高考數(shù)學(xué)理科練習(xí)題空間向量與立體幾何

1、- -c.5D.3010D 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:1八則 A(1,0,0) , B(0,1,0), N2, 0,12，1 ，1-，c.5D.3010D 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:1八則 A(1,0,0) , B(0,1,0), N2, 0,12，1 ，1-，11,2，0,1, BM= -, 2，1,cosAN BMAN BMI AN| BM. AN1 1-2X2+1224+0+1x11,4+4+1至二嚕故選D.專題限時集訓(xùn)（八）空間向量與立體幾何專題通關(guān)練（建議用時：20分鐘）模）在直三棱柱 ABCABiCi, / BCA= 90 , M N分別是 AB, AC的中點，BC= AO

2、 CC= 1,則AN與BM所成角的余弦值為（1 A. 1 A. 10.二面角的棱上有 A, B兩點，直線AC BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB已知AB= 2, AO 3, BD= 4, CD=肝,則該二面角的大小為 （）A.30B. 45C.60D. 120A.30B. 45C.60D. 120由已知可得CA-AB= 0, AB- BD= 0,如圖,CD= C/V AB+ BD.I CD由已知可得CA-AB= 0, AB- BD= 0,如圖,CD= C/V AB+ BD.I CD2=(CAvAB+ BD2= |CA2+1AB2+|bd2+2CA-2AB BA 2CA- BD=

3、 32 + 22 + 42+ 2 X 3 X 4cos CX BD =(屈)：.cos .cos Ca 語即CA Bb =120 ,，所求二面角的大小為60 ,故選C. （2018 全國卷I ）在長方體 ABCDABCD中，AB= BC= 2, AC與平面BBCC所成的角為30 ,則該長萬體的體積為 （）A. 8B. 6 ：2C. 8 ：2D. 8 ,3BC 在長方體 ABCDABCD中，ABL平面BCCB ,連接BC, AC, /ACB為直線AC與平面BBCC所成的角，/ ACB= 30 .又AB= BC 一八，一，一 ABB所以在RABC中，BC =商kb= 2g在RtBCC中，CC= 2

4、732-22 =2J2,所以該長方體體 = BCx CCx AB= 8 4.（2019 汕頭模擬）如圖，在正方體 ABCDABCD中，M N分 BC, CD的中點，則下列判斷錯誤的是 （）MNL CCMNL平面 ACCA1MN/平面 ABCDMIN/ AiBiD 在正方體 ABCDAiBCiD中，M N分別是BC, 的中點，以 D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD為z 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCDAiBiCD的棱長為則 M121） , N011） , C（0,2,0） , C（0,2,2） , MN=（-1,0) , CC= (0,0,2) , MN CC= 0,MNLCC,故 A確

5、；A(2,0,0) , AC= ( -2,2,0),MN AC= 0, MNLAC.AS CC= C,MN_ 平面 ACC1,故 B 正確;平面ABCD勺法向量n= (0,0,1),MN n=0,又MN平面ABCD MN/平面 ABCD故C正確;A1(0,2,2) , B(2,2,2). ABi = (2,0,0),MNW A1B1不平行，故D錯誤.故選 D.5.（2019 全國卷出）如圖，點 N為正方形ABCM中心， ECD正三角形，平面ECDL平面ABCDM是線段ED的中點, 則（）A.BM EN,且直線BMB.BW EN且直線BMEN相交直線C.A.BM EN,且直線BMB.BW EN且

6、直線BMEN相交直線C.BM EN,且直線BMD.BM EN,且直線BMB 取CD的中點Q連接ON EO因為 ECE正三角形，所 以EQL CD又平面 ECD_平面 ABCD平面ECD平面ABCD= CD所 以EQL平面ABC而正方形 ABCD勺邊長為2,則E0= ；：3, QN= 1, 所以EN2= E0+ QN= 4,得EN= 2.過M作CD的垂線，垂足為 P,連 接 BP,則 MP= ，C鼻 3,所以 bM= mP+ bP=呼 + | +22 =7,得BM= 7p,所以BW EN連接BD BE,因為四邊形 ABC泗正方形，所以 N為BD的中 點，即EN, MB勻在平面BD型，所以直線 B

7、M EN是相交直線，選 B.6.一題多解如圖，AB是。0的直徑，PA垂直于。Q所在平面，點 C是圓周上不同于 AB兩點的任意一點，且 AB= 2, PA= BC= 則二面角 A-BGP的大小為 .法一：(幾何法)由題意可知 ACL BC 3 TOC o 1-5 h z 又PAL平面ABC飛、.PALBC.PAn AC= A,j . - 4 4 Jaior BCL平面 PAC二BCL PC / PCA二面角 A BC P的平面角.在 RtBCA中，AB= 2, BC=. . AC= 1.在 RtPCA中，PA= 3/3,PA -tan / PCA= rz= 3/3,AC 兀./ PCA=一3法二

