連續(xù)隨機(jī)變數(shù)

1、連續(xù)隨機(jī)變數(shù)2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章1第1頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章2第八章之學(xué)習(xí)重點(diǎn)常態(tài)機(jī)率分配 指數(shù)分配 二項(xiàng)分配與常態(tài)分配的關(guān)係 第2頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章3連續(xù)隨機(jī)變數(shù)連續(xù)隨機(jī)變數(shù)的變數(shù)值，是產(chǎn)生在一段不可數(shù)的範(fàn)圍內(nèi)，變數(shù)值的個(gè)數(shù)是無(wú)限多個(gè)。 第3頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章4連續(xù)隨機(jī)變數(shù)連續(xù)隨機(jī)變數(shù)的單一數(shù)值為 a 的發(fā)生機(jī)率值必定等於零。P(X = a) = 0 ，當(dāng)

2、 X 為連續(xù)隨機(jī)變數(shù)。在一段特定的範(fàn)圍內(nèi)的機(jī)率值是存在的。要計(jì)算這種機(jī)率值，必須利用到連續(xù)隨機(jī)變數(shù)的機(jī)率密度函數(shù)。所謂的機(jī)率密度函數(shù)，與數(shù)量資料的直方圖有關(guān) 。第4頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章5連續(xù)隨機(jī)變數(shù)的機(jī)率密度函數(shù) 第5頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章6連續(xù)隨機(jī)變數(shù)之值在特定範(fàn)圍的機(jī)率連續(xù)隨機(jī)變數(shù) X ，其值在 c x d 間產(chǎn)生的機(jī)率，記為 P(c X d ) ，表示的是機(jī)率密度函數(shù) f (x) 曲線(xiàn)圖形下方 c, d 範(fàn)圍間的面積 第6頁(yè)，共44頁(yè)，2022

3、年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章7均等隨機(jī)變數(shù) 若連續(xù)隨機(jī)變數(shù) X 具有機(jī)率密度函數(shù)f(x) = ，a x b 則稱(chēng)隨機(jī)變數(shù) X 具有均等分配。第7頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章8四種常見(jiàn)的機(jī)率密度函數(shù)曲線(xiàn) 共同處：每一平滑曲線(xiàn)下，x 軸之上所涵蓋的面積必定等於 1。 第8頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章9連續(xù)隨機(jī)變數(shù)的機(jī)率求解問(wèn)題 計(jì)算機(jī)率密度函數(shù)下的某段面積。當(dāng)連續(xù)隨機(jī)變數(shù)的機(jī)率密度函數(shù)是常見(jiàn)的，如：常態(tài)分配、指數(shù)分配時(shí)，複雜

4、的求面積過(guò)程，就可以省略，轉(zhuǎn)換成查表格的方式 連續(xù)隨機(jī)變數(shù)為某個(gè)值的機(jī)率值=0即 P(X = x) = 0 P(c X a 的機(jī)率值等於左邊 Z 0 P(Z a) = P(Z a )f (z)圖形下，(a, b) 間之面積，代表的是連續(xù)隨機(jī)變數(shù) Z 在 (a, b) 間之機(jī)率 P(a Z z) （右尾機(jī)率值）第14頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章15標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機(jī)率表的範(fàn)例 要查機(jī)率值 P(Z 1.9)，此時(shí) z 值 = 1.96 在表格中，先在最邊直行找到 1.9，再?gòu)耐瑱M列找到 z 的第 2 位小數(shù)等於 0.06 處，所得的值 0.

5、025，表示此右尾機(jī)率值就是 (右尾機(jī)率值)第15頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章16使用標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機(jī)率表格的原則（a, b 均 0） 第16頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章17標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)問(wèn)題範(fàn)例 Z 為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變數(shù)，求【解答】 其中 所以第17頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章18反向標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機(jī)率值範(fàn)例 求 z 值使得機(jī)率值= 0.0465 先在表中間找到等於右尾機(jī)率值0.0465 之位置，再?gòu)脑摂?shù)的橫列左側(cè)找

6、到 z 值為 1.6，縱行上側(cè)找到的 z 值第 2 位小數(shù)為 0.08，得到所要的 z 值 = 1.68。也就是 P(Z 1.68) =0.0465。 （右尾機(jī)率值）第18頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章19常見(jiàn)的反向標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)問(wèn)題 第19頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章20常見(jiàn)的反向標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)問(wèn)題 第20頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章21反向標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)問(wèn)題範(fàn)例 Z 為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變數(shù)， 若已知 P(Z a)= 0

