福建省龍巖第二中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題

2、卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1下列四個(gè)命題中，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）經(jīng)過球面上任意兩點(diǎn)，可以作且只可以作一個(gè)大圓；經(jīng)過球直徑的三等分點(diǎn)，作垂直于該直徑的兩個(gè)平面，則這兩個(gè)平面把球面分成三部分的面積相等；球的面積是它大圓面積的四倍；球面上兩點(diǎn)的球面距離，是這兩點(diǎn)所在截面圓上，以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長(zhǎng)A0B1C2D32已知方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD3若命題“使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )ABCD4已知函數(shù)，若，則的大小為（ ）ABCD5已知集合，則為（ ）ABCD6已知有相同兩

3、焦點(diǎn)F1、F2的橢圓+ y2=1和雙曲線- y2=1，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則F1PF2的形狀是（ ）A銳角三角形B直角三角形C鈍有三角形D等腰三角形7在三棱錐中，點(diǎn)為 所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若與所成角為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A圓B橢圓C雙曲線D拋物線8已知，則下列不等式一定成立的是（ ）ABCD9若x（0，1），alnx，b，celnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）AbcaBcbaCabcDbac10已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率是（ ）ABCD11已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為ABCD12已知，則展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題

4、，每小題5分，共20分。13有一個(gè)容器，下部分是高為的圓柱體，上部分是與圓柱共底面且母線長(zhǎng)為的圓錐，現(xiàn)不考慮該容器內(nèi)壁的厚度，則該容器的最大容積為_14如圖1，在棱長(zhǎng)為的正方體中，P、Q是對(duì)角線上的點(diǎn)，若，則三棱錐的體積為 _15已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)2，f(x1)，則f(2018)= _.16已知向量，若與垂直，則實(shí)數(shù)_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù).（1）討論在上的單調(diào)性；（2）若，求正數(shù)的取值范圍.18（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）證明：的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.19（12分）已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，求

5、.（其中為虛數(shù)單位）20（12分）動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，設(shè).（）求點(diǎn)的軌跡的方程；（）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的最小值21（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在處的切線過點(diǎn)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)使得，求證：.22（10分）在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，已知 () 求；（）若，求的面積參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】結(jié)合球的有關(guān)概念:如球的大圓、球面積公式、球面距離等即可解決問題,對(duì)于球的大圓、球面積公式、球面

6、距離等的含義的理解,是解決此題的關(guān)鍵.【詳解】對(duì)于,若兩點(diǎn)是球的一條直徑的端點(diǎn),則可以作無數(shù)個(gè)球的大圓,故錯(cuò);對(duì)于三部分的面積都是，故正確對(duì)于,球面積=,是它大圓面積的四倍, 故正確;對(duì)于,球面上兩點(diǎn)的球面距離,是這兩點(diǎn)所在大圓上以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長(zhǎng),故錯(cuò).所以錯(cuò)誤.所以C選項(xiàng)是正確的.【點(diǎn)睛】本題考查球的性質(zhì),特別是求兩點(diǎn)的球面距離,這兩個(gè)點(diǎn)肯定在球面上,做一個(gè)圓使它經(jīng)過這兩個(gè)點(diǎn),且這個(gè)圓的圓心在球心上,兩點(diǎn)的球面距離對(duì)應(yīng)的是這個(gè)圓兩點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)的較短的那個(gè)弧的距離.2、A【解析】分析：由于是偶函數(shù)，因此只要在時(shí)，方程有2個(gè)根即可用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值詳解：由于是偶函數(shù)，所以方程

7、有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根設(shè)，則，時(shí)，遞增，時(shí)，遞減，時(shí)，取得極大值也是最大值，又時(shí)，時(shí)，所以要使有兩個(gè)根，則故選A點(diǎn)睛：本題考查方程根的分布與函數(shù)的零點(diǎn)問題，方程根的個(gè)數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如能采用分離參數(shù)法，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性與極值或值域3、B【解析】若原命題為假，則否命題為真，根據(jù)否命題求的范圍【詳解】由題得，原命題的否命題是“，使”，即，解得選B.【點(diǎn)睛】本題考查原命題和否命題的真假關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，然后確定這三個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系，最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出的大小關(guān)系.【詳解】，所以是上的增函數(shù).，所以，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考

8、查了利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后判斷函數(shù)值大小關(guān)系.解決本題的重點(diǎn)是對(duì)指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的比較，關(guān)鍵是對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的理解.5、C【解析】分別求出集合M，N，和，然后計(jì)算.【詳解】解：由，得，故集合由，得，故集合，所以故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的值域，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線定義：又；故選B7、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.【詳解】由題，三棱錐為正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得，設(shè)為平面內(nèi)任

9、 一點(diǎn)，則 ，由題與所成角為定值，則 則 ，化簡(jiǎn)得 ， 故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.選B【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量研究?jī)蓷l直線所成的角，軌跡方程等，屬中檔題.8、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，原不等式等價(jià)于兩次求導(dǎo)可證明在上遞減，從而可得結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)，設(shè)，在單調(diào)遞減，且，,所以在遞減，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1）求出；（2）令 求出的范圍，可得增區(qū)間；（3）令求出的范圍， 可得減區(qū)間.9、A【解析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解【詳解】x（0，1），alnx0，b（）lnx（）01，0celnxe01，a，b，c的大小

10、關(guān)系為bca故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題10、C【解析】分析：由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程是，求得，利用離心率的公式，即可求解雙曲線的離心率詳解：由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程是，即，所以雙曲線的離心率為，故選C點(diǎn)睛：本題主要考查了雙曲線的離心率的求解問題，其中熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力11、A【解析】根據(jù)三視圖可知幾何體為三棱錐，根據(jù)棱錐體積公式求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，幾何體為三棱錐三棱錐體積為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查

