建立數(shù)學(xué)模型的方法步驟特點(diǎn)及分類doc

1、建立數(shù)學(xué)模型的方法、步驟、特點(diǎn)及分類 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 能表述建立數(shù)學(xué)模型的方法、步驟；2. 能表述建立數(shù)學(xué)模型的逼真性、可行性、漸進(jìn)性、強(qiáng)健性、可轉(zhuǎn)移性、非 預(yù)制性、條理性、技藝性和局限性等特點(diǎn)；3. 能表述數(shù)學(xué)建模的分類；4. 會(huì)采納敏捷的表述方法建立數(shù)學(xué)模型；5. 培育建模的想象力和洞悉力；一、建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟般說來建立數(shù)學(xué)模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機(jī)理分析方法,一類是測(cè)試分析方法 機(jī)理分析是依據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的熟識(shí)、分析其因果關(guān)系,找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律 , 建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義 . 測(cè)試分折將爭(zhēng)論對(duì)象視為一個(gè)“ 黑箱” 系統(tǒng),內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求, 可以

2、測(cè)量系統(tǒng)的輸人輸出數(shù)據(jù)、 并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法,依據(jù)事先確定的準(zhǔn)就在某一類模型中選出一個(gè)與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型；這種方法稱為系統(tǒng)辨識(shí) System Identification將這兩種方法結(jié)合起來也是常用的建模方法；即用機(jī)理分析建立模型的結(jié)構(gòu),用系統(tǒng)辨識(shí)確定模型的參數(shù)可以看出,用上面的哪一類方法建模主要是依據(jù)我們對(duì)爭(zhēng)論對(duì)象的明白程度和建模目的打算的 假如把握了機(jī)理方面的肯定學(xué)問,特性的物理意義；那么應(yīng)當(dāng)以機(jī)理分析方法為主當(dāng)然模型也要求具有反映內(nèi)部 , 如需要模型參數(shù)的具體數(shù)值,仍可以用系統(tǒng)辨識(shí)或其他統(tǒng)計(jì)方法得到假如對(duì)象的內(nèi)部機(jī)理基本上沒掌握,模型也不用于分析內(nèi)部特性, 譬如僅用來做輸出

3、預(yù)報(bào),就可以系統(tǒng)辯識(shí)方法為主系統(tǒng)辨識(shí)是一門特地學(xué)科, 需要肯定的掌握理論和隨機(jī)過程方面的學(xué)問以 下所謂建模方法只指機(jī)理分析；建模要經(jīng)過哪些步驟并沒有肯定的模式,通常與實(shí)際問題的性質(zhì)、建模的 目的等有關(guān),從 16.2 節(jié)的幾個(gè)例子也可以看出這點(diǎn)下面給出建模的般步驟,如圖 16-5 所 示圖 16-5 建模步驟示意圖 模型預(yù)備 第一要明白問題的實(shí)際背景, 明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等,盡量弄清對(duì)象的特點(diǎn), 由此初步確定用哪一類模型,總之是做好建模的預(yù)備工作 情形明才能方法對(duì), 這一步肯定不能忽視, 遇到問題 要虛心向從事實(shí)際工作的同志請(qǐng)教,盡量把握第一手資料 .模型假設(shè) 依據(jù)

4、對(duì)象的特點(diǎn)和建模的目的, 對(duì)問題進(jìn)行必要的、 合理的簡(jiǎn)化,用精確的語言做出假設(shè), 可以說是建模的關(guān)鍵一步 一般地說, 一個(gè)實(shí)際問題不經(jīng)過簡(jiǎn)化假設(shè)就很難翻譯成數(shù)學(xué)問題,即使可能, 也很難求解 不同的簡(jiǎn)化假設(shè)會(huì)得到不同的模型假設(shè)作得不合理或過份簡(jiǎn)潔,會(huì)導(dǎo)致模型失敗或部分失敗,于是應(yīng)當(dāng)修改和補(bǔ)充假設(shè)； 假設(shè)作得過分具體, 試圖把復(fù)雜對(duì)象的各方面因素都 考慮進(jìn)去,可能使你很難甚至無法連續(xù)下一步的工作通常,作假設(shè)的依據(jù),一 是出于對(duì)問題內(nèi)在規(guī)律的熟識(shí), 二是來自對(duì)數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析, 也可以是二者的 綜合作假設(shè)時(shí)既要運(yùn)用與問題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面的學(xué)問,又要充分發(fā)揮想象力、 洞悉力和判定力,

