離散數(shù)學 代數(shù)系統(tǒng)的一般性質-1課件

1、第5章 代數(shù)系統(tǒng)的一般性質 代數(shù)結構【引例】（1）在Z集合上，xZ, 則f(x)=-x是將x映為它的相反數(shù)。-x是由x唯一確定的，它是對一個數(shù)施行求相反數(shù)運算的結果。這個運算可表示為函數(shù)： f ：ZZ 5.1二元運算及其性質（2）在R+集合上，xR+,則f(x)= 1/x是將x映為它的倒數(shù)。1/x是由x唯一確定的，它是對R+中的一個數(shù)施行倒數(shù)運算的結果。這個元算可以表示為函數(shù) f : R+ R+。 （3）設a,bR,則f(a,b)=a+b(a-b，ab)是將兩個數(shù)a，b映為R中的唯一的一個數(shù)，它是對R中的兩個數(shù)施行加（減，乘）法運算的結果。這個運算可以表示為函數(shù)f : R2 R。 上述例子都是

2、我們熟悉的數(shù)與數(shù)的運算,它們有一個共同特征,就是其運算結果都在原來的集合中且運算結果是唯一的,它們都是函數(shù)。 把這種 數(shù)集 中的代數(shù)運算,抽象概括推廣到一般集合上，就得到代數(shù)運算的概念。集合中的代數(shù)運算實質上是集合中的一類函數(shù)。5.1二元運算及其性質二元運算的定義及其實例定義 設 S 為集合,函數(shù) f：SSS 稱為 S 上的二元運算, 簡稱為二元運算. 也稱 S 對 f 封閉. 特點：變量和函數(shù)值的取值限定在同一個集合上。例1 (1) N 上的二元運算：加法、乘法. (2) Z 上的二元運算：加法、減法、乘法. (3) 非零實數(shù)集 R* 上的二元運算: 乘法、除法. (4) 設 S = a1,

3、 a2, , an, ai aj = ai ， 為 S 上二元運算. 二元運算的實例（續(xù)） (5) 設 Mn(R) 表示所有 n 階 (n2) 實矩陣的集 合，即 矩陣加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元運算. (6) 冪集 P(S) 上的二元運算：, . (7) SS 為 S 上的所有函數(shù)的集合：合成運算. 運算符 為了簡化n元運算的表示， 引入運算符來代替函數(shù)。如符號“。”、“*”、“”、“”、“”等。前綴表示法 *(a)=b *(a1,a2)=b *(a1,a2,a3)=b非前綴表示，將運算符寫于n個元素之間，如ZZZ的加法： f(2,3)=+(2,3)=2+3=5 通常將f(2,3)寫

4、成f(2,3)或2+3.5.1二元運算及其性質運算表表示運算 a1 a2 an ai a1 a2 . . . ana1a1 a1a2 a1ana2a1 a2a2 a2an . . . . . . . . .ana1 ana2 anan a1 a2 . . . ana1a2 . . .an運算表的實例（續(xù)）例5 Z5 = 0, 1, 2, 3, 4 , , 分別為模 5 加法與乘法 的運算表 的運算表 0 1 2 3 4 0 1 2 3 401234 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1

5、 2 3 4 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1 例：設N3=0, 1, 2, 則N3 上的模3 加法+3 可以使用運算表來表示, 如表4.1 所示。注意到，運算表是對稱的，這表明運算+3 滿足交換律。+3012001211202201 定義5.2 設S是集合，n為正整數(shù)，函數(shù)f : SS.SS稱為集合S上的n元運算，整數(shù)n稱為運算的階。從n元代數(shù)運算的定義可知它有三點涵義:A中任意n個元素都有運算結果;運算是封閉的,即運算結果仍在A中;結果是唯一的。5.1二元運算及其性質 如果參與運算的是同一個元素，則可以用冪的形式表示。 x*x*. *x =xn 冪運算的性質(m,

