(完整版)淺談矩陣計(jì)算

1、淺談矩陣計(jì)算一丶引言矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見的工具。在應(yīng)用數(shù)學(xué)，物理學(xué)，計(jì)算機(jī)科學(xué)中都有很大的作用。研究矩陣的計(jì)算，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，并深入理解矩陣的性質(zhì)。在數(shù)學(xué)中，矩陣(Matrix)是一個(gè)按照長(zhǎng)方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來(lái)自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。這一概念由19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利首先提出。矩陣常見于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣。矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問(wèn)題。將矩陣分解為簡(jiǎn)單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。對(duì)一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對(duì)角矩陣，

2、有特定的快速運(yùn)算算法。關(guān)于矩陣相關(guān)理論的發(fā)展和應(yīng)用，請(qǐng)參考矩陣?yán)碚?。在天體物理、量子力學(xué)等領(lǐng)域，也會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。矩陣的研究歷史悠久，發(fā)展也是歷久彌新，拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究。作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。成書最遲在東漢前期的九章算術(shù)中，用分離系數(shù)法表示線性方程組，得到了其增廣矩陣。在消元過(guò)程中，使用的把某行乘以某一非零實(shí)數(shù)、從某行中減去另一行等運(yùn)算技巧，相當(dāng)于矩陣的初等變換。但那時(shí)并沒有現(xiàn)今理解的矩陣概念，雖然它與現(xiàn)有的矩陣形式上相同，但在當(dāng)時(shí)只是作為線性方程組的標(biāo)準(zhǔn)表示與處理方式。矩陣正式作為數(shù)學(xué)中的研究對(duì)象出現(xiàn)，則是在行列式的研究發(fā)展起來(lái)后

3、。邏輯上，矩陣的概念先于行列式，但在實(shí)際的歷史上則恰好相反。日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和(1683年)與微積分的發(fā)現(xiàn)者之一戈特弗里德威廉萊布尼茨(1693年)近乎同時(shí)地獨(dú)立建立了行列式論。其后行列式作為解線性方程組的工具逐步發(fā)展。1750年，加布里爾克拉默發(fā)現(xiàn)了克萊姆法則。矩陣的現(xiàn)代概念在19世紀(jì)逐漸形成。1800年代，高斯和威廉若爾當(dāng)建立了高斯一若爾當(dāng)消去法。1844年，德國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)迪南艾森斯坦(F.Eisenstein)討論了“變換”(矩陣)及其乘積。1850年，英國(guó)數(shù)學(xué)家詹姆斯約瑟夫西爾維斯特(JamesJosephSylvester)首先使用矩陣一詞。英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利被公認(rèn)為矩陣論的奠基人。他開始將

4、矩陣作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象研究時(shí)，許多與矩陣有關(guān)的性質(zhì)已經(jīng)在行列式的研究中被發(fā)現(xiàn)了，這也使得凱利認(rèn)為矩陣的引進(jìn)是十分自然的。他說(shuō)：“我決然不是通過(guò)四元數(shù)而獲得矩陣概念的；它或是直接從行列式的概念而來(lái)，或是作為一個(gè)表達(dá)線性方程組的方便方法而來(lái)的?！彼麖?858年開始，發(fā)表了矩陣論的研究報(bào)告等一系列關(guān)于矩陣的專門論文，研究了矩陣的運(yùn)算律、矩陣的逆以及轉(zhuǎn)置和特征多項(xiàng)式方程。凱利還提出了凱萊-哈密爾頓定理，并驗(yàn)證了3X3矩陣的情況，又說(shuō)進(jìn)一步的證明是不必要的。哈密爾頓證明了4X4矩陣的情況，而一般情況下的證明是德國(guó)數(shù)學(xué)家弗羅貝尼烏斯(F.G.Frohenius)于1898年給出的。1854年時(shí)法國(guó)數(shù)學(xué)家埃

5、爾米特(C.Hermite)使用了“正交矩陣”這一術(shù)語(yǔ)，但他的正式定義直到1878年才由費(fèi)羅貝尼烏斯發(fā)表。1879年，費(fèi)羅貝尼烏斯引入矩陣秩的概念。至此，矩陣的體系基本上建立起來(lái)了。無(wú)限維矩陣的研究始于1884年。龐加萊在兩篇不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厥褂昧藷o(wú)限維矩陣和行列式理論的文章后開始了對(duì)這一方面的專門研究。1906年，希爾伯特引入無(wú)限二次型(相當(dāng)于無(wú)限維矩陣)對(duì)積分方程進(jìn)行研究，極大地促進(jìn)了無(wú)限維矩陣的研究。在此基礎(chǔ)上，施密茨、赫林格和特普利茨發(fā)展出算子理論，而無(wú)限維矩陣成為了研究函數(shù)空間算子的有力工具。二、矩陣的介紹與基本運(yùn)算由mXn個(gè)數(shù)a(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的數(shù)表稱為m行