5、 善于辨別問題的主次, 堅(jiān)決地抓住主要 因素,舍棄次要因素,盡量將問題線性化、 勻稱化體會(huì)在這里也常起重要作用 寫 出假設(shè)時(shí),語言要精確,就象做習(xí)題時(shí)寫出已知條件那樣模型構(gòu)成依據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系,利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,構(gòu)造各個(gè)量 常量和變量 之間的等式 或不等式 關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)這里除需要一些相關(guān)學(xué)科的特地學(xué)問外,仍經(jīng)常需要較寬闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的學(xué)問,以開拓思路 . 當(dāng)然不能要求對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科門門熟知 , 而是要知道這些學(xué)科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決相像類比法, 即依據(jù)不同對(duì)象的某些相似性,借用已知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型, 也是構(gòu)造模型的一種方法 建模時(shí)仍應(yīng)遵循的一個(gè)原

6、就是, 盡量采納簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)工具, 由于你建立的模型總是期望能有更多的人明白和使用 , 而不是只供少數(shù)專家觀賞 .模型求解 可以采納解方程、畫圖形、證明定理、規(guī)律運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法,特殊是運(yùn)算機(jī)技術(shù)模型分析 對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析, 有時(shí)要依據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依靠關(guān)系或穩(wěn)固狀況, 有時(shí)是依據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報(bào),有時(shí)就可能要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或掌握,不論哪種情形仍經(jīng)常需要進(jìn)行誤差分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)固性或靈敏性分析等模型檢驗(yàn)把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實(shí)際問題,并用實(shí)際的現(xiàn)象、 數(shù)據(jù)與之比較,檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性這一步對(duì)于建模的成敗是特別重要的,要以莊重

7、仔細(xì)的態(tài)度來對(duì)待 當(dāng)然,有些模型如核戰(zhàn)爭(zhēng)模型就不行能要求接受實(shí)際的檢驗(yàn)了 模型檢驗(yàn)的結(jié)果假如不符合或者部分不符合實(shí)際,問題通常出在模型假設(shè)上,應(yīng)當(dāng)修改、補(bǔ)充假設(shè),重新建模有些模型要經(jīng)過幾次反復(fù),不斷完善,直到檢驗(yàn)結(jié)果獲得某種程度上的中意模型應(yīng)用 應(yīng)用的方式自然取決于問題的性質(zhì)和建模的目的,這方面的內(nèi)容不是本書爭(zhēng)論的范疇；應(yīng)當(dāng)指出, 并不是全部建模過程都要經(jīng)過這些步驟,也不那么分明 建模時(shí)不應(yīng)拘泥于形式上的按部就班,敏捷的表述方式二、數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)有時(shí)各步驟之間的界限 本書的建模實(shí)例就實(shí)行了我們已經(jīng)看到建模是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的重要手段；數(shù)學(xué)模型有許 多優(yōu)點(diǎn),也有弱點(diǎn)；建模需要相當(dāng)豐富的學(xué)

