彈塑性力學(xué)第十一章

1、彈塑性力學(xué)第十一章2022/9/181第1頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-1 金屬材料的力學(xué)實(shí)驗(yàn)及幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型1.1單向拉壓實(shí)驗(yàn)：不同材料在單向拉壓實(shí)驗(yàn)中，有不同的應(yīng)力應(yīng)變曲線。 BAC so p e e pBAC so p esO 軟鋼 - 合金鋼 - 2022/9/182第2頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-1 金屬材料的力學(xué)實(shí)驗(yàn)及幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型 當(dāng)應(yīng)力應(yīng)變曲線在OA范圍內(nèi)變化，材料為彈性變化。當(dāng)應(yīng)力達(dá)到 s時(shí)（軟鋼有明顯屈服發(fā)生(AB段），合金鋼無(wú)明顯屈服發(fā)生）將發(fā)生塑性變形。確定材料發(fā)生塑性變形的條件為BAC so p

2、 e e pBAC so p esO 軟鋼 - 合金鋼 - 2022/9/183第3頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-1 金屬材料的力學(xué)實(shí)驗(yàn)及幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型 f () = - s = 0 初始屈服條件（函數(shù)） 當(dāng)軟鋼應(yīng)力達(dá)到A點(diǎn)后，軟鋼有明顯屈服（塑性流動(dòng)）階段。 經(jīng)過(guò)屈服階段后，荷載可再次增加（稱為強(qiáng)化階段，BC段），但強(qiáng)化階段 增幅較少。 BAC so p e e pBAC so p esO 軟鋼 - 合金鋼 - 2022/9/184第4頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-1 金屬材料的力學(xué)實(shí)驗(yàn)及幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型對(duì)于此種材料（有明

3、顯屈服流動(dòng)，強(qiáng)化階段應(yīng)力較少）屈服條件是不變的。當(dāng)應(yīng)力滿足屈服條件時(shí)，卸載將有殘余變形，即塑性變形存在。卸載按線性彈性。BAC so p e e pBAC so p esO 軟鋼 - 合金鋼 - 2022/9/185第5頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-1 金屬材料的力學(xué)實(shí)驗(yàn)及幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型 而對(duì)于合金鋼，無(wú)明顯屈服，當(dāng) s時(shí)進(jìn)入強(qiáng)化階段，在加載即發(fā)生彈性變形和塑性變形，卸載按線彈性。對(duì)于強(qiáng)化特性明顯的材料，由O點(diǎn)繼續(xù)加載，在OB段又是線性彈性變化，當(dāng) 達(dá)到B點(diǎn)再次發(fā)生塑性變形，BAC so p esO - s=0后繼屈服函數(shù) s=s( p)2022/9/186

4、第6頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-1 金屬材料的力學(xué)實(shí)驗(yàn)及幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型BAC sosO s 包辛格效應(yīng) 當(dāng)卸載后，反向加載時(shí)，有些金屬材料反映出反向加載的屈服極限 s s 稱為包辛格效應(yīng)（Bauschinger. J. 德國(guó)人）。2022/9/187第7頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-1 金屬材料的力學(xué)實(shí)驗(yàn)及幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型小結(jié)： （1）在彈性階段（ s）： = e 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一一對(duì)應(yīng)。 （2）當(dāng)應(yīng)力達(dá)到初始屈服條件（ =s時(shí)），材料 進(jìn)入彈塑性階段， = e+ p，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再 是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而要考慮加載變形歷史。

5、（3）對(duì)于有明顯屈服流動(dòng)且強(qiáng)化階段較小的材料， 屈服條件采用初始屈服條件。對(duì)于無(wú)明顯屈服流 動(dòng)且強(qiáng)化階段較高的材料，將有后繼屈服函數(shù)產(chǎn)生。（4）有些強(qiáng)化材料具有包辛格效應(yīng)。2022/9/188第8頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-1 金屬材料的力學(xué)實(shí)驗(yàn)及幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型1.2 常見的幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型 1. 理想彈塑性模型：加載時(shí)： =E s = s s so s理想彈塑性模型2022/9/189第9頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-1 金屬材料的力學(xué)實(shí)驗(yàn)及幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型2. 線性強(qiáng)化彈塑性模型： 加載時(shí)： =E s = E s+ E