6、n列矩陣，簡(jiǎn)稱mijXn矩陣。只有一行的矩陣A=(a,aa)稱為行矩陣或行向量，只有一列的矩陣稱為列矩陣或列向12n量。矩陣計(jì)算的合適出發(fā)點(diǎn)是矩陣與矩陣的乘法。這一問(wèn)題在數(shù)學(xué)上雖然簡(jiǎn)單，但從計(jì)算上來(lái)看卻是十分豐富的。矩陣相乘可以有好幾種不同的形式，還將引入矩陣劃分的概念，并將其用來(lái)刻畫計(jì)算上的幾種線性代數(shù)的“級(jí)”。如果一個(gè)矩陣具有某種結(jié)構(gòu)，則它常?？梢约右岳谩＠缫粋€(gè)對(duì)稱矩陣，只需要一個(gè)一般矩陣的一半空間即可儲(chǔ)存。在矩陣乘向量中如果矩陣有許多零元素，則可減少許多時(shí)間。矩陣計(jì)算是基于線性代數(shù)運(yùn)算的，點(diǎn)積運(yùn)算包括標(biāo)量的加法和乘法。矩陣向量相乘由點(diǎn)積組成。矩陣與矩陣相乘相當(dāng)于一系列的矩陣向量相乘。

7、所有這些運(yùn)算都可以用算法形式，或者用線性代數(shù)的語(yǔ)言來(lái)描述。(1)基本矩陣運(yùn)算包括轉(zhuǎn)置(RmXnTRnXm)C二ATTcij二aji相加(RmXn+Rm乂nTRmXn)C二A+BTcij二aij+bij標(biāo)量與矩陣的相乘(RXRmXnTRmXn)C=aATcij=aaij矩陣與矩陣的相乘(RmXpXRpXnTRmXn)C二ABcij二abikkjk=1這些運(yùn)算都是構(gòu)建矩陣計(jì)算的基石對(duì)于任意的數(shù)(2)逆矩陣對(duì)于n階矩陣A,如果有一個(gè)n階矩陣B,使AB=BA=E，則說(shuō)矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，簡(jiǎn)稱逆陣。如果矩陣A是可逆的那么A的矩陣是唯一的。A的逆陣記作A-1即若AB=BA=E，則B=

8、A-1。若矩陣A可逆q|A|壬0若|A|壬0,則矩陣A可逆，且At=；A*，其中A*為矩陣A的伴隨陣。IAI矩陣的初等變換下面三種變換稱為矩陣的三種初等行變換:對(duì)調(diào)兩行以數(shù)k壬0乘某一行中的所有元素(第i行乘k,記作rXk)i把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去矩陣的初等列變換也是一樣應(yīng)用，初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換，顯然三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的變換。矩陣之間的等價(jià)關(guān)系有反身性AA對(duì)稱性若AB,則BA傳遞性若AB,BC,則AC方陣A的可逆的充分必要條件是AE矩陣的秩_E0_給定一個(gè)mXn矩陣A,它的標(biāo)準(zhǔn)形F=0mxn由數(shù)r完全確定。這個(gè)數(shù)也就是A的行階

9、梯形中非零行的行數(shù)，這個(gè)數(shù)便是矩陣A的秩。但由于這個(gè)數(shù)的唯一性尚未證明。矩陣的秩的定義是這樣表示的：在m乘n矩陣A,任取k行與k列(km,ks；若A中所有t階子式全為0，則R(A)to顯然，若A為mXn矩陣，則0R(A)minm,n。由于行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等,因此At的子式與A的子式對(duì)應(yīng)相等，從而R=(At)=R(A)對(duì)于n階矩陣A,由于A的n階子式只有一個(gè)|A|,故當(dāng)|A|M0時(shí)R(A)=n,當(dāng)|A|=0時(shí)R(A)n,可見可逆矩陣的秩等于矩陣的階數(shù)，不可逆矩陣的秩小于矩陣的階數(shù)。因此，可逆矩陣又稱滿秩矩陣，不可逆矩陣(奇異矩陣)又稱降秩矩陣。且有以下定理若AB,則R(A)二R(B)若可逆

10、矩陣P,Q使PAQ二B，則R(A)=R(B)0R(A)minm,nmXnmaxR(A),R(B)R(A+B)R(A)+R(B),特別地，當(dāng)B=b為非零列向量時(shí)，有R(A)R(A,b)R(A)+1R(A+B)R(A)+R(B)R(AB)minR(A),R(B)若AB=0,則R(A)+R(B)0,貝y稱矩陣AGRnXn是正定的。正定方程組是特殊Ax=b問(wèn)題中的重要一類。考慮2X2對(duì)稱矩陣的情形，如aaA=1112是正定的，則aa2122X=(l,0)txtAx二a】0X=(0,1)txtAx二a022X=(1,1)txtAx二a+2a+a0111222X=(l,-l)TfxTAx二a-2a+a01