8、問、體會(huì)和各方面的才能,同時(shí)應(yīng)注 意把握分寸下面歸納出數(shù)學(xué)模型的如干特點(diǎn),以期在學(xué)習(xí)過程中逐步領(lǐng)悟模型的逼真性和可行性一般說來總是期望模型盡可能靠近爭(zhēng)論對(duì)象,但是一個(gè)特別逼真的模型在數(shù)學(xué)上經(jīng)常是難于處理的,因而不簡(jiǎn)潔達(dá)到通過建模對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象進(jìn)行分析、預(yù)報(bào)、決策或者掌握的目的,即有用上不行行另一方面,越 逼真的模型經(jīng)常越復(fù)雜,即使數(shù)學(xué)上能處理,這樣的模型應(yīng)用時(shí)所需要的“ 費(fèi) 用” 也相當(dāng)高, 而高“ 費(fèi)用” 不肯定與復(fù)雜模型取得的“ 效益” 相匹配所以建模時(shí)往往需要在模型的逼真性與可行性,擇“ 費(fèi)用” 與“ 效益” 之間做出折衷和抉模型的漸進(jìn)性略微復(fù)雜一些的實(shí)際問題的建模通常不行能一次勝利,要經(jīng)過

9、上一節(jié)描述的建模過程的反復(fù)迭代,包括由簡(jiǎn)到繁, 也包括刪繁就簡(jiǎn), 以獲得越來越中意的模型 在科學(xué)進(jìn)展過程中隨著人們熟識(shí)和實(shí)踐才能的提高,各門學(xué)科中的數(shù)學(xué)模型也存在著一個(gè)不斷完善或者推陳出新的過程從 19 世紀(jì)力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等很多學(xué)科由牛頓力學(xué)的模型主宰,到 的建立,是模型漸進(jìn)性的明顯例證20 世紀(jì)愛因斯坦相對(duì)論模型模型的強(qiáng)健性 模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)經(jīng)常是由對(duì)象的信息如觀測(cè)數(shù)據(jù)確定的,而觀測(cè)數(shù)據(jù)是答應(yīng)有誤差的 一個(gè)好的模型應(yīng)當(dāng)具有下述意義的強(qiáng)健性：當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù) 或其他信息 有微小轉(zhuǎn)變時(shí), 模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)只有微小變化, 并且一般也應(yīng) 導(dǎo)致模型求解的結(jié)果有微小變化模型的可轉(zhuǎn)移性 模型是現(xiàn)實(shí)對(duì)象抽象化、

10、抱負(fù)化的產(chǎn)物, 它不為對(duì)象的所 屬領(lǐng)域所獨(dú)有,可以轉(zhuǎn)移到另外的領(lǐng)域在生態(tài)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等領(lǐng)域內(nèi)建模就常 常借用物理領(lǐng)域中的模型模型的這種性質(zhì)顯示了它的應(yīng)用的極端廣泛性但是實(shí)際問題是各 模型的非預(yù)制性 雖然已經(jīng)進(jìn)展了很多應(yīng)用廣泛的模型,種各樣、變化萬千的, 不行能要求把各種模型做成預(yù)制品供你在建模時(shí)使用；模 型的這種非預(yù)制性使得建模本身經(jīng)常是事先沒有答案的問題 Openend problem 在建立新的模型的過程中甚至?xí)喟橹碌臄?shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)概念的產(chǎn) 生從建模的角度考慮問題可以促使人們對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的分析更 模型的條理性 全面、更深化、 更具條理性, 這樣即使建立的模型由于種種緣由尚未達(dá)到有用的 程

11、度,對(duì)問題的爭(zhēng)論也是有利的；模型的技藝性 建模的方法與其他一些數(shù)學(xué)方法如方程解法、規(guī)劃解法等是 根本不同的, 無法歸納出如干條普遍適用的建模準(zhǔn)就和技巧有入說； 建模目前 與其是一門技術(shù)、不如說是一種藝術(shù)是技藝性很強(qiáng)的技巧體會(huì)、想象力、洞 察力、判定力以及直覺、 靈感等在建模過程中起的作用往往比一些具體的數(shù)學(xué)知 識(shí)更大模型的局限性 這里有幾方面的含義 第一,由數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)論雖然具有通用性和精確性, 但是由于模型是現(xiàn)實(shí)對(duì)象簡(jiǎn)化、抱負(fù)化的產(chǎn)物, 所以一旦將模型的結(jié)論應(yīng)用于實(shí)際問題, 就回到了現(xiàn)實(shí)世界, 那些被忽視、 簡(jiǎn)化的因素必需考慮,于是結(jié)論的通用性和精確性只是相對(duì)的和近似的其次,由于人們熟識(shí)

