側(cè)時，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出的度數(shù)【詳解】解：（1）如圖1，過點作，則有，；（2）如圖2，過點作，有，即，平分，平分，答：的度數(shù)為；如圖3，過點作，有，即，平分，平分，答：的度數(shù)為【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)15如圖1，點、分別在直線、上，.（1）求證：；（提示：可延長交于點進(jìn)行證明）（2）如圖2，平分，平分，若，求與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，如圖3，平分，點在射線上，若

14、，直接寫出的度數(shù)【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）或【解析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180和平角定義得到，結(jié)合平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義證得，結(jié)合已知即可得出結(jié)論；（3）分當(dāng)在直線下方和當(dāng)在直線上方兩種情況，根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分線定義求解即可【詳解】解：（1）如圖1，延長交于點， ， ； （2）延長交于點，交于點， 平分，平分，； （3）當(dāng)在直線下方時，如圖，設(shè)射線交于，平分， ，即，解得： 當(dāng)在直線上方時，如圖，同理可證得，則有，解得：綜上，故答案為或【點評】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外

15、角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角定義、角度的運算，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵16已知ABCD，ABE與CDE的角分線相交于點F（1）如圖1，若BM、DM分別是ABF和CDF的角平分線，且BED100，求M的度數(shù)；（2）如圖2，若ABMABF，CDMCDF，BED，求M的度數(shù)；（3）若ABMABF，CDMCDF，請直接寫出M與BED之間的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）65；（2）；（3）2nM+BED=360【解析】（1）首先作EGAB，F(xiàn)HAB，連結(jié)MF，利用平行線的性質(zhì)可得ABE+CDE=260，再利用角平分線的定義得到ABF+CDF=130，從而得到BFD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義

16、和三角形外角的性質(zhì)可求M的度數(shù)；（2）先由已知得到ABE=6ABM，CDE=6CDM，由（1）得ABE+CDE=360-BED，M=ABM+CDM，等量代換即可求解；（3）由（2）的方法可得到2nM+BED=360【詳解】解：（1）如圖1，作，連結(jié)，和的角平分線相交于，、分別是和的角平分線，；（2）如圖1，與兩個角的角平分線相交于點，；（3）由（2）結(jié)論可得，則【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，關(guān)鍵在于掌握兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補的性質(zhì)17已知ABCD，線段EF分別與AB，CD相交于點E，F(xiàn)（1）請在橫線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當(dāng)點P在

17、線段EF上時，已知A35，C62，求APC的度數(shù)；解：過點P作直線PHAB，所以AAPH，依據(jù)是；因為ABCD，PHAB，所以PHCD，依據(jù)是；所以C（），所以APC（）+（）A+C97（2）當(dāng)點P，Q在線段EF上移動時（不包括E，F(xiàn)兩點）：如圖2，APQ+PQCA+C+180成立嗎？請說明理由；如圖3，APM2MPQ，CQM2MQP，M+MPQ+PQM180，請直接寫出M，A與C的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；CPH；APH，CPH；（2）APQ+PQCA+C+180成立，理由見解答過程；3PMQ+A+C360【解析】（1）根據(jù)平行線的判定與性

18、質(zhì)即可完成填空；（2）結(jié)合（1）的輔助線方法即可完成證明；（3）結(jié)合（1）（2）的方法，根據(jù)APM2MPQ，CQM2MQP，PMQ+MPQ+PQM180，即可證明PMQ，A與C的數(shù)量關(guān)系【詳解】解：過點P作直線PHAB，所以AAPH，依據(jù)是兩直線平行，內(nèi)錯角相等；因為ABCD，PHAB，所以PHCD，依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行；所以C（CPH），所以APC（APH）+（CPH）A+C97故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；CPH；APH，CPH；（2）如圖2，APQ+PQCA+C+180成立，理由如下：過點P作直線PHAB，QGAB，ABCD，ABCDPHQG，AAPH，CCQG，HPQ+GQP180，APQ+PQCAPH+HPQ+GQP+CQGA+C+180APQ+PQCA+C+180成立；如圖3，過點P作直線PHAB，QGAB，MNAB，ABCD，ABCDPHQGMN，AAPH，CCQG，HPQ+GQP180，HPMPMN，GQMQMN，PMQHPM+GQM，APM2MPQ，CQM2MQP，PMQ+MPQ+PQM180，APM+CQMA+C+PMQ2MPQ+2MQP2（180PMQ），3PMQ+A+C360【點評】考核知識點：平行線的判定和性質(zhì)熟練運用平行線性質(zhì)