7、.8，求 a。 【解答】機(jī)率值 P(Z a) ，大於 0.5，所以 a 值必定小於 0，設(shè) a = m，m 0。則 P(Z a) = P(Z m) =1 P(Z m) 其中 P(Z m) 因此可以 1 P(Z m) = 0.8，改寫(xiě)為 P(Z m) = 0.2 P(Z a) = 0.8 查表得 m = 0.845。結(jié)論：a = m = 0.845第21頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章22常態(tài)隨機(jī)變數(shù) X 的機(jī)率值 計(jì)算機(jī)率密度函數(shù) f (x) 下，(a, b) 區(qū)間的面積，而 f (x) 決定於參數(shù) 與 2 。利用建立好的標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機(jī)

8、率表格來(lái)查出所需要的機(jī)率。 將常態(tài)隨機(jī)變數(shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變數(shù) ，使得轉(zhuǎn)換後的隨機(jī)變數(shù)，其平均數(shù)為 0，標(biāo)準(zhǔn)差為 1。再查詢(xún)單一的標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機(jī)率表，就可得知所要的機(jī)率值。 第22頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章23計(jì)算一般的常態(tài)機(jī)率值的步驟 步驟 1：將一般常態(tài)隨機(jī)變數(shù)，轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變數(shù)。令 X 表示常態(tài)隨機(jī)變數(shù)，具有平均數(shù) ，標(biāo)準(zhǔn)差 ，將 X 轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變數(shù) Z 之公式為此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變數(shù) Z 之平均數(shù)為 0，標(biāo)準(zhǔn)差為 1。第23頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)

9、/第八章24計(jì)算一般的常態(tài)機(jī)率值的步驟 步驟 2：要計(jì)算的常態(tài)隨機(jī)變數(shù)機(jī)率值的所在範(fàn)圍，轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變數(shù)機(jī)率值的所在範(fàn)圍。 步驟 3：利用標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機(jī)率表，查出所要的標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變數(shù)之機(jī)率值。第24頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章25計(jì)算常態(tài)機(jī)率值 範(fàn)例 某大學(xué)，新生的入學(xué)成績(jī)呈常態(tài)分配，平均分?jǐn)?shù)為 350 分，標(biāo)準(zhǔn)差為 15 分。(1) 如果吳同學(xué)的入學(xué)成績(jī)?yōu)?375 分，請(qǐng)問(wèn)他在新生中的排名為何？(2) 學(xué)校要發(fā)獎(jiǎng)學(xué)金給新生入學(xué)成績(jī)的前 1%，請(qǐng)問(wèn)受獎(jiǎng)?wù)叩淖畹头譃槎嗌伲?第25頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21

10、分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章26計(jì)算常態(tài)機(jī)率值 範(fàn)例詳解 1/2令隨機(jī)變數(shù) X 表示入學(xué)成績(jī)，則 X 具有常態(tài)分配，平均數(shù)為 350 分，標(biāo)準(zhǔn)差為 15 分。 (1) P(X 375) 表示成績(jī) 375 分之比例。將隨機(jī)變數(shù) X 轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變數(shù) Z， 利用標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機(jī)率表 結(jié)論：在入學(xué)新生中，有 4.75% 的入學(xué)成績(jī)優(yōu)於 吳同學(xué)。 第26頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章27計(jì)算常態(tài)機(jī)率值 範(fàn)例詳解 2/2(2) 本題需要查詢(xún)右側(cè)機(jī)率值=0.01的入學(xué)成績(jī)。 令 m表示該入學(xué)成績(jī)，則P(Xm)=0.01。 首

11、先，查詢(xún)標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)Z表，得標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)Z值=2.325， 接著計(jì)算 m=350+0.025*15= 384.875。 也就是說(shuō)，獲得獎(jiǎng)學(xué)金的受獎(jiǎng)?wù)?，入學(xué)成績(jī)?yōu)?384.86 分以上。 第27頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章28指數(shù)分配的定義若連續(xù)隨機(jī)變數(shù) X 具有機(jī)率密度函數(shù) f (x) = e x, x 0, 0 其中 e=2.71828， 表示單位時(shí)間內(nèi)，某事件發(fā)生的平均次數(shù) ，通常會(huì)用簡(jiǎn)單的記號(hào) Xexp( ) 來(lái)表示 。 指數(shù)機(jī)率密度函數(shù)圖形為一遞減的凹形曲線(xiàn)，與 之不同有關(guān) ， 值愈大，凹度愈大。 第28頁(yè)，共44頁(yè)，2022年

