6位移法-重慶大學-文國治版結(jié)構(gòu)力學課件

1、第6章位移法基本要求掌握位移法的基本原理和方法；熟練掌握用典型方程法計算超靜定剛架在荷載作用下的內(nèi)力；會用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動作用下的內(nèi)力；掌握用直接平衡法計算超靜定剛架的內(nèi)力。 教學內(nèi)容的重點位移法的基本未知量；桿件的轉(zhuǎn)角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力。教學內(nèi)容的難點對位移法方程的物理意義以及方程中系數(shù)和自由項的物理意義的正確理解和確定。6.1 概述 對于線彈性結(jié)構(gòu)，體系中桿件的內(nèi)力分布與其變形之間存在著一一對應的關(guān)系。在結(jié)構(gòu)分析時，可以根據(jù)位移變形內(nèi)力之間對應的函數(shù)關(guān)系，利用某些結(jié)點位移表達出桿件變形，據(jù)此以尋求

2、內(nèi)力分布。 位移法計算中重要的一環(huán)內(nèi)容在于桿件變形分布的描述。線彈性體系桿件的變形可以由桿端位移和其上作用的荷載分布惟一確定。由于荷載分布對內(nèi)力和變形的影響比較容易確定，因此，關(guān)注的焦點在于桿件的桿端位移值對變形分布的影響。體系中各桿件的桿端位移可以通過結(jié)點和支座的位移表達，因而，當支座位移和結(jié)點位移確定后，體系中所有的桿件都將具有一個明確的桿端位移值。 對整個結(jié)構(gòu)來說，求解的關(guān)鍵就是如何確定基本未知量A的值。 從剛架中取出桿件AB進行分析在位移法分析中，需要解決的三個問題： 選取結(jié)構(gòu)上哪些結(jié)點位移作為基本未知量。確定桿件的桿端內(nèi)力與桿端位移及桿上荷載之間的函數(shù)關(guān)系（單元分析）。建立求解這些基

3、本未知量的位移法方程（整體分析）。6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程應用位移法需要解決的一個關(guān)鍵問題是：確定桿件的桿端內(nèi)力與桿端位移及桿上荷載之間的函數(shù)關(guān)系，即桿件的轉(zhuǎn)角位移方程，也就是位移法計算中單元分析的過程。6.2.1 桿端內(nèi)力及桿端位移的正負號規(guī)定1）桿端內(nèi)力的正負號規(guī)定桿端彎矩對桿端而言，以順時針方向為正，反之為負。對結(jié)點或支座而言，則以逆時針方向為正，反之為負。桿端剪力和桿端軸力的正負號規(guī)定，仍與前面規(guī)定相同。2）桿端位移的正負號規(guī)定角位移以順時針為正，反之為負。 線位移以桿的一端相對于另一端產(chǎn)生順時針方向轉(zhuǎn)動的線位移為正，反之為負。例如，圖中，AB為正。 6.2.2 一般等截面直桿桿

4、單元的轉(zhuǎn)角位移方程 位移法中，內(nèi)力分布與變形對應，而變形則會受到桿端位移的影響，為了描述上的方便，在計算中一般利用一個兩端固定的桿單元來描述體系中的一般桿件，桿端位移即可以根據(jù)該桿單元的支座位移來表達 由荷載或溫度變化引起的桿端內(nèi)力稱為載常數(shù)。其中的桿端彎矩也常稱為固端彎矩，用 和 表示；桿端剪力也常稱為固端剪力，用 和 表示。常見荷載和溫度作用下的載常數(shù)列入表6.1中。 由桿端單位位移引起的桿端內(nèi)力稱為形常數(shù)，列入表6.1中。表中引入記號i=EI/l，稱為桿件的線剛度。 利用表6.1中的形常數(shù)與載常數(shù)，可得6.2.3 特殊等截面直桿桿單元的轉(zhuǎn)角位移方程 若在結(jié)構(gòu)中存在非剛性結(jié)點和非固定支座時

5、，即體系出現(xiàn)了鉸結(jié)點和定向結(jié)點（對應于支座位置，則為可動鉸支座、固定鉸支座或定向支座），在桿端力的幾個分量中則會出現(xiàn)某桿端力分量為已知的現(xiàn)象。 即在這樣的單元中，式（6.1）的三個函數(shù)關(guān)系將不再完全獨立，由于其中一個方程左端項（桿端力）為已知，那么在桿端位移中，將只能存在兩個獨立的未知桿端位移分量，而剩余的另一個桿端位移一定可以由這兩個獨立桿端位移來線性描述。 由于位移法計算過程的計算量在很大程度上取決于基本未知量的數(shù)目，上述情形的存在，使得在計算中可以根據(jù)單元桿端的約束模式，在計算前對基本未知量進行篩選，去除非獨立的桿端位移分量，以減少計算線性方程組的工作量。由此即在一般桿元的基礎(chǔ)上衍生出了