12、能力和科學(xué)技術(shù)包括數(shù)學(xué)本身進(jìn)展水平的限制,仍有不少實(shí)際問題很難得到有著實(shí) 用價(jià)值的數(shù)學(xué)模型如一些內(nèi)部機(jī)理復(fù)雜、影響因素眾多、測(cè)量手段不夠完善、技藝性較強(qiáng)的生產(chǎn)過程, 像生鐵冶煉過程, 需要開發(fā)專家系統(tǒng), 與建立數(shù)學(xué)模型相結(jié)合才能獲得較中意的應(yīng)用成效專家系統(tǒng)是一種運(yùn)算機(jī)軟件系統(tǒng),它總結(jié)專家的學(xué)問和體會(huì), 模擬人類的規(guī)律思維過程, 建立如干規(guī)章和推理途徑, 主要是 定性地分析各種實(shí)際現(xiàn)象并做出判定專家系統(tǒng)可以看成運(yùn)算機(jī)模擬的新發(fā) 展第三,仍有些領(lǐng)域中的問題今日尚未進(jìn)展到用建模方法尋求數(shù)量規(guī)律的階段,如中醫(yī)診斷過程, 目前所謂運(yùn)算機(jī)幫助診斷也是屬于總結(jié)聞名中醫(yī)的豐富臨床經(jīng) 驗(yàn)的專家系統(tǒng)建模過程是一種

13、制造性思維過程, 除了想象、洞悉、判定這些屬于形象思維、規(guī)律思維范疇的才能之外, 直覺和靈感往往也起著不行忽視的作用；當(dāng)由于各種 限制利用已有學(xué)問難以對(duì)爭(zhēng)論對(duì)象做出有效的推理和判定時(shí),憑借相像、類比、推測(cè)、外推等思維方式及不完整、不連續(xù)、不嚴(yán)密的,帶啟示性的直覺和靈感,去“ 戰(zhàn)略性” 地熟識(shí)對(duì)象, 是人類制造性思維的特點(diǎn)之一, 也是人腦比按程序邏 輯工作的運(yùn)算機(jī)、 機(jī)器人的高明之處 歷史上不乏在科學(xué)家的直覺和靈感的火花 中產(chǎn)生的假說、論證和定律當(dāng)然,直覺和靈感不是憑空產(chǎn)生的,它要求人們具 有豐富的背景學(xué)問,對(duì)問題進(jìn)行反復(fù)摸索和艱苦探究,對(duì)各種思維方法運(yùn)用嫻 熟相互爭(zhēng)論和思想交鋒, 特殊是不同專

14、業(yè)的成員之間的探討,是激發(fā)直覺和靈 感的重要因素所以由各種特地人才組成的所謂團(tuán)隊(duì)工作方式 Team work 越來 越受到重視前面說過, 建?？梢钥闯梢婚T藝術(shù) 藝術(shù)在某種意義下是無法歸納出幾條準(zhǔn) 就或方法的 一名杰出的藝術(shù)家需要大量的觀摩和前輩的指教,更需要親身的實(shí)踐類似地,把握建模這門藝術(shù)培育想象力和洞悉力,一要大量閱讀、摸索別人 做過的模型,二要親自動(dòng)手,仔細(xì)做幾個(gè)實(shí)際題目三、數(shù)學(xué)模型的分類 數(shù)學(xué)模型可以依據(jù)不同的方式分類,下面介紹常用的幾種1. 依據(jù)模型的應(yīng)用領(lǐng)域 或所屬學(xué)科 分如人口模型、 交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型等范疇 更大一

