北郵概率統(tǒng)計(jì)課件44矩與協(xié)方差矩陣

1、矩是隨機(jī)變量的更為廣泛的一種數(shù)字特征，前面介紹的數(shù)學(xué)期望及方差都是某種矩.第四節(jié) 矩與協(xié)方差矩陣 一. 矩 定義:設(shè) 和 是隨機(jī)變量則稱它為 的 階原點(diǎn)(1).(2).若 存在，簡稱 階矩。矩，若 存在，則稱它為 的 階中心矩。 9/15/2022(3).若 存在，則稱它為和 的 階混合矩。(4).若 存在，則稱它為和 的 階混合中心矩。注：數(shù)學(xué)期望 是隨機(jī)變量 的一階顯然：原點(diǎn)矩；方差 是隨機(jī)變量 的二階中心矩；協(xié)方差 是隨的二階混合中心矩。機(jī)變量 和9/15/2022二. 協(xié)方差矩陣將它們排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1, X2）的協(xié)方差矩陣.這是一個(gè)對稱矩陣定義:若二維隨機(jī)變量（X1,

2、X2）的四個(gè)二階中心矩都存在，分別記為：9/15/2022 類似可定義 n 維隨機(jī)變量( X1, X2, , Xn ) 的 協(xié)方差矩陣.為( X1, X2, , Xn ) 的協(xié)方差矩陣都存在，則稱矩陣：i, j = 1, 2, n若注：9/15/2022f ( x1, x2, , xn )則稱 X 服從 n 元正態(tài)分布.C 是( X1, X2, , Xn ) 的協(xié)方差矩陣.|C| 是它的行列式， 表示 C 的逆矩陣.X 和 是 n 維列向量， 表示 X 的轉(zhuǎn)置. 設(shè) =( X1, X2, , Xn )是一個(gè) n 維隨機(jī)向量，若 它的概率密度為： n 維正態(tài)分布的概率密度的定義.其中：推導(dǎo)過程見

3、教材P1359/15/2022n 元正態(tài)分布的四條重要性質(zhì)X = ( X1, X2, , Xn ) 服從 n 維正態(tài)分布的充 分必要條件是：對一切不全為零的實(shí)數(shù)： a1, a2, , an ， ( X1, X2, , Xn ) 的任意線性組合：a1X1+ a2 X2+ + an Xn 均服從一維正態(tài)分布.(1).(2).若 X = ( X1, X2, , Xn ) 服從 n 維正態(tài)分布， Y1, Y2, ，Yk 是 Xj（j = 1, 2, n）的線性函數(shù)，則 ( Y1, Y2, ，Yk ) 也服從多維正態(tài)分布.這一性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性變換不變性.9/15/2022若 X = ( X1, X

4、2, , Xn ) 服從 n 維正態(tài)分布， 則它的每一個(gè)分量 Xj（j = 1, 2, n）都服從(3).正態(tài)分布；反之，若 X1, X2, , Xn 都服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，則 ( X1, X2, , Xn ) 服從 n 維正態(tài)分布。設(shè) ( X1, X2, , Xn ) 服從 n 維正態(tài)分布，則：(4).“ X1, X2, , Xn 相互獨(dú)立 ” 與 “ X1, X2, , Xn 兩兩不相關(guān) ”是等價(jià)的。上述的四條性質(zhì)在后續(xù)的“隨機(jī)過程”與“數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中會(huì)經(jīng)常用到。9/15/2022設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立，且 X N ( 1, 2 ),Y N (0, 1 ).故: X 和 Y 的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，X 和 Y 的任 意線性組合是正態(tài)分布.X N ( 1, 2 ), Y N ( 0, 1 )，且 X 與 Y 獨(dú)立D( Z ) = 4D( X ) + D( Y ) = 8 + 1 = 9E( Z ) = 2E( X ) - E( Y ) + 3 = 2 + 3 = 5 即： Z N ( E(Z)，D(Z) )例試求