彈性力學(xué)平面應(yīng)力平面應(yīng)變問題

1、彈性力學(xué)平面應(yīng)力平面應(yīng)變問題第1頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三因此，在材料確定的情況下，基本的力學(xué)變量應(yīng)該有：位移（u）、應(yīng)變（）、應(yīng)力（）量回 顧2-1 彈性力學(xué)基本概念位 移應(yīng) 變應(yīng) 力彈 性 模 量物體的材料性能物體的受力狀態(tài)物體的變形程度物體變形后的形狀第2頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三dydxdz彈性力學(xué)目的：對彈性體中的位移、應(yīng)力、應(yīng)變進行定義和表達(dá)，進而建立平衡方程、幾何方程和材料物理方程研究的基本技巧 采用微小體積元dxdydz的分析方法（針對任意變形體）回 顧第3頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三彈性體

2、的基本假設(shè) 為突出所處理的問題的實質(zhì)，并使問題簡單化和抽象化，在彈性力學(xué)中，特提出以下幾個基本假定。物質(zhì)連續(xù)性假定：物質(zhì)無空隙，可用連續(xù)函數(shù)來描述；物質(zhì)均勻性假定：物體內(nèi)各個位置的物質(zhì)具有相同特性；物質(zhì)(力學(xué))特性各向同性假定：物體內(nèi)同一位置的物質(zhì)在各個方向上具有相同特性；線性彈性假定：物體的變形與外來作用力的關(guān)系是線性的，外力去除后，物體可恢復(fù)原狀；小變形假定：物體變形遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸。 以上基本假定將作為問題簡化的出發(fā)點?；?顧第4頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三abbaaddccxyxyyxyxyzyzzyzyzxzxxzxz回 顧2-2 彈性力學(xué)基本方程第5

3、頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三由力平衡條件有化簡得到1.平衡微分方程回 顧第6頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三平衡微分方程的矩陣形式為 其中，是微分算子 式中，b是體積力向量， 回 顧第7頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三二維問題：平衡微分方程回 顧第8頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三2.幾何方程：位移-應(yīng)變的關(guān)系B1A112回 顧第9頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三六個應(yīng)變分量與三個位移分量間的全部關(guān)系式：回 顧2.幾何方程：位移-應(yīng)變的關(guān)系第10頁，共40頁，2022年，

4、5月20日，9點35分，星期三幾何方程式的矩陣形式為 為微分算子其中的轉(zhuǎn)置 回 顧第11頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三由簡單的軸向拉伸試驗可知，在單向應(yīng)力狀態(tài)下，處于彈性階段時，應(yīng)力應(yīng)變呈線性關(guān)系，即 x = Ex 這就是虎克定律。 彈塑性范圍斜率, E彈性范圍應(yīng)力應(yīng)變3.物理方程：應(yīng)力-應(yīng)變的關(guān)系（Hookes Law）第12頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三工程上，一般將應(yīng)變與應(yīng)力間的關(guān)系表示為稱它們?yōu)槲锢矸匠蹋◤V義虎克定律）。第13頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三第14頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分

5、，星期三若令代表應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣，則應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可寫成矩陣形式第15頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三其中稱為彈性矩陣，由彈性常數(shù)E和 決定。第16頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三回 顧4. 應(yīng)力邊界條件彈性體在應(yīng)力邊界 上單位面積的面力為 、 、 。設(shè)邊界外法線的方向余弦為 ，則邊界上彈性體的應(yīng)力邊界條件可表示為其矩陣表達(dá)式為 (在 上) 其中，面積力向量 ，方向余弦矩陣為第17頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三5. 位移邊界條件回 顧已知位移 邊界上彈性體的位移為 ，則有 (在 上) 用矩陣形式表示為：(在 上) 第1

6、8頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三彈性力學(xué)基本方程的一般形式為 平衡微分方程 (在 內(nèi))幾何方程 (在 內(nèi))物理方程 (在 內(nèi))邊界條件 (在 上) (在 上) 其中 ， 為彈性體的完整邊界。小 結(jié)回 顧第19頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三任何構(gòu)件都占有三維空間，在載荷或溫度變化等的作用下，物體內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移必然是三向的。一般說來，它們都是三個坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。這樣的問題稱為彈性力學(xué)空間問題。2-3 平面應(yīng)變和平面應(yīng)力問題第20頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三當(dāng)構(gòu)件形狀有某些特點，并且受到特殊的分布外力作用

7、或溫度變化影響，某些空間問題可以簡化為彈性力學(xué)的平面問題。這些問題中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移僅為兩個坐標(biāo)（如x、y）的函數(shù)。平面問題可以進而分為平面應(yīng)變問題和平面應(yīng)力問題兩大類。第21頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三平面應(yīng)變問題設(shè)一構(gòu)件（如圖），其縱向（z）尺寸遠(yuǎn)大于橫向（x，y）尺寸，且與縱軸垂直的各截面都相同；受到垂直于縱軸但不沿長度變化的外力（包括體積力X、Y，同時有Z=0）的作用，而且約束條件也不沿長度變化。第22頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三這時，可以把構(gòu)件在縱向作為無限長看待。因此，任一橫截面都可以視為對稱面，其上各點就不會產(chǎn)生沿z向的位

