同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、一、平面圖形面積 二、體積 6.2 定積分在幾何學(xué)上應(yīng)用三、平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng) 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第1頁(yè)第1頁(yè) f上(x) f下(x)dx,它也就是面積元素.一、平面圖形面積 設(shè)平面圖形由上下兩條曲線(xiàn)yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線(xiàn)xa與xb所圍成. 因此平面圖形面積為 在點(diǎn)x處面積增量近似值為 1.直角坐標(biāo)情形 下頁(yè)第2頁(yè)第2頁(yè)討論： 由左右兩條曲線(xiàn)xj左(y)與xj右(y)及上下兩條直線(xiàn)yd與yc所圍成平面圖形面積如何表示為定積分？提醒： 面積為 面積元素為j右(y)j左(y)dy,下頁(yè)第3頁(yè)第3頁(yè) 例1 計(jì)算拋物線(xiàn)y2x與yx2所圍成圖形面積. 解 (2)擬定在x軸上投影區(qū)間: (

2、4)計(jì)算積分 0, 1; (1)畫(huà)圖; 下頁(yè)第4頁(yè)第4頁(yè) 例2 計(jì)算拋物線(xiàn)y22x與直線(xiàn)yx4所圍成圖形面積. (2)擬定在y軸上投影區(qū)間: (4)計(jì)算積分 (3)擬定左右曲線(xiàn):-2, 4. 解 (1)畫(huà)圖; 下頁(yè)第5頁(yè)第5頁(yè) 例3 由于橢圓參數(shù)方程為 xacost, ybsint, 因此 解 橢圓面積是橢圓在第一象限部分四倍.于是 ydx, 橢圓在第一象限部分面積元素為 下頁(yè)第6頁(yè)第6頁(yè)曲邊扇形曲邊扇形面積元素 曲邊扇形是由曲線(xiàn)()及射線(xiàn), 所圍成圖形.曲邊扇形面積 2.極坐標(biāo)情形 下頁(yè)第7頁(yè)第7頁(yè) 例4 計(jì)算阿基米德螺線(xiàn)a (a0)上相應(yīng)于從0變到2 一段弧與極軸所圍成圖形面積. 解 例5

3、 計(jì)算心形線(xiàn)a(1cos)(a0)所圍成圖形面積. 解 首頁(yè)曲邊扇形面積： 第8頁(yè)第8頁(yè)二、體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成立體. 這直線(xiàn)叫做旋轉(zhuǎn)軸. 下頁(yè)1.旋轉(zhuǎn)體體積 第9頁(yè)第9頁(yè) 旋轉(zhuǎn)體都能夠看作是由連續(xù)曲線(xiàn)yf(x)、直線(xiàn)xa、ab及x軸所圍成曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體. 下頁(yè)二、體積1.旋轉(zhuǎn)體體積 旋轉(zhuǎn)體體積元素 考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點(diǎn)x處垂直于x軸厚度為dx切片, 用圓柱體體積f(x)2dx作為切片體積近似值, 旋轉(zhuǎn)體體積 于是體積元素為 dVf(x)2dx. 第10頁(yè)第10頁(yè) 例6 連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h, r)直線(xiàn)、直線(xiàn)xh及x軸圍成一個(gè)直角三角形.

4、將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h圓錐體. 計(jì)算這圓錐體體積. 旋轉(zhuǎn)體體積： 解 下頁(yè)第11頁(yè)第11頁(yè) 解 軸圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成立體. 旋轉(zhuǎn)橢球體體積為 下頁(yè)旋轉(zhuǎn)體體積： 例7 計(jì)算由橢圓 所成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)體積. 第12頁(yè)第12頁(yè) 例8 計(jì)算由擺線(xiàn)xa(tsint), ya(1cost)一拱, 直線(xiàn)y0所圍成圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體體積. 解 所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體體積為 下頁(yè)第13頁(yè)第13頁(yè) 例8 計(jì)算由擺線(xiàn)xa(tsint), ya(1cost)一拱, 直線(xiàn)y0所圍成圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體體積. 解 下頁(yè) 設(shè)曲線(xiàn)左半邊為x=x

5、1(y), 右半邊為x=x2(y). 所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體體積為6 3a3 . 第14頁(yè)第14頁(yè) 設(shè)置體在x軸上投影區(qū)間為a, b, 立體內(nèi)垂直于x軸截面面積為A(x). 立體體積元素為 立體體積為下頁(yè)2.平行截面面積為已知立體體積 A(x)dx. A(x)第15頁(yè)第15頁(yè)截面面積為A(x)立體體積： 例9 一平面通過(guò)半徑為R圓柱體底圓中心, 并與底面交成角. 計(jì)算這平面截圓柱所得立體體積. 建立坐標(biāo)系如圖, 則底圓方程為x2y2R2. 所求立體體積為 解 下頁(yè)立體中過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸截面為直角三角形, 其面積為 第16頁(yè)第16頁(yè)三、平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng) 設(shè)曲線(xiàn)弧由直角坐標(biāo)方程yf(x) (a

6、xb)給出, 其中f(x)在區(qū)間a, b上含有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù). 現(xiàn)在來(lái)計(jì)算這曲線(xiàn)弧長(zhǎng)度. 在曲率一節(jié)中, 我們已經(jīng)知道弧微分表示式為 這也就是弧長(zhǎng)元素. 因此, 曲線(xiàn)弧長(zhǎng)度為下頁(yè)直角坐標(biāo)情形 第17頁(yè)第17頁(yè) 例11 長(zhǎng)度. 因此, 所求弧長(zhǎng)為 解 曲線(xiàn)yf(x)(axb)弧長(zhǎng)： 下頁(yè)第18頁(yè)第18頁(yè) 設(shè)曲線(xiàn)弧由參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出, 其中(t)、(t)在, 上含有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 于是曲線(xiàn)弧長(zhǎng)為 下頁(yè)曲線(xiàn)yf(x)(axb)弧長(zhǎng)： 參數(shù)方程情形 第19頁(yè)第19頁(yè)曲線(xiàn)x(t)、y(t)(t)弧長(zhǎng)： 例13 求擺線(xiàn)xa(qsinq), ya(1cosq)一拱(02 )長(zhǎng)度. 解 于是所求

7、弧長(zhǎng)為曲線(xiàn)yf(x)(axb)弧長(zhǎng)： 弧長(zhǎng)元素為下頁(yè)第20頁(yè)第20頁(yè) 設(shè)曲線(xiàn)弧由極坐標(biāo)方程()()給出, 其中()在, 上含有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 由于 x(q)cosq, y(q)sinq (), 因此弧長(zhǎng)元素為 曲線(xiàn)弧長(zhǎng)為 下頁(yè)極坐標(biāo)情形 曲線(xiàn)yf(x)(axb)弧長(zhǎng)： 曲線(xiàn)x(t)、y(t)(t)弧長(zhǎng)：第21頁(yè)第21頁(yè)曲線(xiàn)()()弧長(zhǎng)： 例14 求阿基米德螺線(xiàn)a (a0)相應(yīng)于從0到2 一段弧長(zhǎng). 解 于是所求弧長(zhǎng)為 結(jié)束 弧長(zhǎng)元素為曲線(xiàn)yf(x)(axb)弧長(zhǎng)： 曲線(xiàn)x(t)、y(t)(t)弧長(zhǎng)：第22頁(yè)第22頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形面積邊界方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方