教學(xué)部通信原理隨機(jī)過程

1、教學(xué)部通信原理隨機(jī)過程第1頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三隨機(jī)過程的基本概念確定性過程其變化過程可以用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述隨機(jī)過程其變化過程不可能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述。通信過程是信號(hào)和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程。而通信系統(tǒng)中遇到的信號(hào)和噪聲總帶有隨機(jī)性，從統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，隨機(jī)信號(hào)和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過程第2頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的定義：設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn)。每一次試驗(yàn)都有一條時(shí)間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作 ，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體 就構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作 。簡(jiǎn)言之，無窮多個(gè)樣本函數(shù)的總體叫

2、做隨機(jī)過程第3頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三隨機(jī)過程的基本概念一個(gè)樣本一個(gè)隨機(jī)變量第4頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程(t)具有兩個(gè)基本特征： (t)是時(shí)間t的函數(shù)；在某一觀察時(shí)刻t1，樣本的取值(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看成依賴時(shí)間參數(shù)的一族隨機(jī)變量?？梢?，隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)的特點(diǎn)。第5頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三一維分布函數(shù)：一維概率密度函數(shù)：二維分布函數(shù)：二維概率密度函數(shù)：隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性用分布函數(shù)、概率密度函數(shù)或數(shù)字特征來描述。統(tǒng)計(jì)特性第6頁，共

3、57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三數(shù)字特征分布函數(shù)或概率密度函數(shù)能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性在實(shí)際工作中，有時(shí)不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡(jiǎn)單直觀。第7頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三數(shù)學(xué)期望（均值）方差數(shù)字特征方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t對(duì)于均值a(t)的偏離程度。均值和方差是對(duì)隨機(jī)變量求積分或求和均值和方差是時(shí)間的函數(shù)第8頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)衡量隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度時(shí)，常用協(xié)方差

4、函數(shù)B(t1, t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1, t2)來表示。協(xié)方差函數(shù)同一隨機(jī)過程,不同時(shí)間間關(guān)系自協(xié)方差函數(shù)不同隨機(jī)過程,不同時(shí)間間關(guān)系互協(xié)方差函數(shù)第9頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三相關(guān)函數(shù)同一隨機(jī)過程,不同時(shí)間間關(guān)系自相關(guān)函數(shù)不同隨機(jī)過程,不同時(shí)間間關(guān)系互相關(guān)函數(shù)數(shù)字特征第10頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三 過程是慢變化， 過程是快變化，它們大致有相同的均值、方差，但是在不同時(shí)刻的取值，對(duì)于 來說，相關(guān)性強(qiáng)；對(duì)于 來說，相關(guān)性強(qiáng)弱 數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)第11頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三數(shù)字特征【例】 已知X和Y是相互

5、獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，它們均值和方差分別為2和6，試求 的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。獨(dú)立概念相關(guān)概念X和Y不相關(guān)X和Y線性相關(guān)第12頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三數(shù)字特征【例】 已知X和Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，它們均值和方差分別為2和6，試求 的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。第13頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三平穩(wěn)隨機(jī)過程 是指它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。則稱 是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程如果任意非零值一維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)第14頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三均值自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程第

6、15頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三設(shè)有一個(gè)二階矩隨機(jī)過程 ，它的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程均值為常數(shù)自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)如何判別隨機(jī)過程是平穩(wěn)的？第16頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程 的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的 時(shí)間均值 和時(shí)間相關(guān)函數(shù) 分別為如果平穩(wěn)隨機(jī)過程依概率1使下式成立： 則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性第17頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，

7、星期三各態(tài)歷經(jīng)性已知均勻分布x(t)是否為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，是否服從各態(tài)歷經(jīng)性？寬平穩(wěn)隨機(jī)過程第18頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性第19頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三 “各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此， 我們無需（實(shí)際中也不可能）獲得大量用來計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使“統(tǒng)計(jì)平均”化為“時(shí)間平均”，使實(shí)際測(cè)量和計(jì)算的問題大為簡(jiǎn)化。 具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系

8、統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。各態(tài)歷經(jīng)性判斷各態(tài)歷經(jīng)性首先判斷是否滿足寬平穩(wěn)條件第20頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三設(shè) 為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的自相關(guān)函數(shù)具有下列主要性質(zhì)：（1）（2）（3） 的偶函數(shù)（4） 的上界（5）平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)方差， 的交流功率 的平均功率 的直流功率第21頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f(t)，它的功率譜密度為我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)中的任一實(shí)現(xiàn)，因而每一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可用上式來表示。由于(

9、t)是無窮多個(gè)實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第22頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三功率信號(hào)f(t)及其截短函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第23頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三的平均功率S則可表示成平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度功率譜的統(tǒng)計(jì)平均第24頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第25頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三確知的非周期功率信號(hào)的自相關(guān)

