2022年江蘇省南京市燕子磯中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè),則（ ）AabcBbacCcabDcba2若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )ABCD3若函數(shù)在時(shí)取得極值，則（ ）ABCD4七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“

2、東方魔板”.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（ ）ABCD5已知，則等于（ ）ABCD16某中學(xué)元旦晚會(huì)共由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后一位，該晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有( )A720種B600種C360種D300種7直線與直線平行，則=（ ）ABC7D58若x0,2，則不等式x+A0,B4,549設(shè)全集，則等于（）ABCD10已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第（ ）象限A一B二C三D四11袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3的三個(gè)小球，從中任取一個(gè)，記下它的號(hào)碼，放回袋中，這樣連續(xù)做三次，若抽到各球

3、的機(jī)會(huì)均等，事件“三次抽到的號(hào)碼之和為6”，事件“三次抽到的號(hào)碼都是2”，則（ ）ABCD12某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)約為（ ）A150B200C300D400二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13函數(shù)的定義域是_.14從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人，組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有_種不同的選法（用數(shù)字作答）15已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，則球的表面積為_

4、16某小組共8人，若生物等級(jí)考成績(jī)?nèi)缦拢?人70分、2人67分、3人64分、1人61分，則該小組生物等級(jí)考成績(jī)的中位數(shù)為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知直三棱柱中，.（1）求直線與平面所成角的大?。唬?）求點(diǎn)到平面的距離.18（12分）已知實(shí)數(shù)為整數(shù)，函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）如果存在，使得成立，試判斷整數(shù)是否有最小值，若有，求出值；若無，請(qǐng)說明理由（注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.19（12分）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.20（12分）某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)

5、成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，后得到如圖的頻率分布直方圖（1）求圖中實(shí)數(shù)的值；（2）若該校高一年級(jí)共有學(xué)生1000人，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)（3）若從樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢c，兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，試用列舉法求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的槪率21（12分）函數(shù).（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：，時(shí)，.22（10分）一盒中放有的黑球和白球，其中黑球4個(gè)，白球5個(gè).（1）從盒中同時(shí)摸出兩個(gè)球，求兩球顏色恰好相同的概率；（2）從盒中摸出一個(gè)球，放回后再摸出一個(gè)球，求兩球顏色恰好不同的概率.參

6、考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析：先對(duì)a,b,c,進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行比較即可.詳解：，又故，故選D.點(diǎn)睛：考查對(duì)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)運(yùn)算，定積分計(jì)算，比較大小則通常進(jìn)行估算值的大小，屬于中檔題.2、A【解析】根據(jù)題意函數(shù)在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在恒成立，利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，列出相應(yīng)的不等式，即可求解出的取值范圍?！驹斀狻恳?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，即故答案選A。【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，解題時(shí)常與導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用相結(jié)合。3、D【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)

7、函數(shù)在時(shí)取得極值，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在時(shí)取得極值，所以，解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于?？碱}型.4、B【解析】設(shè)出大正方形的面積，求出陰影部分的面積，從而求出滿足條件的概率即可【詳解】設(shè)“東方魔板”的面積是4，則陰影部分的三角形面積是1，陰影部分平行四邊形的面積是 則滿足條件的概率 故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型問題，考查面積之比，是一道基礎(chǔ)題5、A【解析】根據(jù)和角的范圍可求出=，再根據(jù)兩角和與差的正弦求出的值，進(jìn)而求出，代入求出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以=，所以，所以=.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)給值求

8、角，兩角和與差的正弦，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：，將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有種情況， 5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，有5種情況，則有605300種不同的順序，故選D【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】由兩直線平行的條件計(jì)算【詳解】由題意，解得故選D【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的條件，直線與平

9、行的條件是：在均不為零時(shí)，若中有0，則條件可表示為8、D【解析】由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)得出xsinx0，由0 x2，得出【詳解】因?yàn)閤+sinx又x(0,2)，所以sinx0，x(,2)，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，再利用絕對(duì)值不等式時(shí)，需要注意等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題。9、B【解析】直接利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算法則求解即可【詳解】解：集合，由全集，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)知識(shí)的考查10、D【解析】分析：首先化簡(jiǎn)所給的復(fù)數(shù)，然后確定復(fù)數(shù)所在的象限即可.詳解：由題意可得：，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第四象限，即復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限.本

10、題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、A【解析】試題分析：由題意得，事件“三次抽到的號(hào)碼之和為”的概率為，事件同時(shí)發(fā)生的概率為，所以根據(jù)條件概率的計(jì)算公式.考點(diǎn)：條件概率的計(jì)算.12、C【解析】求出，即可求出此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)【詳解】，所以，所以此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)約為故選C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域滿足真數(shù)要大于