6、t ( - s ) s so sEEt線性強(qiáng)化彈塑性模型2022/9/1810第10頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-1 金屬材料的力學(xué)實(shí)驗(yàn)及幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型在實(shí)際問題中，有時(shí)當(dāng)彈性應(yīng)變 e p 塑性應(yīng)變，可忽略彈性變形。上述兩種模型分別簡(jiǎn)化為： s 時(shí), = 0 so =s soEt s+Et理想剛塑性模型 線性強(qiáng)化剛塑性模型2022/9/1811第11頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-1 金屬材料的力學(xué)實(shí)驗(yàn)及幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型1.3金屬材料在靜水壓力實(shí)驗(yàn)： 前人（Bridgman）對(duì)大量金屬進(jìn)行水壓力實(shí)驗(yàn)及拉壓和靜水壓力聯(lián)合實(shí)驗(yàn)，得

7、到下列結(jié)果：在靜水壓力(高壓) p 作用下, 金 屬 體 積 應(yīng) 變e=V/V=p/k成正比，當(dāng)p達(dá)到或超過(guò)金屬材料的s時(shí)，e與p 仍成正比；并且除去壓力后，體積變化可以恢復(fù)，金屬不發(fā)生塑性變形。2022/9/1812第12頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-1 金屬材料的力學(xué)實(shí)驗(yàn)及幾種簡(jiǎn)化力學(xué)模型2. 金屬受靜水壓力和拉壓聯(lián)合作用與金屬單獨(dú)受拉壓作用比較，發(fā)現(xiàn)靜水壓力對(duì)初始屈服應(yīng)力 s沒有影響。結(jié)論：靜水壓力與塑性變形無(wú)關(guān)。2022/9/1813第13頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析1.拉壓桿的彈塑性問題圖示為

8、兩端固定的等截面桿(超靜定桿)， aPN2EAxN1b設(shè)材料為理想彈塑性材料，在x = a 處（b a）作用一逐漸增大的力P。平衡條件 : N1+N2=P變形協(xié)調(diào)條件：a+b=0 so s理想彈塑性模型2022/9/1814第14頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析（1）彈性解： 當(dāng)桿處于彈性階段，桿兩部分的伸長(zhǎng)為代入變形協(xié)調(diào)方程為或由于b a，所以 N1 N2 ，將 代入平衡方程。2022/9/1815第15頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析 得 最大彈性荷載 力P 作用點(diǎn)的伸長(zhǎng)為 2022

9、/9/1816第16頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析(2)彈塑性解Pp P Pe :P = Pe 后，P 可繼續(xù)增大，而 N1=sA 不增加（a段進(jìn)入塑性屈服，但 b 段仍處于彈性） N2=P- N1=P-sA 力 P 作用點(diǎn)的伸長(zhǎng)取決于b 段桿的變形2022/9/1817第17頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析2022/9/1818第18頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析(3)塑性解： PPpPee N1=sA , N2=sA 這時(shí)桿件

10、變形顯著增加，喪失承載能力則最大荷載 Pp=2sA 極限荷載2022/9/1819第19頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析作業(yè)：圖示桁架各桿截面面積為 A , 材料為理想彈塑性 ,求荷載 P 與 C 點(diǎn)豎向位移 關(guān)系。 PABCDl2022/9/1820第20頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析-ss (1)材料為理想彈塑性;xMM y2.梁的彈塑性彎曲 2.1假設(shè): (2)平截面假設(shè)(適用于l h);(3) 截面上正應(yīng)力 x 對(duì)變形影 響為主要的;2022/9/1821第21頁(yè)，共123頁(yè)，

11、2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析2.2梁具有兩個(gè)對(duì)稱軸截面的彈塑性彎曲:(1) 梁的彎矩z ybh在線彈性階段彈性極限狀態(tài)（設(shè)矩形截面）: M=Me在截面上y=h/2處， 或 最大彈性彎矩xMM y2022/9/1822第22頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析h/2-+ssss-+y0y0y彈塑性階段：Mp M Me彎矩繼續(xù)增大，截面上塑性區(qū)域向中間擴(kuò)展，塑性區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力保持不變，截面上彎矩為2022/9/1823第23頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析

