復(fù)數(shù) 平面向量、復(fù)數(shù)高考專題輔導(dǎo)

1、復(fù)數(shù)核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù)2結(jié)合復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模等概念的認(rèn)識，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)3結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)理清主干知識1復(fù)數(shù)的定義及分類(1)復(fù)數(shù)的定義：形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a，虛部是b.(2)復(fù)數(shù)的分類：eq avs4al(復(fù)數(shù)zabi,a，bR)eq blcrc (avs4alco1(實(shí)數(shù)b0，,虛數(shù)b0blcrc (avs4alco1(純虛數(shù)a0，,非純虛數(shù)a0.)2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)相等abicdiac且bd(a，b，c

2、，dR)共軛復(fù)數(shù)abi與cdi共軛ac且bd(a，b，c，dR)復(fù)數(shù)的模向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)zabi的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|req r(a2b2)(r0，a，bR)3.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面實(shí)軸、虛軸在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)以外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b) 平面向量eq o(OZ,sup7()4.復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則：(1)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)z1z2(abi)(c

3、di)(ac)(bd)i；(3)z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)eq f(z1,z2)eq f(abi,cdi)eq f(abicdi,cdicdi)eq f(acbd,c2d2)eq f(bcad,c2d2)i(cdi0)5復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾個重要結(jié)論(1)|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)(2)eq xto(z)z|z|2|eq xto(z)|2.(3)若z為虛數(shù)，則|z|2z2.(4)(1i)22i.(5)eq f(1i,1i)i；eq f(1i,1i)i.(6)i4n1；i4n1i；i4n21；i4n3i.澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1(復(fù)數(shù)的

4、概念)復(fù)數(shù)zeq f(i,5i)的虛部為()A.eq f(5,26)Beq f(5,26)iCeq f(5,26) Deq f(5,26)i解析：選Azeq f(i,5i)eq f(i5i,5i5i)eq f(15i,26)eq f(1,26)eq f(5,26)i.故選A.2(復(fù)數(shù)的模)復(fù)數(shù)z(1i)2，則|z|()A0 B1C2 D3解析：選C由題得z2i，所以|z|2.故選C.3(復(fù)數(shù)的幾何意義)復(fù)數(shù)zeq f(5,2i)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選Azeq f(5,2i)eq f(5blc(rc)(avs4alco1(2i),blc(r

5、c)(avs4alco1(2i)blc(rc)(avs4alco1(2i)2i，在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(2，1)，位于第一象限故選A.4(復(fù)數(shù)的運(yùn)算)若復(fù)數(shù)z滿足zi1i(i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)是_解析：由zi1i，得zeq f(1i,i)eq f(1ii,i2)1i，eq o(z,sup6()1i.答案：1i二、易錯點(diǎn)練清1(概念理解錯誤)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq f(43i,34i)的虛部是()A1 B1Ci Di解析：選B由題意得，eq f(43i,34i)eq f(43i34i,34i34i)eq f(25i,25)i，所以復(fù)數(shù)的虛部是1.故

6、選B.2(混淆絕對值與復(fù)數(shù)模的含義)若z34i，則|z|()A.eq r(5) B5C7 D25解析：選B因?yàn)閦34i，所以|z|eq r(3242)eq r(25)5.考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念1(2020浙江高考)已知aR，若a1(a2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù)，則a()A1B1C2 D2解析：選C因?yàn)閍1(a2)i是實(shí)數(shù)，所以a20，所以a2，故選C.2(2020全國卷)若z12ii3，則|z|()A0 B1C.eq r(2) D2解析：選C因?yàn)閦12ii312ii1i，所以|z|eq r(1212)eq r(2)，故選C.3(多選)已知i為虛數(shù)，且復(fù)數(shù)z滿足z(12i)1i3，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的

7、命題中正確的為()A復(fù)數(shù)z的虛部為eq f(3,5)B|z|eq f(2r(5),5)C復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn)z12i解析：選ACzeq f(1i,12i)eq f(1i12i,5)eq f(13i,5)，則復(fù)數(shù)z的虛部為eq f(3,5)，故A正確；|z| eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)2blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)2)eq f(r(10),5)，故B錯誤；復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)，f(3,5)，為第三象限內(nèi)的點(diǎn)，故C正確；虛數(shù)不能比較大小，故D錯誤故選A、C.4(多選)(2021年1月新高考八

8、省聯(lián)考卷)設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，z10.下列命題中正確的是()A若|z2|z3|，則z2z3B若z1z2z1z3，則z2z3C若eq xto(z)2z3，則|z1z2|z1z3|D若z1z2|z1|2，則z1z2解析：選BC由復(fù)數(shù)的形式知選項(xiàng)A顯然不正確；當(dāng)z1z2z1z3時，有z1z2z1z3z1(z2z3)0，又z10，所以有z2z3，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)eq xto(z)2z3時，則z2eq xto(z)3，|z1z2|2|z1z3|2(z1z2)(eq xto(z)1 eq xto(z)2)(z1z3)(eq xto(z)1 eq xto(z)3)z1z2eq xto(z)1eq xt