8、移，而沿x、y方向的位移也與坐標(biāo)z無關(guān)。則有u=u(x, y), v=v(x, y), w=0顯然，在這種條件下構(gòu)件所有橫截面上對應(yīng)點（x、y坐標(biāo)相同）的應(yīng)力、應(yīng)變和位移是相同的。這樣，我們只需從構(gòu)件中沿縱向截出單位厚度的薄片進行分析，用以代替整個構(gòu)件的研究 。平面應(yīng)變問題第23頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三對于具有以下特征的構(gòu)件，可作為平面應(yīng)變問題看待： 構(gòu)件縱向(如z軸方向)的尺寸遠(yuǎn)大于橫向(x，y軸方向)尺寸； 與縱向(z軸)垂直的各橫截面的尺寸和形狀均相同； 所有外力均與縱軸(z軸)垂直，并且沿縱軸(z軸)沒有變化；(4) 物體的約束(支承)條件不隨z軸變化。

9、平面應(yīng)變問題第24頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三在工程和機械中，許多結(jié)構(gòu)或構(gòu)件屬于這一類問題。如直的堤壩和隧道；圓柱形長管受到內(nèi)水（油）壓力作用；圓柱形長輥軸受到垂直于縱軸的均勻壓力等，均可近似的視為平面應(yīng)變問題。第25頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三 還有一種情況，當(dāng)構(gòu)件的縱向尺寸不很大但兩端面被剛性光滑面固定，不能發(fā)生縱向位移時，若其他條件與上面所述相同，也屬于平面應(yīng)變問題。通常，只要是長的等直柱體或板，受到垂直于其縱軸而且沿長度方向無變化的載荷作用時，都可以簡化為平面應(yīng)變問題。下面是這種情況下的應(yīng)力、應(yīng)變以及彈性力學(xué)的基本方程式。 平面應(yīng)

10、變問題第26頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三位移：按平面應(yīng)變的定義，三個方向的位移函數(shù)是 應(yīng)變：由幾何方程應(yīng)變-位移關(guān)系，得 不等于零的三個應(yīng)變分量是x、y和xy，而且應(yīng)變僅發(fā)生在與坐標(biāo)面xoy平行的平面內(nèi)。平面應(yīng)變問題第27頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三將 ， 代入物理方程 得 將 代入物理方程 得 在z軸方向沒有應(yīng)變，但其應(yīng)力 z并不為零。平面應(yīng)變問題第28頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三將 代入物理方程得 平面應(yīng)變問題第29頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三應(yīng)力：如果用應(yīng)變分量來表示應(yīng)力分量，

11、則有由上面的分析可知，獨立的應(yīng)力分量只有 x、y 和txy 三個。平面應(yīng)變問題第30頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三對于具有如下特征的構(gòu)件，可作為平面應(yīng)力問題處理。(1)物體沿一個坐標(biāo)方向的尺寸(如沿z軸方向)遠(yuǎn)小于沿其它兩個方向的尺寸，如圖所示的等厚度薄板；(2)外力作用在周邊上，并與xoy面平行，板的側(cè)面沒有外力，體積力垂直于z軸；(3)由于板的厚度很小，故外載荷面積力和體積力都可看作是沿z軸方向均勻分布，并且為常量。 平面應(yīng)力問題第31頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三體積力沿板厚不變，且沿z軸方向的分力Z=0。在板的前后表面上沒有外力作用。

12、即時第32頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三在平面應(yīng)力問題中，認(rèn)為 等于零，但沿z軸的應(yīng)變不等于零。這與平面應(yīng)變的情況剛好相反。將 代入物理方程， 有 由于認(rèn)為板內(nèi)，將其代入物理方程，則有平面應(yīng)力問題第33頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三于是，物理方程的另外三式成為如果用應(yīng)變分量來表示應(yīng)力分量，上面三式變?yōu)榈?4頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三平面應(yīng)變和平面應(yīng)力問題物理方程比較：平面應(yīng)力平面應(yīng)變第35頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三這里，分別為應(yīng)力矩陣、應(yīng)變矩陣。矩陣D稱為彈性矩陣。如果用 和 分別代

13、換平面應(yīng)力物理方程各式中的E和，就得到平面應(yīng)變物理方程。因此，我們可以將兩類平面問題的物理方程寫成統(tǒng)一的格式，用矩陣方程表示為第36頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三對于平面應(yīng)力問題，彈性矩陣為對于平面應(yīng)變問題的彈性矩陣，只須在上式中，以 代E， 代即可。第37頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三小 結(jié)第38頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三小 結(jié) 平面應(yīng)變和平面應(yīng)力兩種平面問題的平衡微分方程、幾何方程和物理方程可寫成以下統(tǒng)一形式：平衡微分方程：幾何方程：物理方程：對于平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題來說，只須在彈性矩陣中，以 代E， 代即可。第39頁，共40頁，2022年，5月20日，9點35分，星期三平面問題的解法