12、當(dāng)y0=h/2時(shí)：h/2-+ssss-+y0y0y最大彈性彎矩2022/9/1824第24頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析當(dāng)y0= 0時(shí)：h/2-+ssss-+y0y0y-ss+極限彎矩2022/9/1825第25頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析令 =Mp/Me=1.5（矩形截面） 截面形狀系數(shù)。1.51.71.15-1.17截面形狀2022/9/1826第26頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析 截面彎矩達(dá)到極限彎矩時(shí)，其附近無(wú)限靠近的

13、相鄰兩截面可發(fā)生有限相對(duì)轉(zhuǎn)角，該截面稱為塑性鉸。 對(duì)于靜定梁，截面彎矩達(dá)到極限彎矩時(shí)，結(jié)構(gòu)變成機(jī)構(gòu)，承載力已無(wú)法增加。這種狀態(tài)稱為極限狀態(tài)。2022/9/1827第27頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析（2）梁彈塑性彎曲時(shí)的變形在線彈性階段，梁彎矩和曲率的關(guān)系為線性關(guān)系M=EI ( M Me ), 或 將應(yīng)力與彎矩關(guān)系式 代入上式,可得2022/9/1828第28頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析在彈塑性階段，由于梁彎曲時(shí)截面仍然保持平面，可得或代入梁彈塑性彎曲時(shí)M的表達(dá)式 得ss-+y0y

14、0y2022/9/1829第29頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析 ( M Me )MMpMeeo(3) 梁彈塑性彎曲時(shí)的卸載：卸載是以線彈性變化，卸載后梁截面的彎矩M=0, 但截面內(nèi)的應(yīng)力不為零，有殘余應(yīng)力存在。以矩形截面為例：2022/9/1830第30頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析s+-+-s+=-+2022/9/1831第31頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析2.3 梁具有一個(gè)對(duì)稱軸截面的彈塑性彎曲: xMM yz ybh具有一

15、個(gè)對(duì)稱軸截面梁的彈塑性彎曲特點(diǎn)：隨著彎矩的增大，中性軸的位置而變化。中性軸的位置的確定：2022/9/1832第32頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析z ybh在彈性階段：應(yīng)力為直線分布，中性軸通過(guò) 截面的形心。 最大彈性彎矩 Me = s W-+s2022/9/1833第33頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析z ybh-+ss+-F1F2在彈塑性階段：中性軸的位置由截面上合力 為零來(lái)確定: F1 = F22022/9/1834第34頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三

16、11-2 一維問題彈塑性分析-+ss-+ss+-F1F2z ybh在塑性流動(dòng)階段：受拉區(qū)應(yīng)力和受壓區(qū)應(yīng)力均為常數(shù)，中性軸的位置由截面上合力為零來(lái)確定: F1 = F2 或 s A1 = s A2 得 A1 = A2 中性軸的位置由受拉區(qū)截面面 積等于受壓區(qū)截面面積確定。2022/9/1835第35頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析極限彎矩 Mp = s (S1 + S2 ) S1 和S2 分別為面積A1和A2對(duì)等面積軸的靜矩。作業(yè)：已知理想彈塑性材料的屈服極限為 s ,試求(1)圖示梁截面的極限彎矩 Mp ,（2）當(dāng)M / Me =1.2 時(shí)

17、， y0 的值為多少 ?aazya)aazyb)2022/9/1836第36頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析 超靜定梁由于具有多余約束，因此必須有足夠多的塑性鉸出現(xiàn)，才能使其變?yōu)闄C(jī)構(gòu)。 下面舉例說(shuō)明這個(gè)過(guò)程。 一端固定、一端簡(jiǎn)支的等截面梁，跨中受集中荷載作用。2.4 超靜定梁的極限荷載Pl/2l/2ACB2022/9/1837第37頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析固定端彎矩最大，2）在彈塑性階段：固定端首先發(fā)生塑性區(qū)域，隨著荷載增加、固定端成為第一個(gè)塑性鉸。1）在線彈性階段Pl/2l/2