11、棱錐體積的求解，關(guān)鍵是能夠通過三視圖確定幾何體為三棱錐，且通過三視圖確定三棱錐的底面和高.12、B【解析】=1，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=，令92r=3，求得r=3，展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為=，故選B【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，分別表示出圓柱和圓錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)求得極值點(diǎn)，并判斷在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值，即為容器的最大容積.【詳解】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，圓柱體的高為，則圓柱的體積為；圓錐的高為，則圓錐的體積，所以該容器的容積為則，令，即，化簡(jiǎn)可得，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

12、當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值；代入可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在體積最值問題中的綜合應(yīng)用，圓柱與圓錐的體積公式應(yīng)用，屬于中檔題.14、【解析】棱錐的體積轉(zhuǎn)化為的體積，求出底面積與高，從而可得結(jié)果.【詳解】到平面的距離是面對(duì)角線的一半，即，到直線的距離即到直線的距離，棱錐的體積等于的體積，【點(diǎn)睛】本題主要考查錐體體積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用等積變換，將棱錐的底面積與高確定，屬于基礎(chǔ)題.15、-1【解析】由已知分析出函數(shù)f（x）的值以4為周期，呈周期性變化，可得答案【詳解】函數(shù)f（x）滿足：f（1）=2，f（x+1）=，f（2）=1，f（1）=，f（4）=，f（5）=2

13、，即函數(shù)f（x）的值以4為周期，呈周期性變化，2018=5044+2，故f（2018）=f（2）=1，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)求值，函數(shù)的周期性，難度不大，屬于中檔題16、-1【解析】由題意結(jié)合向量垂直的充分必要條件得到關(guān)于k的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)k的值.【詳解】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得：，與垂直，則，即：，解得：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的充分必要條件等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)

14、區(qū)間即可；（2）求出f（x）的最大值，得到關(guān)于a的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可詳解：（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，；若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，；若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，設(shè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)解決恒成立求參的問題；對(duì)于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得

15、一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù).18、（1）84；（2）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)二項(xiàng)展開式分別求出每個(gè)二項(xiàng)式中的項(xiàng)的系數(shù)相加即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)展開式，含項(xiàng)的系數(shù)為，又，再結(jié)合即可得到結(jié)論【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（2），故的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為因?yàn)?，所以?xiàng)的系數(shù)為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)的求法、組合數(shù)的計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力19、【解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義出復(fù)數(shù)，再代入目標(biāo)式子利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得到答案【詳解】復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)即為純虛數(shù)，解得，【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法

16、則、純虛數(shù)的定義、模的計(jì)算公式，考查對(duì)概念的理解、考查基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題20、（）（）1【解析】（1）設(shè)Q（x，y），則P（x，2y），代入x2=2y得出軌跡方程；（2）聯(lián)立直線AB方程與Q的軌跡方程，得出A，B的坐標(biāo)關(guān)系，代入斜率公式化簡(jiǎn)|k1k2|，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值【詳解】（）設(shè)點(diǎn)，則由得，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上， （）方法一：由已知，直線的斜率一定存在，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立得由韋達(dá)定理得 （1）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)即或時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線的斜率看作拋物線在點(diǎn)處的切線斜率，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，同理可得（2）當(dāng)直線不經(jīng)過點(diǎn)即且時(shí)， 所以的最小值為. 方法二：同上 故，所以的最小值為 方法三：設(shè)點(diǎn)，由直線

17、過點(diǎn)交軌跡于兩點(diǎn)得： 化簡(jiǎn)整理得： ，令，則 【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，屬于中檔題21、（1）；（2）或；（3）證明見解析.【解析】分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式列等式，解得的值；（2）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a討論導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)情況，再根據(jù)對(duì)應(yīng)單調(diào)性確定函數(shù)值域，最后根據(jù)無零點(diǎn)確定最小值大于零或最大值小于零，解得結(jié)果，（3）先根據(jù)，解得，代入得，再轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)：最后利用導(dǎo)數(shù)證明h(t) 0成立.詳解：（1）因?yàn)閒 (x)a，所以kf (1)1a， 又因?yàn)閒(1)ab，所以切線方程為yab(1a)(x1)，因?yàn)檫^點(diǎn)(2，0)，所

18、以ab=1a，即2ab1. （2）當(dāng)b0時(shí)，f(x)lnxax，所以f (x)a.10若a0，則f (x)0，所以f(x)在(，)上遞增，所以f(x)f()1，因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)在(，)上沒有零點(diǎn)，所以10，即ae；20若a0，由f (x)0，得x.當(dāng)時(shí)，即ae時(shí)，f (x)0，f(x)在(，)上遞減，所以f(x)f()10，符合題意，所以ae； 當(dāng)時(shí)，即0ae時(shí)，若x，f (x)0，f(x)在(，)上遞增；若x，f (x)0，f(x)在(，)上遞減，所以f(x)在x處取得極大值，即為最大值，要使函數(shù)yf(x)在(，)上沒有零點(diǎn)，必須滿足f()ln1lna10，得a，所以ae.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是ae或a. （3）不妨設(shè)0 x1x2，由f(x1)f(x2)，得lnx1ax1blnx2ax2b，因?yàn)閍0，所以. 又因?yàn)?，f (x)在(0，)上遞減，且f ()0，故要證，只要證，只要證，只要證，只要證 （*）， 令，記，則，所以h(t)在(1,+)上遞減，所以h(t) h(1)=0，所以（*）成立，所以原命題成立. 點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化