11、11222由后兩個(gè)方程推知|aj(axi+a22)/2，由這些結(jié)果可知A中最大元素位于對(duì)角線上且為正。此結(jié)論是普遍成立的。一個(gè)對(duì)稱正定矩陣有一條“重”對(duì)角線，盡管這樣的矩陣不如對(duì)角占優(yōu)矩陣那樣明顯地將重量集中在對(duì)角線上，但在計(jì)算中同樣可以忽略掉選主元的過(guò)程，在這兩點(diǎn)上二者是等效的。正定性假設(shè)AGRnXn是正定的，顯然一個(gè)正定矩陣是非奇異的,否則可以找到一個(gè)非零向量x,使xTAx=O。則可以得到如果AGRnXn是正定的，XWRnXk的秩為k,則B二XTAXWRkXk也是正定的如果A是正定的，則其所有的主子矩陣均為正定的。特別的，所有的對(duì)角元均大于零如果A是正定的，則A的分解A二LDMt存在，且D

12、二diag(d,，d)的對(duì)角元均大于零1n在實(shí)際中有幾種典型情況會(huì)產(chǎn)生正定矩陣二次型是由物理原理保證為正定的能量函數(shù)矩陣A等于一個(gè)叉積XtX,其中X是列滿秩的A和At均為對(duì)角占優(yōu)的且每一個(gè)a都大于零非對(duì)稱正定方程組是正定的，但如果m/s冷1，那么最好行選主元僅僅存在LDMt分解還不足以意味著它的計(jì)算就是可取的，因?yàn)榉纸庵械囊蜃涌赡軙?huì)有大的不能接受的元素。例如，如果0,則矩陣smA=ms1.3對(duì)稱正定方程組如果AWRnXn是對(duì)稱正定的，則存在唯一的一個(gè)對(duì)角元全部大于零的下三角矩陣GWRnXn，滿足A=GGt分解A=GGt被稱為柯列斯基(Cholesky)分解，G被稱為柯列斯基(Cholesky)

13、三角矩陣，如果計(jì)算柯列斯基分解，然后解三角形方程組Gy=b和GTx=y，則b=Gy=G(GTx)=(GGT)x=Ax，可以通過(guò)利用方程A=GGt來(lái)得到計(jì)算柯列斯基三角陣的更有效的方法。四丶對(duì)稱特征值問(wèn)題具有豐富數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱特征值問(wèn)題是數(shù)值線性代數(shù)中最漂亮的問(wèn)題之一。對(duì)稱矩陣的數(shù)學(xué)性質(zhì)奠定了此計(jì)算的基礎(chǔ)。雅可比(Jacobi)方法是文獻(xiàn)中出現(xiàn)最早的矩陣算法之一。由于易于并行計(jì)算和在某種條件下具有高精度，這種方法近來(lái)又引起人們的興趣性質(zhì)與分解對(duì)稱性保證了A的所有特征值都是實(shí)的且有一組由特征向量組成的正交基。如果AGRnXn是對(duì)稱的，則存在一個(gè)實(shí)正交矩陣Q使得QTAQ=A=diag(九】九n)Ja

14、cobi方法求對(duì)稱特征值問(wèn)題的雅可比(Jacobi)方法近來(lái)引起人們的注意，是因?yàn)樗鼈儽举|(zhì)上是并行的，它們的做法如下:進(jìn)行一系列正交相似變換不斷校正AQQtAQ,使得每一個(gè)新的A,雖然是滿的，但比前一個(gè)A“更對(duì)角化”。最終，非對(duì)角線元素都小到可以認(rèn)為是零。通過(guò)對(duì)雅可比法內(nèi)在的基本思想進(jìn)行觀察后，我們提出一種并行雅可比過(guò)程?？紤]線性方程組Ax=b時(shí)，一般當(dāng)A為低階稠密矩陣時(shí)，用主元消去法解此方程組是有效方法。但是，對(duì)于由工程技術(shù)中產(chǎn)生的大型稀疏矩陣方程組(A的階數(shù)很高，但零元素較多，例如求某些偏微分方程數(shù)值解所產(chǎn)生的線性方程組)，利用迭代法求解此方程組就是合適的，在計(jì)算機(jī)內(nèi)存和運(yùn)算兩方面，迭代法通常都可利用A中有大量零元素的特點(diǎn)。雅克比迭代法就是眾多迭代法中比較早且較簡(jiǎn)單的一種，其命名也是為紀(jì)念普魯士著名數(shù)學(xué)家雅可比。首先將方程組中的系數(shù)矩陣A分解成三部分，即：A=L+D+U,如圖1所示，其中D為對(duì)角陣，L為下三角矩陣，U為上三角矩陣。之后確定迭代格式，Xk+1)=B*Xk)+f，(這里八表示的是上標(biāo)，括號(hào)內(nèi)數(shù)字即迭代次數(shù))，如圖2所示，其中B稱為迭代矩陣，雅克比迭代法中一般記為J。(k=0,1,)再選取初始迭代向量XA(0)，開始逐次迭代。五丶結(jié)束語(yǔ)隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)中的矩陣也有更廣泛而深入的應(yīng)用，矩陣在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用