高中數(shù)學(xué)-公式-柯西不等式

1、第一課時(shí)3.1二維方式的柯西不等式一(a2b)(c2d)(acbd)2222.訓(xùn)練：曾經(jīng)明白a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證提出定理1：假定a、b、c、d為實(shí)數(shù)，那么(a2b)(cd)(acbd).2222證法一：比擬法(ab)(c2d)(acbd)=.=(adbc)022222證法二：綜正當(dāng)(ab)(c2d)a2c2ad2bcbd22222222(acbd)2(adbc)(acbd).22要點(diǎn)：開展配方證法三：向量法設(shè)向量m(a,b)，n(c,d)，那么|m|ab，|n|c2d.222mnacbd，且mn|m|n|cosm,n，那么|mn|m|n|.證法四：函數(shù)法設(shè)f(x)(ab)x22(acbd

2、)xc2d，那么2222f(x)(axc)2(bxd)0恒成破.2(acbd)24(a2b)(c2d)022，即.二維方式的柯西不等式的一些變式：2a2b2cd2|acbd|或2a2b2cd2|ac|bd|或a2b2c2d2acbd.提出定理2：設(shè),是兩個(gè)向量，那么|.即柯西不等式的向量方式由向量法提出探討：下面時(shí)分等號(hào)成破？是零向量，或許,共線2ab2c2d222訓(xùn)練：曾經(jīng)明白a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證(ac)(bd).證法：剖析法平方使用柯西不等式探討：其多少何意思？結(jié)構(gòu)三角形2.教學(xué)三角不等式：x22y22(xx)2(yy).21212出示定理3：設(shè)x,y,x,y2R，那么x12y121

3、12剖析其多少何意思怎樣應(yīng)用柯西不等式證實(shí)變式：假定x,y,x,y,x,yR，那么聯(lián)合以上多少何意思，可失掉怎么樣的三角不等式？1122333.小結(jié)：二維柯西不等式的代數(shù)方式、向量方式；三角不等式的兩種方式兩點(diǎn)、三點(diǎn)第二課時(shí)3.1二維方式的柯西不等式二教學(xué)進(jìn)程：(ab)(cd)(acbd)；x12y122222222y2(xx)2(yy)21212x2x1y2x的最年夜值?3.怎樣應(yīng)用二維柯西不等式求函數(shù)要點(diǎn)：應(yīng)用變式|acbd|ab2c2d.22二、講解新課：1.教學(xué)最年夜小值：出比方1：求函數(shù)y3x1102x的最年夜值？剖析：怎樣變形？結(jié)構(gòu)柯西不等式的方式板演y3x1102xyabxcde

4、fx,(a,b,c,d,e,fR)推行：變式：訓(xùn)練：曾經(jīng)明白3x2y1，求x2y2的最小值.1(x2131(3x2y)21.1313解答要點(diǎn)：湊配法x2y22y)(3222)2.教學(xué)不等式的證實(shí)：11出比方2：假定x,yR，xy2，求證：2.xy剖析：怎樣變形后應(yīng)用柯西不等式？留意比照結(jié)構(gòu)111(xy)(11)121)2(1)2y22(x)(y)(要點(diǎn)：xy2xyx探討：別的證法應(yīng)用根本不等式11)4.ab訓(xùn)練：曾經(jīng)明白a、bR，求證：(ab)(3.訓(xùn)練：ab曾經(jīng)明白x,y,a,bR1，那么xy的最小值.，且xyxy(ab)(xy)要點(diǎn)：.別的證法xy假定x,y,zR，且xyz1，求x2y2z

5、2的最小值.要點(diǎn)：應(yīng)用三維柯西不等式變式：假定x,y,zR，且xyz1，求3.2普通方式的柯西不等式2.提咨詢：二維方式的柯西不等式？怎樣將二維方式的柯西不等式拓廣到三維？xyz的最年夜值.第三課時(shí)(ab)(c2d)(acbd)2(ab2c2)(d2e2f)(adbecf)2；22222謎底：二、講解新課：1.教學(xué)普通方式的柯西不等式：提咨詢：由破體向量的柯西不等式|，假如失掉空間向量的柯西不等式及代數(shù)方式？猜測：n維向量的坐標(biāo)？n維向量的柯西不等式及代數(shù)方式？a1,a,a,b,b,bR，那么論斷：設(shè)2n12n(a12a22a)(b1b2222bn)(abab22ab)2nnn112a1a2b

6、1b2anbnbi0探討：什么時(shí)分取等號(hào)？當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，假定2Aa1a22an2Cbb2221bn2，那么有B2AC0，可遐想到一遐想：設(shè)Babab2abn，112n些什么？探討：怎樣結(jié)構(gòu)二次函數(shù)證實(shí)n維方式的柯西不等式？留意分類要點(diǎn)：令fxa122a)x22(abab22ab)x(bb222bn2)a，那么2n112nn1f(x)(axb)(axb)22+axb)20.nn1122又a12a22an20，從而聯(lián)合二次函數(shù)的圖像可知，222a2)n(b12b22bn2)02(abab2anb)n4(a1a2112即有要證實(shí)的論斷成破.留意：剖析什么時(shí)分等號(hào)成破.1變式：a12a22an22

7、(aa21a).探討怎樣證實(shí)nn2.教學(xué)柯西不等式的使用：出比方1：曾經(jīng)明白3x2yz1，求x2y2z2的最小值.剖析：怎樣變形后結(jié)構(gòu)柯西不等式？板演變式：111yz的最小值.23訓(xùn)練：假定x,y,zR，且1，求xxyz114abc出比方2：假定，求證：.abbcac11112)(11)4abbc要點(diǎn)：(ac)()(ab)(bc)(abbc提出排序不等式即排序道理：設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組:aa21a;bb2b.c,c,cb,b1,bn是，的任一陳列,那么有n1n12n2abab2+ab(同序跟)112nnacac+ac(亂序跟)1122nnabab+ab(反序跟)1n2n1n1當(dāng)且僅當(dāng)aa21=anbb21=b時(shí)，反序跟即是同序跟n.或要點(diǎn)：了解其思維，記著其方式2.教學(xué)排序不等式的使用：出比方1：設(shè)a,a,a是個(gè)互不一樣的正整數(shù)，求證：nn1211231a2a32232ann21a1.n剖析：怎樣結(jié)構(gòu)有序陳列？證實(shí)進(jìn)程：怎樣應(yīng)用套用排序不等式？b,b,ba1,a,a的一個(gè)陳列，且b1b2bb11,b2,bn.，那么n設(shè)是12n2n2n111又1，由排序不等式，得2232n2a3ann2b3bnn2a22232小結(jié)：剖析目的，結(jié)構(gòu)有序陳列b22232a