高考中數(shù)學文化的考查：數(shù)列中的數(shù)學文化題

1、專題二 數(shù)列中的數(shù)學文化題一考點解讀：數(shù)列中的數(shù)學文化題一般以我國古代數(shù)學名著中的等差數(shù)列和等比數(shù)列問題為背景，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項公式和前n 項和公式二數(shù)學文化的典型題：（ 1）等差等比數(shù)列：等差等比數(shù)列的數(shù)學文化題頻繁出現(xiàn)在各級各類考試試卷中. 解決這類問題的關(guān)鍵是將古代實際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學問題，運用等差等比數(shù)列的概念、通項公式和前n 項和公式。（ 2）斐波拉契數(shù)列：斐波那契數(shù)列又稱“兔子數(shù)列”，也稱黃金分割數(shù)列，是這樣一個數(shù)列：這個數(shù)列的第0 項是 0， 第 1 項是1， 從第三項開始，每一項都等于前兩項之和，即：0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、13、 21 ，在

2、數(shù)學上斐波納契數(shù)列被以遞歸的方法定義：F（0）=0，F(xiàn) （ 1） =1， F （n）=F（n-1）+F（n-2） （n2，nN*）。斐波拉契數(shù)列是一個非常美麗、和諧的數(shù)列，它的形狀可以用排成螺旋狀的一系列正方形來說明起始的正方形（ 圖中用灰色表示） 的邊長為1， 在它左邊的那個正方形的邊長也是1 ， 在這兩個正方形的上方再放一個正方形，其邊長為2， 以后順次加上邊長為3、 5、 8、 13、 21等等的正方形，這些數(shù)字每一個都等于前面兩個數(shù)之和，它們正好構(gòu)成了斐波那契數(shù)列。（ 3） 九章算術(shù)：九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學名著，強調(diào)“經(jīng)世濟用”，注重算理算法，其中很多問題可轉(zhuǎn)化為數(shù)列的問題，然后再利

3、用數(shù)列的知識有關(guān)知識進行解題。（ 4）“萊布尼茲調(diào)和三角形”：“萊布尼茲調(diào)和三角形”： 第 n 行有 n 的數(shù)它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，且兩端的數(shù)均為1/n ，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，例 1 中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其意思為：有一個人走 378 里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了 6 天后到達目的地，請問第二天走了()A 192里 B 96里 C 48里 D 24里思路點撥：讀懂題意，將古代實際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學問題，本題相當于：1已知

4、等比數(shù)列a n 中，公比q 2，前6 項和S6 378，求a2.1解題分析：設(shè)等比數(shù)列a n 的首項為a1，公比為q 21，1a1 1 26依題意有1 378 ，解得a1 192，21 TOC o 1-5 h z 則a2 192 296 ，即第二天走了96 里正確答案：選B總結(jié)反思：涉及等差等比數(shù)列的數(shù)學文化題頻繁出現(xiàn)在各級各類考試試卷中.解決這類問題的關(guān)鍵是將古代實際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學問題，運用等差等比數(shù)列的概念、通項公式和前n 項和公式 .例 2. 九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢， 令上二人所得與下三人等問各得幾何？”其意思為： “已知甲、 乙、丙、 丁、

5、戊五人分5 錢， 甲、 乙兩人所得與丙、丁、 戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列問五人各得多少錢？”( “錢”是古代 TOC o 1-5 h z 的一種重量單位) 這個問題中，甲所得為()A.5錢B.5錢C.3錢D.4錢4323思路點撥：讀懂題意，將古代實際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學問題，本題相當于已知等差數(shù)列an中，前5項和為5，a1a2a3a4a5，求a1.2a1 d 3a1 9d，解題分析：設(shè) a n 首項為a1，公差為d，有52a1 d 2，解得a1解得a1，31d6，正確答案：選 D.總結(jié)反思：九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學名著，強調(diào)“經(jīng)世濟用”，注重算理算法， 其中很多問題可

6、轉(zhuǎn)化為數(shù)列的問題，然后再利用數(shù)列的知識有關(guān)知識進行解題。例 3. (2018 南陽一中模擬)意大利數(shù)學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，即F(1) F(2) 1， F(n) F(n 1) F(n 2)(n 3， nN*)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被3 整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列 bn ，則b2 019 .思路點撥：本題先根據(jù)題意明確該數(shù)列的遞推公式，再依據(jù)所給式子中項的特點把遞推公式恰當變形得出結(jié)論解題分析：由題意得引入“兔子數(shù)列”： 1,1,2,3,5,8,13

7、,21,34,55,89,144,233 ， 此 數(shù) 列 被 3 整 除 后 的 余 數(shù) 構(gòu) 成 一 個 新 數(shù) 列 為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0 ，構(gòu)成以8 項為周期的周期數(shù)列，所以b2 019 b2 016 3 b3 2. TOC o 1-5 h z 正確答案：2總結(jié)反思：該題的命制以 “斐波那契數(shù)列”為背景，考查考生靈活處理遞推數(shù)列問題的能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，高考中多次考查斐波那契數(shù)列.例 4. 如右圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n 行有 n 個數(shù)且兩端的數(shù)均為1 n 2 , 每個數(shù)是它下一行左右n相鄰兩數(shù)的和

