2022屆上海市金陵中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條

2、件D既不充分也不必要條件2已知函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則（ ）A函數(shù)的周期為B函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱D函數(shù)在上單調(diào)3已知，則復(fù)數(shù)（ ）AB2CD4觀察下列各式：3272112152據(jù)此規(guī)律.所得的結(jié)果都是8的倍數(shù).由此推測(cè)可得（ ）A其中包含等式：1032-1=10608BC其中包含等式：532-1=2808D5將甲，乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，清華大學(xué)，浙江大學(xué)等三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法數(shù)為（ ）A150種B180種C240種D540種6已知下列說(shuō)法：對(duì)于線性回歸方程，變量增加一個(gè)

3、單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位；甲、乙兩個(gè)模型的分別為0.98和0.80，則模型甲的擬合效果更好；對(duì)分類變量X與Y，隨機(jī)變量的觀測(cè)值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大；兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1其中說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）A1B2C3D47平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，由類比思維，我們可以得到（）A空間中平行于同一直線的兩直線平行B空間中平行于同一平面的兩直線平行C空間中平行于同一直線的兩平面平行D空間中平行于同一平面的兩平面平行8函數(shù)的最大值為（ ）ABCD9設(shè)aR，則“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的A充分不必要B必要

4、不充分C充要條件D既不充分也不必要10已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，則的取值范圍為ABCD11已知是虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，若，則的虛部為（ ）ABCD12若從1，2，3，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有A60種B63種C65種D66種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則_14在正方體中，為的中點(diǎn)，為底面的中心，為棱上任意一點(diǎn)，則直線與直線所成的角是_.15設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則取得最小值的值為_(kāi)16已知是以為直徑的半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，為圓心，為中點(diǎn)，若，則_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分

5、）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求，；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.18（12分）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）證明：；（2）當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值.19（12分）莫言是中國(guó)首位獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)的文學(xué)家，國(guó)人歡欣鼓舞。某高校文學(xué)社從男女生中各抽取50名同學(xué)調(diào)查對(duì)莫言作品的了程度，結(jié)果如下：閱讀過(guò)莫言的作品數(shù)（篇）0252650517576100101130男生36111812女生48131510（1）試估計(jì)該學(xué)校學(xué)生閱讀莫言作品超過(guò)50篇的概率.（2）對(duì)莫言作品閱讀超過(guò)75篇的則稱為“對(duì)莫言作品非常了解”，否則為“一般了解”，根據(jù)題意完成下表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“對(duì)

6、莫言作品的非常了解”與性別有關(guān)？非常了解一般了解合計(jì)男生女生合計(jì)注：K2P(K2k0)0.250.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.02420（12分）已知直線(t為參數(shù)），圓(為參數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)坐標(biāo).(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作的垂線，垂足為為的中點(diǎn).當(dāng)變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線？21（12分）設(shè)實(shí)部為正數(shù)的復(fù)數(shù)，滿足,且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上.(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.22（10分）已知函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的值.參考答案一、選擇題

7、：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先令，求出，再由時(shí)，根據(jù)，求出，結(jié)合充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；當(dāng)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，所以，是充分必要條件。故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判定，熟記概念，以及數(shù)列的遞推公式即可求解，屬于常考題型.2、D【解析】根據(jù)對(duì)稱軸之間的距離，求得周期，再根據(jù)周期公式求得；再平移后，根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱可求得的值，進(jìn)而求得解析式。根據(jù)解析式判斷各選項(xiàng)是否正確。【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為所以周期 ，則 所以函數(shù)函數(shù)的圖象向左

8、平移單位，得到的解析式為因?yàn)閳D象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，即，k Z因?yàn)樗约此灾芷?，所以A錯(cuò)誤對(duì)稱中心滿足，解得，所以B錯(cuò)誤對(duì)稱軸滿足，解得，所以C錯(cuò)誤單調(diào)增區(qū)間滿足，解得，而在內(nèi)，所以D正確所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，周期、平移變化及單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題。3、A【解析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得：，則.本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的模的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4、A【解析】先求出數(shù)列3,7,11,15，的通項(xiàng)，再判斷得解.【詳解】數(shù)列3,7,11,15，的通項(xiàng)為a