15、些就形成很多邊緣學(xué)科如生物數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)、地質(zhì)數(shù)學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)等2. 依據(jù)建立模型的數(shù)學(xué)方法 或所屬數(shù)學(xué)分支 分如初等數(shù)學(xué)模型、 幾何模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規(guī)劃論模型等按第一種方法分類的數(shù)學(xué)模型教科書中,著重于某一特地領(lǐng)域中用不同方法建立模型, 而按其次種方法分類的書里, 是用屬于不同領(lǐng)域的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型來 說明某種數(shù)學(xué)技巧的應(yīng)用 在本書中我們重點(diǎn)放在如何應(yīng)用讀者已具備的基本數(shù) 學(xué)學(xué)問在各個(gè)不同領(lǐng)域中建模3. 依據(jù)模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法：確定性模型和隨機(jī)性模型取決于是否考慮隨機(jī)因素的影響 近年來隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)展,又有所謂突變性模型和模糊性模型靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型

16、 線性模型和非線性模型 離散模型和連續(xù)模型 續(xù)的取決于是否考慮時(shí)間因素引起的變化取決于模型的基本關(guān)系, 如微分方程是否是線性的指模型中的變量 主要是時(shí)間變量 取為離散仍是連雖然從本質(zhì)上講大多數(shù)實(shí)際問題是隨機(jī)性的、動(dòng)態(tài)的、非線性的,但是由于 確定性、靜態(tài)、線性模型簡(jiǎn)潔處理,并且往往可以作為初步的近似來解決問題,所以建模經(jīng)常先考慮確定性、 靜態(tài)、線性模型 連續(xù)模型便于利用微積分方法求 解,作理論分析, 而離散模型便于在運(yùn)算機(jī)上作數(shù)值運(yùn)算,所以用哪種模型要看具體問題而定在具體的建模過程中將連續(xù)模型離散化,也是常采納的方法或?qū)㈦x散變量視作連續(xù),4. 依據(jù)建模目的分 有描述模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化

17、模型、決策模 型、掌握模型等5.依據(jù)對(duì)模型結(jié)構(gòu)的明白程度分有所謂白箱模型、灰箱模型、黑箱模型這是 把爭(zhēng)論對(duì)象比如成一只箱子里的機(jī)關(guān),要通過建模來揭示它的奧妙 白箱主要包 括用力學(xué)、 熱學(xué)、電學(xué)等一些機(jī)理相當(dāng)清晰的學(xué)科描述的現(xiàn)象以及相應(yīng)的工程技術(shù)問題,這方面的模型大多已經(jīng)基本確定,仍需深化爭(zhēng)論的主要是優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制等問題了灰箱主要指生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等領(lǐng)域中機(jī)理尚不特別清晰的 現(xiàn)象,在建立和改善模型方面都仍不同程度地有很多工作要做至于黑箱就主要指生命科學(xué)和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中一些機(jī)理數(shù)量關(guān)系方面 很不清晰的現(xiàn)象有些工程技術(shù)問題雖然主要基于物理、化學(xué)原理, 但由于因素眾多、 關(guān)系復(fù)雜和觀測(cè)困難等緣

18、由也常作為灰箱或黑箱模型處理當(dāng)然,白、灰、黑之間并沒有明顯的界限,而且隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)展,箱子的“顏色 ”必定是逐步由暗變亮的建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟1. 模型預(yù)備要明白問題的實(shí)際背景, 明確建模目的, 搜集必需的各種信息, 盡量弄清對(duì)象的 特點(diǎn)；2. 模型假設(shè)依據(jù)對(duì)象的特點(diǎn)和建模目的, 對(duì)問題進(jìn)行必要的、 合理的簡(jiǎn)化, 用精確的語言作 出假設(shè),是建模至關(guān)重要的一步； 假如對(duì)問題的全部因素一概考慮,無疑是一種 有士氣但方法欠佳的行為, 所以精湛的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞悉力和判定 力,善于辨別主次,而且為了使處理方法簡(jiǎn)潔,應(yīng)盡量使問題線性化、勻稱化；3. 模型構(gòu)成依據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系,利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工 具,構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；這時(shí),我們便會(huì)進(jìn)入一個(gè)寬闊的 應(yīng)用數(shù)學(xué)天地,這里在高數(shù)、概率老人的膝下,有很多可愛的孩子們,他們是圖 論