線性代數(shù) 2.4 矩陣的初等變換與矩陣的秩課件

1、2.4 矩陣的初等變換與矩陣的秩 1.矩陣的初等變換 2.矩陣的秩 定義2.16 下列三種變換稱為矩陣的初等行變換此時變換的是第i行,第j行沒有變化!同理可定義矩陣的初等列變換 (把“r”換成“c”)2.4.1 矩陣的初等變換矩陣的初等變換通常稱 (1) 換法變換 (2) 倍法變換 (3) 消法變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同逆變換逆變換逆變換三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.矩陣初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛. 2.4.2 初等矩陣由單位矩陣I經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣. 定義2.17(1) 交換I的兩行或兩列，得初等對換矩陣。(3) 以數(shù)乘某行（列）加到

2、另一行（列）上，得初等倍加矩陣。初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。另兩種情形同理可證一般記法：2、行階梯形矩陣、行最簡矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形定義2 滿足下列兩個條件的形如階梯的矩陣：（1）若有零行，則該行下方所有行元素均為零；(2)如果某一行元素不全為零，并且第一個不為零的元素位于第i列，則它下方的所有行（若存在）的前i個元素全為零。定理2.4 對任何矩陣Amn，總可以經(jīng)過有限次初等行變換，把它化為行階梯形矩陣，行最簡矩陣。 定理2.5 任何一個 矩陣A都與一個形式為的矩陣等價。（rmin(m,n),D稱為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形。由 ，就有上面第一式表示 經(jīng)有限個初等行變換化為單位矩陣 ，第二式表示經(jīng)這些初

3、等行變換變?yōu)?.用分塊矩陣形式把上兩式寫成 或由定理2.6知道若A可逆，則A-1可表為有限個初等矩陣的乘積，即即初等行變換這表明如果對矩陣(A,B) 施行初等行變換，當(dāng)把 A化為 In 時， B就化為A-1B例10 求矩陣X，使 AX=B，其中 解 如果A可逆，那么 X=A-1B ， 所以 例2.18求解矩陣方程 AX=A+X,其中解 把所給方程變形為(A-I)X=A定義2.19 矩陣A 中不為零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記作r(A).規(guī)定：零矩陣的秩是0，從而A=0當(dāng)且僅當(dāng)r(A)=0.(3）矩陣A的秩為r當(dāng)且僅當(dāng)A中存在非零的r階子式，而所有的r+1階子式（若存在）均為零。 由定義不

4、難得到：（1）若 A是 mn 矩陣，則A的秩不會大于矩陣的行與列數(shù)。即（2） 例2.18解A中有一個3階子式而所有4階子式均為零，所以r(A)=3.問題：經(jīng)過變換矩陣的秩變嗎？矩陣秩的計算因為對任何矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換變成行階梯形矩陣，其非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。定理2 .8初等變換不改變矩陣的秩，即若A經(jīng)過初等變換化成B,則r(A)=r(B).推論2.5 設(shè)A是mn矩陣，P,Q分別是m階與n階可能矩陣，則 r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A)推論2.6 設(shè)A是mn矩陣，r(A)=r,則A的標(biāo)準(zhǔn)形為求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例2.20 問t為何值時,