12、，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章29常見(jiàn)的指數(shù)隨機(jī)變數(shù)求機(jī)率值的問(wèn)題 利用機(jī)率公式 P(X a)= e a 第29頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章30指數(shù)分配的平均數(shù)，變異數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差 平均數(shù) 變異數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差 第30頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章31計(jì)算指數(shù)分配機(jī)率值 範(fàn)例第31頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章32計(jì)算指數(shù)分配機(jī)率值 範(fàn)例詳解第32頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，

13、5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章33二項(xiàng)分配與常態(tài)分配的關(guān)係 在二項(xiàng)分配中，當(dāng) n 很大時(shí)，常態(tài)分配是二項(xiàng)分配的近似分配。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，要計(jì)算二項(xiàng)分配的機(jī)率值，若採(cǎi)用常態(tài)分配來(lái)取代二項(xiàng)分配，其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臈l件是： 1. p 0.5 且 np5 或 2. p 0.5 且 n(1-p)5 以連續(xù)型的分配來(lái)取代離散型的分配，必須作連續(xù)性的修正 。第33頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章34連續(xù)性修正第34頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章35常見(jiàn)的連續(xù)性

14、修正機(jī)率值問(wèn)題 第35頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章36以常態(tài)分配近似二項(xiàng)分配 範(fàn)例某大學(xué) 80% 的退學(xué)生是因?yàn)檎?qǐng)假過(guò)多造成操行不及格而退學(xué)?，F(xiàn)隨機(jī)抽選 50 位退學(xué)生為樣本。則(1) 恰有 35 人是因?yàn)椴傩胁患案穸藢W(xué)之機(jī)率為何？(2) 少於 30 人是因?yàn)椴傩胁患案穸藢W(xué)之機(jī)率 為何？(3) 40 (不含)45 (含) 人是因?yàn)椴傩胁患案穸?退學(xué)之機(jī)率為何？第36頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章37以常態(tài)分配近似二項(xiàng)分配範(fàn)例詳解1/4令隨機(jī)變數(shù) X 表示 50

15、位退學(xué)生中，操行不及格的人數(shù)，則 X 為二項(xiàng)隨機(jī)變數(shù)，n = 50，p = 0.8。因?yàn)?np= 40 5，滿(mǎn)足近似條件 用常態(tài)分配來(lái)近似二項(xiàng)分配，此時(shí) X 具有近似常態(tài)分配， 平均數(shù) =np= 40， 變異數(shù) =np(1-p)=8第37頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章38以常態(tài)分配近似二項(xiàng)分配範(fàn)例詳解2/4 (1) 恰有 35 人是因?yàn)椴傩胁患案穸藢W(xué)之機(jī)率為P(X =35)作連續(xù)性修正P(X =35)P(350.5X35+0.5)利用常態(tài)隨機(jī)變數(shù)計(jì)算機(jī)率的方式，化簡(jiǎn)為第38頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期

16、三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章39以常態(tài)分配近似二項(xiàng)分配範(fàn)例詳解3/4 (2) 少於 30 人是因?yàn)椴傩胁患案穸藢W(xué)之機(jī)率為P(X 30) 作連續(xù)性修正P(X 30) =P(X 29) P(X29+0.5) 利用常態(tài)隨機(jī)變數(shù)計(jì)算機(jī)率的方式，化簡(jiǎn)為第39頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章40以常態(tài)分配近似二項(xiàng)分配範(fàn)例詳解4/4 (3) 40 至 45 人操行成績(jī)不及格而退學(xué)之機(jī)率為P(40 X 45) 作連續(xù)性修正P(40 X 45) =P(41 X 45) P(410.5X45+0.5) 利用常態(tài)隨機(jī)變數(shù)計(jì)算機(jī)率的方式，化簡(jiǎn)為第40頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章41常態(tài)分配檢測(cè)圖Q-Q 檢測(cè)圖 Q-Q 檢測(cè)圖是一種用來(lái)描述樣本資料與常態(tài)資料的散佈圖。 通常為了使 Q-Q 圖形的曲線(xiàn)有所比較，圖形中會(huì)加入一條常態(tài)直線(xiàn)圖，當(dāng)散佈圖與此直線(xiàn)重合時(shí)，表示樣本資料符合常態(tài)分配。 第41頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)21分，星期三2006實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)/第八章42Q-Q 檢測(cè)圖的製作步驟 (隨機(jī)變數(shù)表示取