6、兩種特殊桿單元模型。1) 一端固定另一端鉸支桿單元2) 一端固定另一端定向支承桿單元在3種桿單元模型中，第一種即兩端固定支承梁的模型在不考慮軸向變形時具有三個未知桿端位移，它完全可以取代后兩種衍生模型。若全部用第一種單元模型進行計算，在位移法分析時所有單元的桿端位移描述和轉(zhuǎn)角位移方程將具有一致的形式，對應的計算方法可以較為容易地移植到計算機化的程序分析中；但用于手算時，卻會導致因未知量數(shù)目較多，而計算量偏大的情況。一端固定一端鉸支、一端固定一端定向支承模型的引入，則可以簡化分析計算量，所以手算時一般都會使用這兩種衍生模型來進行計算。但應該注意形常數(shù)與載常數(shù)的選用必須與所選擇的桿件單元模型相對應

7、。桿端剪力，根據(jù)平衡條件導出為6.3 位移法的基本概念 6.3.1 位移法的基本未知量 如果結(jié)構(gòu)中每根桿件兩端的桿端角位移和桿端相對線位移都已求得，則全部桿件的內(nèi)力即可確定。在位移法中，基本未知量應是各結(jié)構(gòu)的角位移和線位移 1) 結(jié)點角位移的確定 未知獨立的結(jié)點角位移在通常情況下對應于體系中的剛結(jié)點，但須注意，當有階形桿截面改變處的轉(zhuǎn)角或抗轉(zhuǎn)動彈性支座的轉(zhuǎn)角時，應一并計入在內(nèi)。 結(jié)構(gòu)固定支座處，因其轉(zhuǎn)角等于零或為已知的支座移動值，不應計入； 鉸結(jié)點或鉸支座處，因其轉(zhuǎn)角不是獨立的，引入特殊桿端約束模式下桿單元模型（一端固定、一端鉸支單元）后，其桿端轉(zhuǎn)角也不再作為位移法的基本未知量。2) 結(jié)點線位

8、移的確定 確定位移法中線位移未知量的方法：由觀察確定。即設(shè)定體系中每一個結(jié)點在平面坐標系的兩個主軸方向上最多可能具有兩個線位移，然后篩選出其中的未知、獨立分量。主要考慮以下的篩選原則： 因剛性支座的存在，線位移為零或為已知值（對應于支座移動）的不計入未知量； 因軸向變形忽略不計而多個結(jié)點線位移相同的，則只計其中一個； 定向支承桿端力已知，對應的線位移非獨立，不計入獨立的線位移內(nèi)。6.3.2 位移法的基本結(jié)構(gòu)和基本體系 為了在分析過程有效控制結(jié)構(gòu)中每一結(jié)點位移，通過在體系中增設(shè)附加約束來控制結(jié)點位移的發(fā)生。 增設(shè)了附加約束的結(jié)構(gòu)模型，即為位移法計算中的基本結(jié)構(gòu)。 附加約束：角位移處的附加剛臂和線

9、位移處的附加支桿。 附加剛臂，就是在每個可能發(fā)生獨立角位移的剛結(jié)點和組合結(jié)點上，人為地加上的一個能控制其角位移(但并不阻止其線位移)的附加約束 附加支桿，就是在每個可能發(fā)生獨立線位移的結(jié)點上沿線位移的方向，人為地加上的一個能控制其線位移大小的附加支座鏈桿。a)原結(jié)構(gòu)及其基本未知量b)基本結(jié)構(gòu) 通過控制基本結(jié)構(gòu)上的附加約束，令其發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)點位移，從而形成一個在荷載與結(jié)點位移共同作用下的，與原結(jié)構(gòu)變形完全相同的受力模型。該受力模型即為位移法計算中的基本體系，基本體系與原結(jié)構(gòu)完全靜力等效。6.3.3 位移法的基本方程與基本原理基本體系的變形與原結(jié)構(gòu)完全一致，其受力也完全相同。1) 只有一個