11、零【詳解】由，解得，故定義域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的定義域，只需滿足真數(shù)大于零即可，然后解不等式，較為簡(jiǎn)單14、660【解析】第一類，先選女男，有種，這人選人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有種，故有 種；第二類，先選女男，有種，這人選人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有種，故有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有種，故答案為.15、【解析】分析：根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求得三棱錐外接球半徑，由球表面積公式即可求得表面積。詳解：由，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式得 ，解得 所以 ，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?代入得 所以ABC為等腰三角形，且 ，由正弦定理得ABC外接圓半徑R為 ，解得 設(shè)ABC外心為 ， ，過 作 則在 中 在中 解得 所以外接球面積為

12、點(diǎn)睛：本題綜合考查了空間幾何體外接球半徑的求法，通過建立空間模型，利用勾股定理求得半徑；結(jié)合球的表面積求值，對(duì)空間想象能力要求高，綜合性強(qiáng)，屬于難題。16、65.5【解析】把8人的生物等級(jí)考成績(jī)從小到大排列,最后按照中位數(shù)的定義可以計(jì)算出該小組生物等級(jí)考成績(jī)的中位數(shù).【詳解】8人的生物等級(jí)考成績(jī)從小到大排列如下：,所以該小組生物等級(jí)考成績(jī)的中位數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)的計(jì)算方法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì),可知直線與平面所成角即為,根據(jù)即可得解.（2）根據(jù)結(jié)合三棱錐體積

13、求法即可得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）畫出空間幾何體如下圖所示:因?yàn)槿庵鶠橹比庵?所以即為直線與平面所成角因?yàn)?所以即直線與平面所成角為（2）因?yàn)橹比庵?. 所以則,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為則所以 即,解得所以點(diǎn)到平面的距離為【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面的夾角,點(diǎn)到平面距離的求法及等體積法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18、（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）的最小值為1【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)后，注意對(duì)分式分子實(shí)行有理化，注意利用平方差公式，然后分析單調(diào)性；（2）由可得不等式，通過構(gòu)造函數(shù)證明函數(shù)的最值滿足相應(yīng)條件即可；分析函數(shù)時(shí)，注意極值點(diǎn)唯一的情況，其中導(dǎo)函數(shù)等于零的式子要注意代入化

14、簡(jiǎn).【詳解】解：（1）已知，函數(shù)的定義域?yàn)椋虼嗽趨^(qū)間上，在區(qū)間上，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）存在，使得成立設(shè)，只要滿足即可，易知在上單調(diào)遞增，又，所以存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，即，所以.所以，因?yàn)?，所以，則，又.所以的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，難度較難，也是高考必考的考點(diǎn).對(duì)于極值點(diǎn)唯一的情況，一定要注意極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)等于零對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，這對(duì)于后面去計(jì)算函數(shù)的最值時(shí)去化簡(jiǎn)有直接用途.19、（1）見解析；（2）【解析】（1），討論a，求得單調(diào)性即可（2）利用（1）的分類討論，研究函數(shù)最值，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解

15、【詳解】（1）因?yàn)椋涠x域?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得，此時(shí)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得，此時(shí)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，.易證，所以.因?yàn)椋?所以恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需，解得.當(dāng)時(shí)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意.當(dāng)時(shí)，由于在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，又，由于，所以，函數(shù)最多只有1個(gè)零點(diǎn)，與題意不符.綜上可知，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)零點(diǎn)問題，考查推理求解能力及分類討論思想，是難題20、（1）a

16、=0.1（2）850（人）（3）【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出的值；（2）先求出數(shù)學(xué)成績(jī)不低于分的概率，由此能求出數(shù)學(xué)成績(jī)不低于分的人數(shù)；（3）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生為分，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為人，由此利用列舉法能求出這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于的概率試題解析：（1）由頻率分布直方圖，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.1.（2）數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)為：10000.85=850（人）（3）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0，50）的學(xué)生為400.05=2（人），數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0，

17、100的學(xué)生人數(shù)為400.1=4（人），設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0，50）的學(xué)生為A，B，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0，100的學(xué)生為a，b，c，d，從樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0，50）與90，100兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，基本事件有：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，c，d，其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的情況有：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，共8種，這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的槪率為考點(diǎn)：頻率分布直方圖；古典概型及其概率的求解21、（1）（2）見解析【解析】(1)利用函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則其導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間大于等于零恒成立可得； (2)由第（1）問的結(jié)論，取 時(shí)構(gòu)造函數(shù)，得其單調(diào)性，從而不等式左右累加可得