8、, 如 1 = 1 + 1 ， , 1 = 1 + 1 ， , 1 = 1 + 1 ，則：1 2 2 2 3 6 3 4 12第6 行第2 個數(shù)(從左往右數(shù))為。第n 行第3 個 數(shù)(從左往右數(shù))為思路點撥：本題先根據(jù)萊布尼茲調(diào)和三角形的第n n 3 行第 3 個數(shù)字12是 122 ，再依據(jù)項的特點恰當變形得出結(jié)論nCn 1 n n 1 n 2解題分析：（ 1）第六行第一個數(shù)是所以 a6,21 ，第二個數(shù)設(shè)為6111；5 630a6,21+a解題分析：（ 1）第六行第一個數(shù)是所以 a6,21 ，第二個數(shù)設(shè)為6111；5 630a6,21+a6,26尼茲調(diào)和三角形，由于楊輝三角形中的第么萊布尼茲

9、調(diào)和三角形的第2）觀察發(fā)現(xiàn)：將楊輝三角形中的每一個1Cnr 都換成r ，就得到萊布n 1 Cnrn n 3 行第 3 個數(shù)字是Cn21，那1n n 3 行第 3 個數(shù)字是12nCn2 12nn 1 n 2正確答案：（ 1） a 6,2130總結(jié)反思：該題的命制以“萊布尼茲調(diào)和三角形”為背景，考查考生靈活處理2)12nCn 12nn 1 n 2數(shù)列問題的能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力。（ 2011 年理第 13 題）九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根 9 節(jié)的竹子， 自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4 節(jié)的容積共3 升，下面3 節(jié)的容積共 4 升，則第5 節(jié)的容積為升 .（2017高考全國卷 ）我國古代數(shù)

10、學名著算法統(tǒng)宗中有如下問題： “遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座 7 層塔共掛了381 盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A 1 盞 B 3 盞 C 5盞 D 9 盞（2018 江西七校聯(lián)考）九章算術(shù)之后， 人們學會了用等差數(shù)列的知識來解決問題， 張丘建算經(jīng)卷上第22 題為：“今有女善織，日益功疾 （ 注：從第2 天開始，每天比前一天多織相同量的布） ，第一天織5 尺布，現(xiàn)一月（ 按 30天計 ） 共織 390 尺布”，則從第 2 天起每天比前一天多織尺布 .（ 2018江西省贛州市期中）萊因德紙草書（ Rhin

11、d Papyrus）是世界上最古老的數(shù)學著作之一，書中有這樣的一道題目：把100 個面包分給5 個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的1 是較小的兩分之和，則最小7 TOC o 1-5 h z 的 1 份為（）A. 5 B. 10 C. 5 D. 116336（ 2018 內(nèi)蒙呼和浩特質(zhì)量普查）“斐波那契”數(shù)列由十三世紀意大利數(shù)學家斐波那契發(fā)現(xiàn)，數(shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱之為神奇數(shù)，具體數(shù)列為：1，1， 2， 3， 5， 8，即從該數(shù)列的第三項數(shù)字開始，每個數(shù)字等于前兩個相鄰數(shù)字之和，已知數(shù)列an 為“斐波那契”數(shù)列，Sn為數(shù)列an 的前 n 項和，若 a2017m ，則S2015

12、（ ）A. 2m B. 2m 1 C. m 1 D. m 12（ 2013 年湖北理）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)，如nn 111三角形數(shù)1,3,6,10, ,第n個三角形數(shù)為n n 11 n21 n.記第 n 個 k邊形數(shù)222為 N n,k k 3 ,以下列出了部分k邊形中的第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)N （n,3）1 n2 1 n, 正方形數(shù)N （n,4） n2,22五邊形數(shù)N(n,5) 3 n2 1 n, 六邊形數(shù)N(n,6) 2n2 n,22可以推測N n, k 的表達式，由此計算N(10,24)=.宋元時期杰出的數(shù)學家朱世杰在其數(shù)學巨著四元玉鑒卷中“菱草形段”第一個

13、問題， “今有菱草六百八十束， 欲令落一形( 同垛 ) 之， 問底子 ( 每層三角形邊菱草束數(shù)，等價于層數(shù)) 幾何？”中探討了“垛積術(shù)”中的落一形垛 ( “落一形”即是指頂上一束，下一層三束，再下一層 6 束，成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示第二層開始的每層菱草束數(shù)) ，則本問題中三角垛底層菱草總束數(shù)為.8.(2012 年湖北文科第17題 )傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上 TOC o 1-5 h z 畫點或用小石子表示數(shù). 他們研究過如圖所示的三角形數(shù):將三角形數(shù)1,3,6,10, 記為數(shù)列a n, 將可被 5 整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列b n. 可以推

14、測:(1)b 2012是數(shù)列an中的第 項 ;(2)b 2k-1=.(用 k 表示 )1.67/66 ；2. B1.67/66 ；2. B；1629；4.C；5.D解析 : 5.D解析 : Q an 2 anan 1anan 1 an an an 1an 2an 1an an 1 an2 an 3an 2anan 1 aan an 1 an2 an 3an 2anan 1 an2 +an 3. a2 a1 1=Sn1,S2015a20171 m1D.6.1000；解：結(jié)合以上的公式發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：(1) 第 n 個 k 邊形數(shù) N n,k (k 3)的表達式是關(guān)于n 的二次函數(shù)(不含常數(shù)項)，且二次項系數(shù)為k 2；22)每一個k 邊形數(shù)的第一個數(shù)都是1；故有 N k n,kk 2n22 k22n ，所以N 10,2422102 102 1000 .27.120；解析：由題意，第n 層菱草數(shù)為1 解析：由題意，第n 層菱草數(shù)為1 2nn(n 1）2，n（ n 1）1 3 62 680，11112 6n（n1）（2n1）2n（n1）6n（n 1）（n 2） 680， n（n 1）（n 2） 15 16 17，n（ n 1）n 15，