10、結(jié)點角位移的情況 圖示(a)結(jié)構(gòu)，具有一個獨立的未知結(jié)點角位移，不存在結(jié)點線位移。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)的概念，在角位移處增設(shè)剛臂，得基本結(jié)構(gòu) a)原結(jié)構(gòu)c)基本體系b)基本結(jié)構(gòu) 荷載作用下，原結(jié)構(gòu)變形圖如圖(a)所示，則其基本體系應如圖 (c)所示。當剛臂轉(zhuǎn)角與原結(jié)構(gòu)A點轉(zhuǎn)角相同時，圖(a)與圖(c)變形、內(nèi)力均完全相同。 根據(jù)疊加原理，基本體系的變形可以由荷載和角位移Z1分別作用在基本結(jié)構(gòu)這兩個獨立受力狀態(tài)下的變形結(jié)果的疊加 由于基本體系與原結(jié)構(gòu)完全靜力等效，基本體系中角位移位置處的附加剛臂不可能存在外力，必然有 形常數(shù)，將Z1角位移作用下的變形圖利用單位角位移作用下的變形圖來表示 從而得到 這就是

11、求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其實質(zhì)是表達了基本體系在結(jié)點位移處的平衡條件 MP圖 圖M圖結(jié)構(gòu)的最后彎矩可由疊加公式計算 圖示剛架的基本未知量為結(jié)點C、D的水平線位移Z1。在結(jié)點D加一附加支座鏈桿，就得到基本結(jié)構(gòu)。其相應的基本體系如圖所示，它的變形和受力情況與原結(jié)構(gòu)完全相同。 位移法方程 將k11和F1P的值代入位移法方程式，解得6. 4 位移法的典型方程 (a) 原結(jié)構(gòu) (b) 基本結(jié)構(gòu) (c) 基本體系基本體系上附加剛臂的反力矩F1及附加支桿的反力F2都應等于零 即F1=0和F2=0 設(shè)基本結(jié)構(gòu)由于Z1、Z2及荷載單獨作用，引起相應于Z1的附加剛臂的反力矩分別為F11、F12及F1P

12、，引起相應于Z2的附加支座鏈桿的反力分別為F21、F22及F2P。根據(jù)疊加原理，可得 又設(shè)單位位移Z1=1及Z2=1單獨作用時，在基本結(jié)構(gòu)附加剛臂上產(chǎn)生的反力矩分別為k11及k21，在附加支座鏈桿中產(chǎn)生的反力分別為k12及k22，則有 將式（b）代入式（a），得(a)(b)上式稱為位移法典型方程 其物理意義是：基本體系每個附加約束中的反力矩和反力都應等于零。因此，它實質(zhì)上反映了原結(jié)構(gòu)的靜力平衡條件。位移法典型方程 聯(lián)立解以上兩個方程求出Z1和Z2后，即可按疊加原理作出彎矩圖 對于具有n個獨立結(jié)點位移的結(jié)構(gòu)，相應地在基本結(jié)構(gòu)中需加入n個附加約束，根據(jù)每個附加約束的附加反力矩或附加反力都應為零的平

13、衡條件，同樣可建立n個方程如下： 上式即為典型方程的一般形式。式中，主斜線上的系數(shù)kii稱為主系數(shù)或主反力；其他系數(shù)kij稱為副系數(shù)或副反力；FiP稱為自由項。 系數(shù)和自由項的符號規(guī)定是：以與該附加約束所設(shè)位移方向一致者為正。主反力kii的方向總是與所設(shè)位移Zi的方向一致，故恒為正，且不會為零。副系數(shù)和自由項則可能為正、負或零。此外，根據(jù)反力互等定理可知，kij=kji。 選擇基本體系。加附加約束，鎖住相關(guān)結(jié)點，使之不發(fā)生轉(zhuǎn)動或移動，而得到一個由若干基本的單跨超靜定梁組成的組合體作為基本結(jié)構(gòu)（可不單獨畫出）；使基本結(jié)構(gòu)承受原來的荷載，并令附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移，即可得到所選擇的基本體系

14、。 建立位移法的典型方程。根據(jù)附加約束上反力矩或反力等于零的平衡條件建立典型方程。 求系數(shù)和自由項。在基本結(jié)構(gòu)上分別作出各附加約束發(fā)生單位位移時的單位彎矩圖圖和荷載作用下的荷載彎矩圖MP圖，由結(jié)點平衡和截面平衡即可求得。 解方程，求基本未知量（Zi）。 6.5.1 典型方程法的計算步驟6.5用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 確定基本未知量數(shù)目：n=ny+nl。作最后內(nèi)力圖。按照疊加得出最后彎矩圖；根據(jù)彎矩圖作出剪力圖；利用剪力圖根據(jù)結(jié)點平衡條件作出軸力圖。 校核。由于位移法在確定基本未知量時已滿足了變形協(xié)調(diào)條件，而位移法典型方程是靜力平衡條件，故通常只需按平衡條件進行校核。6.5.