9、o(z)2z1z3eq xto(z)1eq xto(z)30，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)z1z2|z1|2時，則z1z2|z1|2z1eq xto(z)1z1z2z1eq xto(z)1z1(z2eq xto(z)1)0，又z10，所以eq xto(z)1z2，故選項(xiàng)D不正確5已知復(fù)數(shù)zeq f(a,2i)eq f(2i,5)的實(shí)部與虛部的和為2，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：易知zeq f(a,2i)eq f(2i,5)eq f(a2i,5)eq f(2i,5)eq f(2a2,5)eq f(a1i,5)，由題意得eq f(2a2,5)eq f(a1,5)2，解得a3.答案：3方法技巧解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及

10、注意事項(xiàng)(1)求一個復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式zabi(a，bR)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為a，虛部為b.(2)求一個復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，只需將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，實(shí)部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z1abi與z2cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR)(3)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件：zabiRb0(a，bR)；zRzeq xto(z)；zRz20.(4)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件： zabi是純虛數(shù)a0且b0(a，bR); z是純虛數(shù)zeq xto(z)0(z0)；z是純虛數(shù)z20，,f(2m,m21)0，)eq blcrc (avs4alco1(m210，,2m0，)解得m

11、1，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，)，故選D.答案(1)B(2)D方法技巧復(fù)數(shù)幾何意義問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量OZ相互聯(lián)系，即zabi(a，bR)Z(a，b)OZ.(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀針對訓(xùn)練1復(fù)數(shù)zeq f(1i,3i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選Dzeq f(1i,3i)eq f(1i3i,3i3i)eq f(24i,10)eq f(1,5)eq f(2i,5)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為eq blc(rc)(a

12、vs4alco1(f(1,5)，f(2,5)，位于第四象限，故選D.2設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件|z|1，那么|z2eq r(2)i|的最大值是()A3 B2eq r(3)C12eq r(2) D4解析：選D|z|1表示單位圓上的點(diǎn)， 那么|z2eq r(2)i|表示在單位圓上的點(diǎn)到(2eq r(2)，1)的距離，求最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(2eq r(2)，1)到原點(diǎn)的距離加上圓的半徑因?yàn)辄c(diǎn)(2eq r(2)，1)到原點(diǎn)的距離為3，所以最大值為4.3設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|zi|zi|(i為虛數(shù)單位)，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z(x，y)，則下列結(jié)論一定正確的是()Ax1 By1Cx0 Dy0解析：選D滿足|zi|zi|

13、的點(diǎn)為復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)(0，1)和(0,1)的距離相等的點(diǎn)的集合，Z(x，y)的軌跡為x軸，其方程為y0.故選D.eq avs4al(課時跟蹤檢測)1已知i為虛數(shù)單位，zeq f(4,1i)，則復(fù)數(shù)z的虛部為()A2iB2iC2 D2解析：選Czeq f(4,1i)eq f(41i,1i1i)eq f(41i,2)22i，虛部即為i的系數(shù)，為2，故選C.2設(shè)復(fù)數(shù)zeq f(1i,1i)，f(x)x2 020 x2 019x1，則f(z)()Ai BiC1 D1解析：選Czeq f(1i,1i)eq f(1i2,1i1i)eq f(2i,2)i，f(z)f(i)(i)2 020(i)2 019(i)

14、1.(i)(i)2(i)3(i)4i1i10，f(z)505011.故選C.3若zeq blc(rc)(avs4alco1(m2m6)(m2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A2 B2C3 D3解析：選C因?yàn)閦eq blc(rc)(avs4alco1(m2m6)(m2)i為純虛數(shù)，所以eq blcrc (avs4alco1(m2m30，,m20，)解得m3，故選C.4復(fù)數(shù)zeq f(2i4,1i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選D由題得復(fù)數(shù)zeq f(2,1i)eq f(21i,1i1i)eq f(21i,2)1i，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第四象

15、限，故選D.5“a2”是“復(fù)數(shù)z(a2i)(1i)(aR)為純虛數(shù)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選C當(dāng)a2時，z(22i)(1i)4i，則z為純虛數(shù)，可知“a2”是“復(fù)數(shù)z(a2i)(1i)(aR)為純虛數(shù)”的充分條件；當(dāng)z(a2i)(1i)(a2)(a2)i為純虛數(shù)時，有eq blcrc (avs4alco1(a20，,a20，)解得a2，可知“a2”是“復(fù)數(shù)z(a2i)(1i)(aR)為純虛數(shù)”的必要條件綜上所述，“a2”是“復(fù)數(shù)z(a2i)(1i)(aR)為純虛數(shù)”的充要條件6已知aR，i是虛數(shù)單位，若zaeq r(3)i，zeq xto(