10、函數(shù)與其譜密度是一對(duì) 傅氏變換關(guān)系。 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，也有類似的關(guān)系，即平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第26頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三R(0)表示隨機(jī)過程的平均功率非負(fù)性偶函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第27頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三例 某隨機(jī)相位余弦波 ，其中A和 均為常數(shù)，是在(0, )內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。 求 的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度.平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第28頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三解： 先考察(t)是否廣義平穩(wěn) 的數(shù)學(xué)期望為的自相關(guān)函數(shù)為根據(jù)以及是廣義平穩(wěn)。則功率譜密度為平均功率為平穩(wěn)隨機(jī)過程

11、的功率譜密度第29頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三高斯隨機(jī)過程 若隨機(jī)過程(t)的任意n維（n=1, 2, ）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。 第30頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三高斯隨機(jī)過程 如果各隨機(jī)變量?jī)蓛芍g互不相關(guān)，則上式中，對(duì)所有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立第31頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三由式可以看出, 高斯過程的n維分布完全由n個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對(duì)于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值、方差與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只

12、與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，由性質(zhì)1知，它的n維分布與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。所以，廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后仍是高斯過程。高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì) 第32頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三f(x)具有如下特性 (1) f(x)對(duì)稱于x=a這條直線。 (2)正態(tài)分布的概率密度一維高斯隨機(jī)過程 第33頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)誤差函數(shù)第34頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個(gè)理想的寬帶隨機(jī)過程。式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。

13、顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即信號(hào)在信道中傳輸時(shí)，常會(huì)遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，即這說明，白噪聲只有在=0時(shí)才相關(guān)，而它在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。高斯白噪聲第35頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)高斯白噪聲第36頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三 如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為高斯白噪聲。 高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻

14、分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。高斯白噪聲功率譜角度概率分布角度第37頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)只考慮平穩(wěn)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的情況。隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)vo(t)等于輸入信號(hào)vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即若則有第38頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三若線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則或 如果把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過程的一個(gè)樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機(jī)過程的一個(gè)樣本。顯然，輸入

15、過程i(t)的每個(gè)樣本與輸出過程o(t)的相應(yīng)樣本之間都滿足上式的關(guān)系。 這樣，就整個(gè)過程而言，便有隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)第39頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三假定輸入i(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程， 則可以分析系統(tǒng)的輸出過程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性。隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1. 輸出過程o(t)的數(shù)學(xué)期望由此可見, 輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且與t無關(guān)。 第40頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三可見, o(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時(shí)間間隔而與時(shí)間起點(diǎn)t1無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平

16、穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。2. 輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)第41頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三3. 輸出過程o(t)的功率譜密度可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi()與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H()|2的乘積。隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)第42頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三例 帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為可見，輸出噪聲的功率譜密度在|H內(nèi)是均勻的， 在此范圍外則為零，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。帶限白噪聲第43頁，

17、共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)帶限白噪聲第44頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三帶限白噪聲其自相關(guān)函數(shù)為由此可見，帶限白噪聲只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。即，如果對(duì)帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量。帶限白噪聲的平均功率：第45頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三從原理上看，在已知輸入過程分布的情況總可以確定輸出過程的分布。其中一個(gè)十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。因?yàn)閺姆e分原理來看，上式

18、可表示為一個(gè)和式的極限，即4. 輸出過程o(t)的概率分布帶限白噪聲第46頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三 由于i(t)已假設(shè)是高斯型的，所以，在任一時(shí)刻的每項(xiàng) 都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻得到的每一隨機(jī)變量，都是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。 由概率論得知，這個(gè)“和”的隨機(jī)變量也是高斯隨機(jī)變量。這就證明，高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后其輸出過程仍為高斯過程。 更一般地說，高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程。但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。 帶限白噪聲第47頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三

19、窄帶隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶隨機(jī)過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度ffc，且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號(hào)或噪聲必是窄帶的，如果這時(shí)的信號(hào)或噪聲又是隨機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程?？杀硎緸椋旱?8頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三窄帶過程的頻譜和波形示意窄帶隨機(jī)過程第49頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三 a(t)及(t)分別是(t)的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位，c(t)及s(t)分別稱為(t)的同相分量和正交分量，它們也是隨機(jī)過程，顯然它們的變化相對(duì)于載波cosct的變化要

20、緩慢得多。 (t)的統(tǒng)計(jì)特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，如果已知(t)的統(tǒng)計(jì)特性則可確定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的統(tǒng)計(jì)特性。 窄帶隨機(jī)過程第50頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三1 同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性 設(shè)窄帶過程(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且 均值為零，方差為 。 可以證明它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與(t)具有相同的方差。 此外，在同一時(shí)刻上得到的c和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 窄帶隨機(jī)過程第51頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三2 包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性一個(gè)均值為零，方差為 的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，a(t)與(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即有下式成立：窄帶隨機(jī)過程瑞利分布第52頁，共57頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)0分，星期三正弦波加窄帶高斯噪聲信號(hào)經(jīng)過信道傳輸后總會(huì)受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個(gè)帶通濾波器，以濾除信號(hào)