6、n都為正整數(shù)，是正整數(shù)上的普通加法，乘是普通乘法)： xm*xn=xm+n (xm)n=xmn（3）若xA，x*x=x,則稱“*”運算滿足冪等律 。同時稱S中的全體元素都是冪等元。 冪集上的滿足冪等律；不滿足冪等律，但運算有一個冪等元。 5.1二元運算及其性質（4）若x, y, zS： x*(y z)=(x*y) (x* z),則稱“*”運算對“”運算滿足左分配律； (yz)*x=(y*x)(z*x)，則稱“*”運算對“ ”運算滿足右分配律。 若二者均成立，則稱“*”運算對“ ”運算滿足分配律。 (5）設“*”，“”均可交換，若x，yA,有 x*(xy)=x x(x*y)=x 則稱運算“*”和

7、“”運算滿足吸收律。 冪集上的和運算滿足吸收律。 5.1二元運算及其性質 集合 運算分配律吸收律 Z, Q, R普通加法 + 與乘法 對 + 可分配無+ 對 不分配 Mn(R)矩陣加法 + 與乘法 對 + 可分配無+ 對 不分配 P(B)并 與交 對 可分配有 對 可分配交 與對稱差 對 可分配無 對 不分配5.1二元運算及其性質例3 設A=a,b, A上的運算“*”、“。”分別如表所示。*a baba bb a 從“*”運算表可知，“*”是可交換的。因為(a*a)*b=a*b=b a*(a*b)=a*b=b (a*b)*b=b*b=a a*(b*b)=a*a=a所以“*”是可結合的。5.1二

8、元運算及其性質a baba aa b 從“”運算表可知， “”是可交換的。因為(aa)b=ab=a a(ab)=aa=a (ab)b=ab=a a(bb)=ab=a所以“”是可結合的。5.1二元運算及其性質（1）b(a*b)=bb=b (ba)*(bb)=a*b=b（2）a(a*b)=ab=a , (aa)*(ab)=a*a=a b(a*a)=ba=a , (ba)*(ba)=a*a=a b(b*b)=ba=a , (bb)*(bb)=b*b=a a(a*a)=aa=a , (aa)*(aa)=a*a=a a(b*b)=aa=a , (ab)*(ab)=a*a=a 所以“”對“*”是可分配的。

9、（由于“”運算滿足交換律成立，因此右分配也成立。） （3）b*(ab)=b*a=b (b*a)(b*b)=ba=a故“*”對“”是不可分配的。 又由b*(bb)=b*a=a可知“”和“*”不滿足吸收律。由運算表可知，“”滿足冪等律，而“*”不滿足冪等律。 5.1二元運算及其性質消去律定義 設為V上二元運算， x, y, zV， 若 x y = x z,且 x不是零元，則 y = z 若 y x = z x,且 x 不是零元，則 y = z 那么稱 運算滿足 消去律. 實例: Z, Q, R 關于普通加法和乘法滿足消去律. Mn(R) 關于矩陣加法滿足消去律;冪集P(S)上滿足消去律Zn關于模

10、n 加法滿足消去律，當 n 為素數(shù)時關于模 n乘法滿足消去律. 當 n 為合數(shù)時關于模 n 乘法不滿足消去律. 5.1二元運算及其性質二元運算的特異元素單位元定義 設為S上的二元運算,如果存在el（或er）S，使得對任意xS 都有 el x =x (或xer =x)，則稱el(或er )是S中關于運算的左(或右)幺元（單位元）. 若eS關于運算既是左單位元又是右單位元，則稱 e為S上關于運算的幺元.例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1 Mn(R)上加法的么元是0矩陣，乘法的幺元是單位陣 P(S)上的么元是 ， 的幺元是S 5.1二元運算及其性質零元 設為S上的二元運算,如果存在l（或r）S，