9、n當(dāng)n=26時(shí)，a26故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】先將個(gè)人分成三組, 或,分組方法有中,再將三組全排列有種,故總的方法數(shù)有種.選A.6、B【解析】根據(jù)回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)結(jié)論來(lái)對(duì)題中幾個(gè)命題的真假進(jìn)行判斷。【詳解】對(duì)于命題，對(duì)于回歸直線，變量增加一個(gè)單位時(shí)，平均減少個(gè)單位，命題錯(cuò)誤；對(duì)于命題，相關(guān)指數(shù)越大，擬合效果越好，則模型甲的擬合效果更好，命題正確；對(duì)于命題，對(duì)分類變量與，隨機(jī)變量的觀測(cè)值越大，根據(jù)臨界值表，則犯錯(cuò)誤的概率就越小，則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越高，命題正確；對(duì)于命題，兩個(gè)

10、隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系的絕對(duì)值越接近于，命題錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)概念的理解，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握情況，屬于基礎(chǔ)題。7、D【解析】由平面中的線類比空間中的面即可得解?！驹斀狻科矫鎯?nèi)平行于同一直線的兩直線平行，由類比方法得：空間中平行于同一平面的兩平面平行.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了類比推理，考查平面中的線類比空間中的面知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題。8、B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函數(shù)的最大值.詳解：由柯西不等式得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)即x=時(shí)取最大值）故答案為B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查柯西不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和

11、分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)均為實(shí)數(shù)，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.9、C【解析】先由兩直線平行解得a的值，再通過(guò)檢驗(yàn)是否重合可得a=3，從而得兩命題的關(guān)系.【詳解】若直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行，可得：aa-1=23，解得當(dāng)a=3時(shí)，兩直線分別為：3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，滿足平行；當(dāng)a=-2時(shí)，兩直線分別為：x-y+3=0和x-y+3=0，兩直線重合；所以“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的充要條件.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行求參數(shù)值的問(wèn)題。已知兩直線的一般方程判定兩直

12、線平行的一般方法為：已知l1:A1x+10、D【解析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的極值點(diǎn)，可得2k242k，或2k242k，kZ，由此求得的取值范圍【詳解】函數(shù)sin2x21sin2xcos2x+12sin（2x）+1 在區(qū)間（，2）內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，2k242k，或2k242k，kZ解得 k，或k，令k0，可得故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的極值點(diǎn)，屬于中檔題11、A【解析】由題意可得：，則，據(jù)此可得，的虛部為.本題選擇A選項(xiàng).12、D【解析】試題分析：要得到四個(gè)數(shù)字的和是偶數(shù)，需要分成三種不同的情況，當(dāng)取得個(gè)偶數(shù)時(shí)，有種結(jié)果，當(dāng)取得個(gè)奇數(shù)時(shí)，有種結(jié)果，當(dāng)

13、取得奇偶時(shí)有種結(jié)果,共有種結(jié)果.故答案為D.考點(diǎn)：分類計(jì)數(shù)原理.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、64【解析】分析：由題意，根據(jù)數(shù)列的和的關(guān)系，求得，即可求解的值.詳解：由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，所以點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列中和的關(guān)系，其中利用數(shù)列的和的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.14、90【解析】直線在平面內(nèi)的射影與垂直【詳解】如圖，分別是的中點(diǎn)，連接，易知在上，又在正方形中，是的中點(diǎn)，（可通過(guò)證得），又正方體中，而，直線與直線所成的角是90故答案為90【點(diǎn)睛】本題考查兩異面直線所成的角，由于它們所成的角為90，因此可通過(guò)證明它們相互

