2018常微分方程考研復(fù)試題庫答案

1、2018常微分方程考研復(fù)試題庫及答案2018常微分方程考研復(fù)試題庫及答案7/72018常微分方程考研復(fù)試題庫及答案123132133138139143144145146150151156157162164167168173174177178180184185189190192193194195198199202203205206210211216217221222226227229230233234235236241242將（2x-4y+6）dx+(x+y-3)dy=0化為齊次方程。243求解dy=f(x+y+1)dx244說明當(dāng)p(x連續(xù)時，線性齊次方程的0解唯一。證明線性齊次方程任意兩個解

2、的和與差仍是它的解。246常數(shù)變易法用變換y=C(x)exp(-p(x)dx)與線性齊次方程通解有什么不相同248dy/dx-xy=0.1x2dy249求初值問題的解ycosxdx1y(0)250求解dy2xy=4x.dx251求解方程y2y=x2exp(2x),y(0)=0.252解方程dy=1ydxx253設(shè)y1(x),y2(x)是一階線性方程兩個不相同的特解，試用這兩個特解來表示通解。用變量代替或微分方法將下面方程化為線性（1）xdx=(x22y+1)dy（2）(x+1)(yy-1)=y2（3）xy(t)dtx+1y(x)=0化以下方程為線性方程（1）y-4y=xyx（2）y=y2-x2

3、-1256將方程ydx+(y-x)dy=0給兩種解法。257試證明：凡擁有通解為y=C(x)+(x)式的一階方程都是線性方程。其中(x)，為可微函數(shù)。常微分方程2答案1231321331381391431441451461501511562157162163164167168173174177178180181184185189190192193194195198199202203205206210211216217221222226227229230233234235236241242方程變形為dy=2x4y6，它的分子，分母兩條直線交點(diǎn)為（1,2）dxxy2作變換xu1，于是獲取dv2u4

4、v，它已經(jīng)是齊次方程。yv2duuv243令z=x+y+1,則dz1dy，于是dz=1+f(z),dxdxdx只要f(z)0,可分別變量得x=dz+C1f(z)xx244因p(x)連續(xù)，y(x)=y0exp(-p(x)dx)在p(x)連續(xù)的區(qū)間有意義，而exp(-p(x)dx)x0 x00。若是y00，推出y(x)=0,若是y(x)0,故零解y(x)=0唯一。245設(shè)有兩個解y1(x),y2(x),則y(x)+p(x)y(x)0,y(x)+p(x)y2(x)0,則112（y(x)y2(x)）y(x)(y(x)+y2(x)=(y(x)+p(x)y(x)+y(x)+p(x)y2(x)11112表示

5、y1(x)y2(x)仍是解。246在線性齊次方程通解公式中C是任意常數(shù)而在常數(shù)變易法中C（x）是x的可微函數(shù)。將任意常數(shù)C變成可微函數(shù)C（x），希望它解決線性非齊次方程求解問題，這一方法成功了，稱為常數(shù)變易法。247用線性齊次方程通解公式得y=Cexp（sinx）249p(x)=-cosx用線性齊方程初值問題解公式即得y=exp(sinx)250用線性方程通解公式：y=exp(-2xdx)(C+2xdx)dx)=exp(-x2)(C+2exp(-x2)=2+Cexp(-x2)公式求得方程通解y(x)=exp(2x)(C+x2exp(2x)exp(-2x)dx)=exp(2x)(c+1x3)3利

6、用初始條件代入上式y(tǒng)(0)=0=C,故y=1x3exp(2x)3252x看作自變量，y看作函數(shù)，則它是非線性方程，經(jīng)變形為dxdyx+y以x為未知函數(shù),y是自變量，它是線性方程，則通積分為x=exp(dy)(c+yexp(y)dy)=cexp(y)-y-1253任一解y(x)滿足（y(x)-y1(x)）/y2(x)-y1(x)=C,或(y2(x)-y1(x)+|y1(x)這就是一階方程通解的結(jié)構(gòu)。254令z=x2,則dz=2xdx,代入方程得1/2dz=(z-2y+1)dy它已經(jīng)是線性方程。1）令u=y2,則du=2yy,代回原方程得dxx+1）(1/2u-1)=u,變形為du=2u2dxx1這已經(jīng)是線性方程。（2）它不是微分方程，但對它求導(dǎo)后得dy(x)dxy(x)+1,這已經(jīng)是線性方程。dy-2xy=exp(x2)cosxdx此為線性方程，從而通解為y=exp(2xdx)(C+exp(x2)cosxexp(-2xdx)dx)=exp(x2)(C+sinx)dy+y(x)(x),(x)是已知可微函數(shù))dx此方程為線性方程，從而通解為y=exp(-ddx)(C+(x)(x)exp(x)dx)dxdx=exp(-(x)(C+exp(x)(x)-1)=Cexp(-(x)+(x)-1255此為貝努利方程。令z=y得dz2z=x,它是線性方程。dxx2（1）此為黎卡