近世代數(shù) 置換群

1、近世代數(shù)課件 置換群第1頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三 變換群的一種特例,叫做置換群,在代數(shù)里占一個(gè)很重要的地位.比方說,在解決方程能不能用根號(hào)解這個(gè)問題時(shí)就要用到這種群這種群還有一個(gè)特點(diǎn)，就是它們的元可以用一種很具體的符號(hào)來表示，使得這種群里的計(jì)算比較簡單現(xiàn)在我們把這種群討論一下第2頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三6.1 置換群 定義1一個(gè)有限集合的一個(gè)一一變換叫做一個(gè)置換 一個(gè)有限集合的若干個(gè)置換作成的一 個(gè)群叫做一個(gè)置換群第3頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三 我們看一個(gè)有限集合 ， 有 個(gè)元 由， 的全體置換

2、作成一個(gè)群 定義2一個(gè)包含 個(gè)元的集合的全體置換作成的群叫做 次對(duì)稱群這個(gè)群用 來表示定理 次對(duì)稱群 的階是 ！第4頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三6.2 置換的表示方法:2-行法 現(xiàn)在我們要看一看表示一個(gè)置換的符號(hào)這種符號(hào)普通有兩種，我們先說明第一種我們看一個(gè)置換 這樣一個(gè)置換所發(fā)生的作用完全可以由 ， ， ， 這 對(duì)整數(shù)來決定表示置換的第一個(gè)方法就是把以上這個(gè)置換寫成第5頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三 形式不唯一.在這種表示方法里，第一行的 個(gè)數(shù)字的次序顯然沒有什么關(guān)系，比方說以上的 我們也可用第6頁，共21頁，2022年，5月20日，

3、18點(diǎn)44分，星期三例 假如那么 不過我們普通用 來表示這個(gè) 第7頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三例 有個(gè)元這個(gè)元可以寫成 ， ， ， ， ， 如何計(jì)算乘法? (注意我們規(guī)定的順序)(從右向左)第8頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三 如何求逆? =? 無限非交換群我們已經(jīng)看到過，這是我們的第一個(gè)有限非交換群的例子 可以說是一個(gè)最小的有限非交換群，因?yàn)橐院笪覀儠?huì)知道，一個(gè)有限非交換群至少要有六個(gè)元 所以 不是交換群第9頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三6.3 循環(huán) 為了說明置換的第二種表示方法，我們先證明一個(gè)公式看兩個(gè)特殊

4、的置換 ：,那么以下公式成立：第10頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三 先看一個(gè)例子 證明這個(gè)公式.我們只須注意，因?yàn)?是 ， ，, 這 個(gè)元的一一變換，而在 之下， ，, 已經(jīng)各是 ，, 的象,所以它們不能再是 的象,這就是說,第11頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三這樣， 將 變成 .顯然， 將 變成 定義 的一個(gè)把變成 變到 ， 變到 ， 變到 ，而使得其余的元，假如還有的話，不變的置換，叫做一個(gè) 循環(huán)置換這樣的一個(gè)置換我們用符號(hào) ， ，或 來表示2-循環(huán)稱為對(duì)換.第12頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三例我們看 ，

5、這里一個(gè)任意的置換當(dāng)然不一定是一個(gè)循環(huán)置換第13頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三例 的 就不是一個(gè)循環(huán)置換 定理每一個(gè) 個(gè)元的置換 都可以寫成若干個(gè)互相沒有共同數(shù)字的（不相連的）循環(huán)置換的乘積一般來說，我們有但是,第14頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三我們?cè)儆脷w納法 證明 先看一個(gè)例子. 在 中， I.當(dāng) 不使任何元變動(dòng)的時(shí)候，就是當(dāng) 是 恒等置換的時(shí)候，定理是對(duì)的第15頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三II. 假定對(duì)于最多變動(dòng) 個(gè)元的 定理是對(duì)的現(xiàn)在我們看一個(gè)變動(dòng) 個(gè)元的 我們?nèi)我馊∫粋€(gè)被 變動(dòng)的元 ，從 出發(fā)我們找

6、 的象 ， 的象 ，這樣找下去，直到我們第一次找到一個(gè) 為止，這個(gè) 的象不再是一個(gè)新的元，而是我們已經(jīng)得到過的一個(gè)元: 因?yàn)槲覀円还仓挥?個(gè)元，這樣的 是一定存在的我們說 因?yàn)?已經(jīng)是 的象，不能再是 的象這樣，我們得到第16頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三 因?yàn)?只使 個(gè)元變動(dòng)， ，假如 ， 本身已經(jīng)是一個(gè)循環(huán)置換，我們用不著再證明什么假如 ，由公式（1）， 第17頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三但 只使得 個(gè)元變動(dòng)，照歸納法的假定，可以寫成不相連的循環(huán)置換的乘積：在這些 里 不會(huì)出現(xiàn).不然的話,那么 同 不會(huì)再在其余的 中出現(xiàn), 也必使

7、但我們知道, 使得 不動(dòng),這是一個(gè)矛盾.這樣, 是不相連的循環(huán)置換的乘積: 證完 第18頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三例 的全體元用循環(huán)置換的方法寫出來是 ， ， ， ， ， ；定理每一個(gè)有限群都與一個(gè)置換群同構(gòu) 這就是說，每一個(gè)有限群都可以在置換群里找到例子現(xiàn)在置換群又是一種比較容易計(jì)算的群，所以用置換群來舉有限群的例是最合理的事第19頁，共21頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三6.4 補(bǔ)充結(jié)論 1.每一個(gè)循環(huán)可以寫出對(duì)換的乘積.進(jìn)一步, 對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性是固定的.提示: 2. 每一個(gè)對(duì)換可以寫出形如: (12),(13),(1n)的乘積.提示: (ij)=(1i)(1j)(1i)3. 每一個(gè)形如: (12),(13),(1n)的對(duì)換可以寫成(12),(23),(34)(n-1 n)的乘積.