8、：(坐標(biāo)法)以A為原點，AP為z軸，AC為y軸，過A且 垂直于AC的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.由 AB =2, PA= BC= 3/3,可知 AC=122-3 =1.PB=（的 1,血,PC= （0,1，小）. R0,0 , PB=（的 1,血,PC= （0,1，?。?設(shè)平面PBC勺法向量n=(x, y, z),則n PB= 0,n , Pe 0,3x 木x+y J3z=0, 什 mn PB= 0,n , Pe 0,即“取 z=1 得 n=(0,4，1).y-x3z=0,平面ABCW法向量m (0,0,1)設(shè)二面角 ABGP的平面角為0 ,則cos能力提升練(建議用時：15分鐘

9、)7.如圖，在各棱長均為 2的正三棱柱 ABGABG中，D, E分別 為棱AB1與BB的中點，M N為線段GD上的動點，其中，M更靠近 D,且 MNk GN.(1)證明：AE，平面AGD;(2)若NE與平面BGGB所成角的正弦值為 嚓,求異面直線BM與NE所成角的余弦值.解(1)證明：由已知得 ABG為正三角形，D為棱AB的中點,GD，A1B1,在正三棱柱 ABGABG中，AAL底面 ABG, GDZ底面 ABG,則AA1XGD 又 ABAAA=A, A1B1, AAU平面 ABBA,，GD，平面 ABBA,又AEC平面ABBA1,GD)! A1E.易證AE AD又 Am GD= D, AD,

10、 GDT平面 AGD,.AEL平面 AGD.(2)取BG的中點Q BG的中點O,連接AQ則AQL BG OO1 BG OO1 AQ以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則 R0,1,0) , E(0,1,1),G(0 , - 1,2) , D3, 2, 2 ,設(shè)GN=入Gb=號入，2入，0 ,則 NE=Ce Cn=(0,2 , - 1) -好入，|入，0易知n = (1,0,0)是平面BCCB的一個法向量,|cos N|cos NE, n | = _,13人6入 +5201 一一，解得入1 一一，解得入=3(負(fù)值舍去),加2入CD=拿1, 0BMi= BC+ Cm=亞 i,3

11、.cosNE, BM =3 2.cosNE, BM =3 221611 11 io40 異面直線異面直線NE與BM所成角的余弦值為11 10408.如圖，CD AB分別是圓柱的上、下底面圓的直徑，四邊形ABCO邊長為2的正方形，E8.如圖，CD AB分別是圓柱的上、下底面圓的直徑，四邊形ABCO邊長為2的正方形，E是底面圓周上不同于 A B兩點的一點，AE= 1.(1)求證：BE1平面DAE(2)求二面角CDBE的余弦值.解(1)證明：由圓柱的性質(zhì)知,又BE 平面ABEDAL平面ABEBE! DA又AB是底面圓的直徑，又AB是底面圓的直徑，E是底面圓周上不同于 A,B兩點的一點，.BE! AE

12、(2)(2)過A在平面AE臥作垂直于 AB的直線,又 DAO AE= A, DA A巨平面 DAEJfBE!平面 DAEJf建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，. AB= AD 2, AEE= 1, . . BEE= 4 E 乎,J, 0 , D(0,0,2), B(0,2,0),/31ED= 2，2 , BD= (0, - 2,2),取平面CDB勺一個法向量為ni= (1,0,0),設(shè)平面EBD勺法向量為n2=(X2, y2, z2),n2 , ED= 0,則n2 - BD= 0, TOC o 1-5 h z -X2 -V2+2Z2= 0,_ ，-即 22取Z2=1,則n2=(，3, 1,1)為平

13、面EBD勺一個法向量.一 2y2 + 2z2= 0,m - n21315 .cos m, n2 = -一= = 4,|m| 稟|；55 又易知二面角 GDBE為鈍角，.二面角GDBE的余弦值為一噂內(nèi)容押題依據(jù)探索性問題，線面平行的性質(zhì)、線面角的求法探索性問題圖考還未考查， 可以較好的考查考 生的思維，邏輯推理、運算等核心素養(yǎng)【押題】 如圖，在四棱錐 P-ABCDK底面ABCD1平行四邊形，PDL平面 ABCD PD= AD= BD= 2, AB= 2派(1)若PA/平面BDE證明：PE= EC(2)在(1)的條件下，棱PB上是否存在點 M使直線DM與平面BDE成角的大小為30。？ 若存在，求P

14、M： MB的值；若不存在，請說明理由.解(1)連接AC交BD于點F,連接EF,則EF是平面PACW平面BDE勺交線，因為PA/平面BDE PAZ平面PAC所以PA/ EF.又因為F是AC中點，所以E是PC的中點，所以PE=(2)由已知條件中， aD+bD= A百，所以AD BD以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸建立空 直角坐標(biāo)系. TOC o 1-5 h z 則D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),C(-2,2,0) , E( 1,1,1) , DE=( 1,1,1) , DB= (0,2,0).，一一. . . _ _ 、一一 _假設(shè)在棱PB上存在點 M設(shè)PM=入PB：0W入W1),17得 M0,2 入，2 2 入)，DM= (0,2 入，2 2 入)，記平面BDE勺法向量為 m=(X1, y1, Z1),n1 , DE= 0,X1+y + Z