14、垂直得到，這又可通過(guò)證明線面垂直得出結(jié)論，當(dāng)然也可用三垂線定理證得15、2【解析】求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，求出的表達(dá)式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等號(hào)成立時(shí)的值，于此可得出答案【詳解】設(shè)等等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)或時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，取最小值，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查基本不等式與雙勾函數(shù)求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件，在等號(hào)不成立時(shí)，則應(yīng)考查雙勾函數(shù)的單調(diào)性求解，考查分析能力與計(jì)算能力，屬于中等題16、【解析】先用中點(diǎn)公式的向量式求出，

15、再用數(shù)量積的定義求出的值【詳解】，【點(diǎn)睛】本題主要考查向量中的中點(diǎn)公式應(yīng)用以及數(shù)量積的定義三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2），證明見(jiàn)解析【解析】（1）由已知條件分別取，能依次求出，的值；（2）猜想.證明當(dāng)是否成立，假設(shè)時(shí)，猜想成立，即：，證明當(dāng)也成立，可得證明【詳解】解：（1）由題意：，當(dāng)時(shí)，可得，可得同理當(dāng)時(shí)：，可得當(dāng)時(shí)：，可得（2）猜想.證明如下：時(shí)，符合猜想，所以時(shí)，猜想成立. 假設(shè)時(shí)，猜想成立，即：.（），兩式作差有：，又，所以對(duì)恒成立. 則時(shí)，所以時(shí)，猜想成立.綜合可知，對(duì)恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推式及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸

16、納法的證明方法的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】分析：（1）由正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)即可；（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).從而即可得到答案.詳解：（1），即，.（2）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).，點(diǎn)睛：解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到19、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)古典概型概率公式求出閱讀某莫言作品在篇以上的頻率，從而估計(jì)該校學(xué)生閱讀莫言作品超過(guò)50篇概率；（2）利用公式K2求得 ，與鄰

17、界值比較，即可得到結(jié)論.試題解析：（1）由抽樣調(diào)查閱讀莫言作品在50篇以上的頻率為，據(jù)此估計(jì)該校學(xué)生閱讀莫言作品超過(guò)50篇的概率約為；（2）非常了解一般了解合計(jì)男生302050女生252550合計(jì)5545100根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)得 所以沒(méi)有75%的把握認(rèn)為對(duì)莫言作品的非常了解與性別有關(guān).【方法點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式以及獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于難題.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計(jì)算的值；(3) 查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷.（注意：在實(shí)際問(wèn)題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，得到的結(jié)論也可能犯錯(cuò)誤.）20、（1）(1，0)，（2）y2.故P

18、點(diǎn)軌跡是圓心為，半徑為的圓【解析】(1)當(dāng)時(shí)，C1的普通方程為y(x1)，C2的普通方程為x2y21.聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點(diǎn)為(1，0)，.(2)C1的普通方程為xsinycossin0.A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin2，cossin)，故當(dāng)變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))P點(diǎn)軌跡的普通方程為y2.故P點(diǎn)軌跡是圓心為，半徑為的圓21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解，設(shè)，由題意得到關(guān)于的方程組求解即可（2）根據(jù)純虛數(shù)的定義求解【詳解】(1)設(shè)，由 ，得又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，則，即由，解得或（舍去），（2）由題意得，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，解得實(shí)數(shù)的值為【點(diǎn)睛】處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問(wèn)題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)處理，求解過(guò)程中常常涉及到方程思想的運(yùn)用22、（）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（）【解析】（）求出函數(shù)的的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，分類討論，情況下導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，由此得到答案；（）結(jié)合（）可得函數(shù)的最小值，要使在定義域內(nèi)恒成立，則恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最值，從而得到實(shí)數(shù)的值?！驹斀狻浚ǎ┯深}可得函數(shù)的的定義域?yàn)?，；?）當(dāng)時(shí)，