16、z)4，則a()A1或1 Beq r(7)或eq r(7)Ceq r(3) Deq r(3)解析：選Azaeq r(3)i，eq xto(z)aeq r(3)i，zeq xto(z)(aeq r(3)i)(aeq r(3)i)a234，a21，a1，故選A.7已知mR，復(fù)數(shù)z113i，z2m2i，且z1eq xto(z)2為實(shí)數(shù)，則m()Aeq f(2,3) Beq f(2,3)C3 D3解析：選B因?yàn)閦1eq xto(z)2(13i)(m2i)(m6)(3m2)i為實(shí)數(shù)，所以3m20，解得meq f(2,3).故選B.8已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，z13i(i為虛數(shù)單位

17、)，則eq f(z1,z2)()A.eq f(4,5)eq f(3,5)i Beq f(4,5)eq f(3,5)iCeq f(4,5)eq f(3,5)i Deq f(4,5)eq f(3,5)i解析：選A由題意，復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，z13i，則z23i，則根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得eq f(z1,z2)eq f(3i,3i)eq f(4,5)eq f(3,5)i.9已知zabi，其中a，bR，且滿足(ai)2bi5，則|z|()A5 Beq r(5)C3 Deq r(3)解析：選B由已知得(ai)2bi，所以a21(2ab)i0，所以a210且2ab0，解得a1，b2或a

18、1，b2，所以|z|eq r(a2b2)eq r(5).10設(shè)z是復(fù)數(shù)，|zi|2(i是虛數(shù)單位)，則|z|的最大值是()A1 B2C3 D4解析：選C|zi|2，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)在以(0,1)為圓心，2為半徑的圓上及其內(nèi)部(如圖)|z|的最大值為3.11已知ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是2i,1i,22i，則點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A4i B32iC5 D14i解析：選D由題得A(2,1)，B(1，1)，C(2,2)，設(shè)D(x，y)，則eq o(AB,sup7()(3，2)，eq o(DC,sup7()(2x,2y)，因?yàn)閑q o(AB,sup7()eq o

19、(DC,sup7()，所以eq blcrc (avs4alco1(2x3，,2y2，)解得x1，y4.所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4)，所以點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為14i.12(多選)已知復(fù)數(shù)z滿足z(2i)i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq xto(z)，則()A|z|eq f(3,5)B.eq xto(z)eq f(12i,5)C復(fù)數(shù)z的實(shí)部為1D復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第二象限解析：選BD因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足z(2i)i，所以zeq f(i,2i)eq f(i2i,2i2i)eq f(1,5)eq f(2,5)i，所以|z| eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)2blc(rc)

20、(avs4alco1(f(2,5)2)eq f(r(5),5)，故A錯誤；eq xto(z)eq f(1,5)eq f(2,5)i，故B正確；復(fù)數(shù)z的實(shí)部為eq f(1,5)，故C錯誤；復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)，f(2,5)在第二象限，故D正確13已知i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z滿足z2ieq f(1,1i)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為()A.eq f(13,2) Beq f(r(26),2)C.eq f(r(10),2) Deq f(5,2) 解析：選B由z2ieq f(1,1i)，得z2ieq f(1,1i)2ieq f(1i,1i1

21、i)eq f(1,2)eq f(5,2)i，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(5,2)，到原點(diǎn)的距離為 eq r(f(1,4)f(25,4)eq f(r(26),2).14(多選)已知集合Meq blcrc(avs4alco1(m|min，nN)，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是()A(1i)(1i) Beq f(1i,1i)C.eq f(1i,1i) D(1i)2解析：選BC根據(jù)題意，Meq blcrc(avs4alco1(m|min，nN)，Meq blcrc(avs4alco1(1，1，i，i).選項(xiàng)A中，(1i)(1i)2

22、,2M；選項(xiàng)B中，eq f(1i,1i)eq f(1i2,1i1i)iM；選項(xiàng)C中，eq f(1i,1i)eq f(1i2,1i1i)iM；選項(xiàng)D中，(1i)22iM，故選B、C.15(2020全國卷)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|z2|2，z1z2eq r(3)i，則|z1z2|_.解析：法一：設(shè)z1abi(a，bR)，則z2eq r(3)a(1b)i，則eq blcrc (avs4alco1(|z1|2a2b24，,|z2|2r(3)a21b24，)即eq blcrc (avs4alco1(a2b24，,r(3)ab2，)所以|z1z2|2(2aeq r(3)2(2b1)24(a2b2)4(eq r(3)ab)44442412，所以|z1z2|2eq r(3).法二：題設(shè)可等價轉(zhuǎn)化為向量a，b滿足|a|b|2，ab(eq r(3)，1)，求|ab|.因?yàn)?ab)2(ab)22|a|22|b|2，所以4(ab)216，所以|ab|2eq r(3)，即|z1z2|2eq r(3).法三：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)向量eq o(OA,s