18、ACBP6Pl/32ACB5Pl/32PePPPMPACB2022/9/1838第38頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-2 一維問題彈塑性分析 固定端彎矩保持Mp，當(dāng)荷載增加到極限荷載時(shí)，跨中彎矩達(dá)到Mp 。3）極限狀態(tài)Pl/2l/2ACBMPMP 極限荷載 Pp 的確定可采用靜力法，也可采用虛功法 。PeP pe 時(shí)，在筒體內(nèi)壁附近出現(xiàn)塑性區(qū)，并且隨著內(nèi)壓的增加，塑性區(qū)逐漸向外擴(kuò)展，而外壁附近仍為彈性區(qū)。2022/9/18101第101頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-5 理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力 由于應(yīng)力組合 - r 的軸對(duì)稱性，

19、塑性區(qū)與彈性區(qū)的分界面為圓柱面。 筒體處于彈塑性狀態(tài)下的壓力為 pp ，彈塑性分界半徑為 c 。此時(shí)對(duì)于彈性區(qū)和塑性區(qū)也可按兩個(gè)厚壁圓筒分別進(jìn)行討論。r = cr = cr = c2022/9/18102第102頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-5 理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力 由于軸對(duì)稱性，在內(nèi)筒的外壁和外筒內(nèi)壁分別作用均布徑向壓力 rr=c= q ，為求解塑性區(qū)的應(yīng)力分量，應(yīng)滿足平衡方程與屈服條件，即r = cr = cr = c2022/9/18103第103頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-5 理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力將屈服條件代

20、入平衡方程，即得 或 將上式進(jìn)行積分，得積分常數(shù) A 可由內(nèi)壁的邊界條件定出:A = - pp -s lna 。2022/9/18104第104頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-5 理想彈塑性厚壁筒受內(nèi)壓力代入上式可求得r ，再由屈服條件，可求出 ，即求得塑性區(qū)的應(yīng)力分量為： (d) 由上式可知，塑性區(qū)的應(yīng)力分量是靜定的，它僅與內(nèi)壓 pp 有關(guān)，而與彈性區(qū)的應(yīng)力無(wú)關(guān)。而且在塑性區(qū)內(nèi) 0, r 0, r 0 ，而且 r 絕對(duì)值最大值發(fā)生在筒體的內(nèi)壁處，而 的最大值則隨著內(nèi)壓的增加而由內(nèi)壁移到外壁，隨著塑性區(qū)的擴(kuò)大，應(yīng)力分布也變得平緩起來(lái)。且2022/9/18112第

21、112頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-6 彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論 在塑性變形階段，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系沒有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)變不僅和應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且還和變形歷史有關(guān)，但在某一給定狀態(tài)下有一個(gè)應(yīng)力增量，相應(yīng)地必有唯一的應(yīng)變?cè)隽俊?因此，在一般塑性變性條件下，只能建立應(yīng)力與應(yīng)變?cè)隽恐g的關(guān)系。這種用增量形式表示的材料的本構(gòu)關(guān)系稱為增量理論（或流動(dòng)理論）。2022/9/18113第113頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-6 彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論在彈塑變形階段一點(diǎn)的應(yīng)變?cè)隽?dij 分為彈性應(yīng)變?cè)隽縟eij 和塑性應(yīng)變?cè)隽縟pij 兩部分，即： dij = d eij+ d pij（加載）由廣義 Hooke 定律：deij 與應(yīng)力增量 dij 之間為：2022/9/18114第114頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-6 彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論 為了確定塑性應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力的關(guān)系，需要以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)找出它們的關(guān)系。 Lode曾用受軸向拉伸和內(nèi)壓同時(shí)作用的金屬薄壁管作實(shí)驗(yàn)，所采用的參數(shù)為 和 2022/9/18115第115頁(yè)，共123頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)31分，星期三11-6 彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系增量理論通過(guò)實(shí)