15、2舉例【例6.1】試用典型方程法計算圖所示連續(xù)梁，并作彎矩圖，各桿EI為常數(shù)。【解】(1) 確定基本未知量數(shù)目該連續(xù)梁的基本未知量為結(jié)點B的轉(zhuǎn)角Z1，即n=1。(2) 確定基本體系?；倔w系如圖所示。由于超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力分布與桿件的相對剛度相關(guān)，因此，分析時可令i=1，根據(jù)桿件的相對剛度進行計算，如圖所示。但需要注意，在相對剛度設(shè)定后，計算得到的未知量將不再直接對應于結(jié)點的真實位移數(shù)值，而是一個與所設(shè)定的相對剛度對應的數(shù)值。(3) 建立典型方程(4) 求系數(shù)和自由項(5) 解方程，求基本未知量將以上各系數(shù)及自由項之值代入典型方程，解得(6) 作最后彎矩圖M圖（kN m）在本例的求解

16、中，BC桿采用了一端固定一端鉸支的單元，減少了位移法分析的計算量，在計算中也可以直接使用一般桿單元（即兩端固定端桿元）進行分析，只是計算量會增加，但不會改變計算結(jié)果?！纠?.2】試對上例所有桿元使用統(tǒng)一的一般桿單元模型進行位移法分析?！窘狻?1) 確定基本未知量數(shù)目在本例分析中基本未知量將確定為所有的未知結(jié)點位移，而非未知獨立結(jié)點位移，因此，該連續(xù)梁的基本未知量為體系中所有可能發(fā)生的結(jié)點位移，即結(jié)點B的轉(zhuǎn)角Z1和結(jié)點C的轉(zhuǎn)角Z2。因此，n=2(2) 確定基本體系基本體系如圖所示。(3) 建立典型方程根據(jù)結(jié)點B和結(jié)點C附加剛臂上反力偶均為零的平衡條件，有(4) 求系數(shù)和自由項(5) 解方程，求基

17、本未知量Z1和Z2將以上各系數(shù)及自由項之值代入典型方程，解得 (6) 作最后彎矩圖【例6.3】試用典型方程法計算圖示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。設(shè)EI=常數(shù)。 解： (1)確定基本未知量數(shù)目可以利用對稱性取結(jié)構(gòu)的1/4部分進行計算，其基本未知量只有結(jié)點A的轉(zhuǎn)角Z1。 (2)選擇基本體系 c)基本體系d)M1圖e)MP圖(kNm)(3)建立典型方程 (4)求系數(shù)和自由項 (5)解方程，求基本未知量 (6)作最后彎矩圖【例6.4】試用典型方程法計算圖示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖，EI為常數(shù)。【解】(1) 確定基本未知量數(shù)目 此剛架的基本未知量為結(jié)點B和C的角位移Z1和Z2，即n=2。 (2) 確定基本體系，如圖所示。

18、 (3) 建立典型方程 根據(jù)基本體系每個附加剛臂的總反力矩為零的條件，可列出位移法方程如下： (4) 求系數(shù)和自由項k11 = 4.848 = 16.8 k21 = 4k12 = 4 k22 =8+4 = 12 F1P=5060=10kNm F2P = 60 kNm (5) 解方程，求基本未知量將求得的各系數(shù)和自由項代入位移法方程，解得 Z1 = 1.94，Z2 =5.65(6) 作最后彎矩圖【例6.5】試用典型方程法計算圖所示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖，已知l=6m，除DE桿外，各桿EI為常數(shù)。【解】(1) 確定基本未知量數(shù)目本題在結(jié)點B上具有一個角位移Z1、結(jié)點D上具有一個角位移q、沿BD豎向有一個

19、線位移D，由于DE桿截面抗彎剛度無窮大，因此，桿DE的轉(zhuǎn)角q與D（B）結(jié)點的豎向線位移D之間存在一個直接的幾何變換關(guān)系 由于D和q之間不獨立，因此本題基本未知量的數(shù)目為2 (2) 確定基本體系 (a) 基本體系一(b) 基本體系二選擇兩個角位移作為基本未知量選擇一個角位移一個線位移作為基本未知量(3) 建立典型方程無論是基本體系一還是基本體系二，根據(jù)位移法的基本原理，必然有(4) 求系數(shù)和自由項基本體系一，基本體系二，(5) 解方程，求基本未知量將求得的各系數(shù)和自由項代入位移法方程，解得對基本體系一，有：對基本體系二，有：(6) 作最后彎矩圖【例6.6】試用典型方程法計算圖示等高排架。 解：

