數(shù)學(xué)物理方法市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、數(shù)學(xué)物理辦法第九章 二階常微分方程級(jí)數(shù)解法1第1頁(yè)第1頁(yè)第九章 二階常微分方程級(jí)數(shù)解法概述常點(diǎn)鄰域上級(jí)數(shù)解法正則奇點(diǎn)鄰域上級(jí)數(shù)解法本章小結(jié)2第2頁(yè)第2頁(yè)一、概述分離變量法直角坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)本征函數(shù)是三角函數(shù)實(shí)際正交曲面坐標(biāo)系 （球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系） 拉普拉斯方程分離變量球坐標(biāo)系勒讓德方程 m = 0l 階勒讓德方程3第3頁(yè)第3頁(yè)拉普拉斯方程球坐標(biāo)（r， , ）（1）代入（1） ( 參考 梁 p226-229)4第4頁(yè)第4頁(yè)柱坐標(biāo)（，z）貝塞爾方程柱坐標(biāo)系拉普拉斯方程5第5頁(yè)第5頁(yè) 求解線(xiàn)性二階常微分方程 （帶初始條件） 級(jí)數(shù)解法收斂問(wèn)題 方程常點(diǎn)和奇點(diǎn)（1）方程（1）系數(shù) p ( x )

2、, q ( x ) 均在某點(diǎn) x0 鄰域內(nèi)解析； 稱(chēng) x0 為方程常點(diǎn)。x0是系數(shù) p(x) , q(x) 孤立奇點(diǎn)；稱(chēng) x0 為方程奇點(diǎn)。正則奇點(diǎn)x0是 p(x) 不超出一階極點(diǎn) , 又是 q(x) 不超出二階孤立奇點(diǎn); 稱(chēng) x0 為方程正則奇點(diǎn)。不然為非正則奇點(diǎn)。常點(diǎn)奇點(diǎn)x: 復(fù)變數(shù)； p(x), q(x) y(x):復(fù)變函數(shù) 6第6頁(yè)第6頁(yè)二、常點(diǎn)鄰域上級(jí)數(shù)解法 定理假如方程系數(shù) p (x) , q (x) 在點(diǎn) x0鄰域 內(nèi)解析，則方程在這圓內(nèi)存在唯一解析解 y (x)，滿(mǎn)足初始條件表示成泰勒級(jí)數(shù)形式以l 階勒讓德方程為例 系數(shù)擬定（C0 , C1為任意復(fù)常數(shù)）a0 , a1 , ak

3、 , 待定系數(shù)7第7頁(yè)第7頁(yè) 勒讓德方程級(jí)數(shù)解即在 x0 = 0 鄰域上求解l 階勒讓德方程方程系數(shù)在 x0 = 0: p( x0 ) = 0, q( x0 ) = l (l+1) , 在 x0 = 0解析 x0 = 0 是方程常點(diǎn)定理8第8頁(yè)第8頁(yè)于是代入l 階勒讓德方程合并同冪次項(xiàng)列表9第9頁(yè)第9頁(yè)10第10頁(yè)第10頁(yè)211第11頁(yè)第11頁(yè)得到l 階勒讓德方程解：12第12頁(yè)第12頁(yè)退化性：實(shí)際應(yīng)用勒讓德方程，附有邊界條件：要求解在 x = 1 收斂x = cos , 0 l 參數(shù)：l 為非負(fù)整數(shù)，則當(dāng)k = l 時(shí), 級(jí)數(shù)解退化為 l 次多項(xiàng)式；l 階勒讓德多項(xiàng)式 P l ( x )性質(zhì)

4、：奇偶性：y0為偶函數(shù)，y1為奇函數(shù)；收斂性：收斂半徑為 113第13頁(yè)第13頁(yè)勒讓德多項(xiàng)式 反用系數(shù)遞推公式改寫(xiě)為( 參考 梁 p274-276, 徐 p40 )能夠把其它系數(shù)一一推算出來(lái)：14第14頁(yè)第14頁(yè)15第15頁(yè)第15頁(yè)將n記為k, 求得l 階勒讓德多項(xiàng)式 詳細(xì)表示式為16第16頁(yè)第16頁(yè)三、正則奇點(diǎn)鄰域上級(jí)數(shù)解法定理正則奇點(diǎn)，則在 x0鄰域 內(nèi)，方程兩個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立解為：設(shè) x0 是方程或 s1-s2 整數(shù)s1、s2 ：鑒定方程 根（ s1 s2 ）A, ak , bk, 常系數(shù)。 s1-s2整數(shù)17第17頁(yè)第17頁(yè) 貝塞爾方程級(jí)數(shù)解即在 x0 = 0 鄰域上求解 階貝塞爾方程點(diǎn) x

5、0 = 0：方程系數(shù)一階極點(diǎn) 二階極點(diǎn) x0 = 0 是方程正則奇點(diǎn)鑒定方程兩個(gè)根為： s1 ，s2 s1 - s2 2 18第18頁(yè)第18頁(yè)鑒定方程兩根之差取決于方程中參數(shù) ，它將決定兩個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立解形式。先不分 s1，s2 代入方程，方程解合并同冪次項(xiàng)列表19第19頁(yè)第19頁(yè)（1） 階 整數(shù)或半整數(shù)（貝塞爾方程級(jí)數(shù)解）20第20頁(yè)第20頁(yè)通常取有時(shí)取21第21頁(yè)第21頁(yè)（2） 階 整數(shù)時(shí)解在 x0 = 0 鄰域上求解整數(shù)n 階貝塞爾方程s1 - s2 2 n 整數(shù)22第22頁(yè)第22頁(yè)（3） 階 半整數(shù)時(shí)解特例 1/2 s1 - s2 2 整數(shù)在 x0 = 0 鄰域上求解整數(shù)1/2 階貝塞爾方程23第23頁(yè)第23頁(yè) 貝塞爾函數(shù)遞推公式(教材 梁 p327-329,342 ，參考書(shū) 徐 p109112)（1）（2）（3）（4）(1) 、(2) 求導(dǎo)，得：24第24頁(yè)第24頁(yè)（3）、（4）相加、減，得：（5）（6）補(bǔ)充闡明：（7）降階公式25第25頁(yè)第25頁(yè)本 章 小 結(jié) 方程常點(diǎn)和奇點(diǎn)正則奇點(diǎn)常點(diǎn)鄰域上級(jí)數(shù)解定理以l 階勒讓德方程為例系數(shù)擬定合并同冪次項(xiàng)列表