11、使得對任意 xS 都有 l x=l(或xr =r )，則稱l (或r)是S 中關于運算的左(或右)零元. 若S關于運算既是左零元又是右零元，則稱為 S 上關于運算 的 零元.類似地可以證明關于零元的惟一性定理（定理5.2）.例：N上乘法的零元是0，加法沒有零元 Mn(R)上乘法的零元是0矩陣，加法沒有零元 P(S)上的零元是S ， 的零元是5.1二元運算及其性質【例4.3.5】 在實數(shù)集 R 中，對加法“+”運算，沒有零元；在實數(shù)集 R 中，對乘法運算，0是零元；對于全集E的子集的并運算，E是零元；對于全集E的子集的交運算，是零元;5.1二元運算及其性質實例分析集合運算幺元零元逆元Z,Q,R普

12、通加法+0無X 的逆元 x普通乘法10X 的逆元 x1(x-1屬于給定集合)Mn(R)矩陣加法+n階全0矩陣無X逆元X矩陣乘法 n階單位 矩陣n階全0矩陣X的逆元 X1（X是可逆矩陣）P(B)并B 的逆元為 交BB 的逆元為 B對稱差無X 的逆元為 X5.1二元運算及其性質定理 設為S上可結合的二元運算, e為該運算的幺元,對于xS如果存在左逆元yl 和右逆元yr ,則有yl=yr=y,且y是x的惟一的逆元.證 由ylx=e 和xyr =e得 yl =yle=yl (xyr) =(ylx)yr=eyr =yr 令yl =yr=y,則y是x的逆元. 假若yS 也是x的逆元, 則 y=y e=y

13、(xy)=(yx)y=ey=y所以y是x惟一的逆元.說明：對于可結合的二元運算，可逆元素 x 只有惟一的逆元，記作 x1. 5.1二元運算及其性質小結： 對于給定的集合和二元運算，幺元、零元、逆元不同。 如果幺元和零元存在，一定是唯一的。 逆元是與集合中的某個元素相關的，有的元素有逆元，有的元素沒有逆元，不同的元素對應不同的逆元。注意：當 |S| = 1 時，這個元素既是單位元 也是零元. 5.1二元運算及其性質例題分析解 (1) 運算可交換，可結合. 任取x, yQ, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x, 任取x, y, zQ, (x y) z= (x+y+2xy)

14、+ z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例6 設 運算為 Q 上的二元運算， x, yQ, xy = x+y+2xy, (1) 運算是否滿足交換和結合律? 說明理由. (2) 求 運算的幺元、零元和所有可逆元.5.1二元運算及其性質給定 x，設 x 的逆元為 y, 則有 x y = 0 成立，即 x+y+2xy = 0 (x = 1/2) 因此當 x 1/2時， 是 x 的逆元. (2) 設運算的幺元和零元分別為 e 和 ，則

15、對于任意 x 有 xe = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 運算可交換，所以 0 是幺元.對于任意 x 有 x = 成立，即 x+2 x = x + 2 x = 0 = 1/2 5.1二元運算及其性質例題分析（續(xù)）例7 (1) 說明那些運算是交換的、可結合的、冪等的. (2) 求出運算的幺元、零元、所有可逆元素的逆元. a b c a b c a b c a b c c a b a b c b c a a b c a a a b b b c c c a b c a b c b c c c c c解 (1) 滿足交換、結合律； 滿足結合、冪等律； 滿足交換、結合律. (2)的幺元為b,沒零元，a1=c,b1=b, c1=a 的幺元和零元都不存在，沒有可逆元素. 的幺元為a，零元為c,a1=a. b, c不可逆. 5.1二元運算及其性質例8 設 A = a, b, c , 構造 A 上的二元運算* 使得 a*b =c, c*b = b, 且*運算是冪等的、可交換的，給出關于*運算的一個運算表，說明它是否可結合，為什么？ * a b c a b c a c c b b cb根據(jù)冪等律和已知條件a*b =c, c*b = b 得到運算表根據(jù)交換律得到新的運算表方框 可以填入a, b, c中任一選定的符號,完成運算表不結合，因為 (a*b)*b = c*b = b