20、(1)確定基本未知量數(shù)目b)基本體系a)原結(jié)構(gòu)只有一個獨立的結(jié)點線位移未知量，即A、C、E的水平位移Z1。 (2)確定基本體系，如圖b所示 (3)建立典型方程(4)求系數(shù)和自由項(5)解方程，求基本未知量Z1(6)按疊加原理即可作出彎矩圖。 令 式中，ri為當排架柱頂發(fā)生單位側(cè)移時，各柱柱頂產(chǎn)生的的剪力，它反映了各柱抵抗水平位移的能力，稱為排架柱的側(cè)移剛度系數(shù)。 于是，各柱頂?shù)募袅樵倭罘Q為第i根柱的剪力分配系數(shù)，則各柱所分配得的柱頂剪力為 （i=1，2，3） 以上分析表明，當?shù)雀吲偶軆H在柱頂受水平集中力作用時，可首先求出各柱的剪力分配系數(shù)；然后由算出各柱頂剪力FQi；最后把每根柱視為懸臂梁繪

21、出其彎矩圖。這樣就可不必建立典型方程而直接得到解答。這一方法稱為剪力分配法. 計算最后內(nèi)力的疊加公式不完全相同。其最后一項應以Mc替代荷載作用時的MP，即 典型方程中的自由項不同。這里的自由項，不再是荷載引起的附加約束中的FiP，而是基本結(jié)構(gòu)由于支座移動產(chǎn)生的附加約束中的反力矩或反力Fic，它可先利用形常數(shù)作出基本結(jié)構(gòu)由于支座移動產(chǎn)生的彎矩圖Mc圖，然后由平衡條件求得。 用典型方程法計算超靜結(jié)構(gòu)在支座移動時的內(nèi)力，其基本原理和計算步驟與荷載作用時是相同的，只是需要注意 .6.6用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時的內(nèi)力【例6.7】試用典型方程法作如圖a所示結(jié)構(gòu)在支座移動時的彎矩圖。已知 ，

22、， 。 解： (1)確定基本未知量數(shù)目 (2)選擇基本體系 b)基本結(jié)構(gòu)a)原結(jié)構(gòu)(3)建立典型方程 (4)求系數(shù)和自由項 (5)解方程，求基本未知量(6)由作最后彎矩圖 M圖(kNm)必須注意，計算支座移動引起的桿端彎矩時，不能用各桿EI的相對值，而必須用實際值。 【例6.8】圖示剛架的支座A下沉了0.02m，支座E沿逆時針方向轉(zhuǎn)動0.01rad，試繪出剛架由此產(chǎn)生的彎矩圖。已知EI=5.0104kNm2。 【解】(1) 基本體系和基本未知量如圖所示，位移法方程為(3) 為了計算方程中的自由項，應作出Mc圖。由表6.1和6.2的形常數(shù)可計算得到基本結(jié)構(gòu)由于支座移動產(chǎn)生的各桿固端彎矩為可作出M

23、c圖 (4) 將系數(shù)和自由項的數(shù)值代入位移法方程，得解得 Z1=20.9，Z2=27.8繪出剛架的最后彎矩圖 6.7直接利用平衡條件建立位移法方程 在位移法典型方程法中，通過增設(shè)附加約束、借助基本結(jié)構(gòu)這一計算工具，利用基本體系表達出原結(jié)構(gòu)變形模式，從而建立的位移法方程，實質(zhì)上就是反映原結(jié)構(gòu)的平衡條件，即有結(jié)點角位移處，是結(jié)點的力矩平衡條件；有結(jié)點線位移處，是截面的投影平衡條件。 因此，根據(jù)位移法的基本原理，也可以不通過基本結(jié)構(gòu)，而借助于桿件的轉(zhuǎn)角位移方程，利用結(jié)點位移與桿端位移之間的協(xié)調(diào)關(guān)系，根據(jù)先“拆散”、后“組裝”結(jié)構(gòu)的思路，直接由原結(jié)構(gòu)的結(jié)點和截面平衡條件來建立位移法方程，這就是直接平衡法?！纠?.9】試用直接平衡法計算圖所示剛架，并作彎矩圖。已知EI=常量 【解】(1) 確定基本未知量，并繪出示意圖 (a) 基本未知量 (b) 結(jié)點位移處的平衡條件(2) “拆散”，利用結(jié)點位移表示出各對應桿件的桿端位移，進行桿件分析，即根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程，逐桿寫出桿端內(nèi)力：對于左柱BA（視為兩端固定梁）對于橫梁BC（視為B端固定，C端鉸支） 對于右柱CD（視為D端固定，C端鉸支） (3)“組裝”，進行整體分析，即根據(jù)結(jié)點平衡