概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)精品課件

1、概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四第一章 概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)1.1 基本原理1.2 高斯分布1.3 統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第2頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四高斯分布（Gaussian）Normal 正態(tài)分布：均值（mean）2 ：方差（variance）， ：標(biāo)準(zhǔn)方差 = 1/2 ：精確度（Precision）第3頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四Gaussian分布期望與方差期望方差第4頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四Gaussian分布的再生性若獨(dú)立隨機(jī)變量 為分別服從均值為 ，方差為 的正態(tài)分布，則 隨機(jī)變

2、量的線(xiàn)性組合仍然服從相同的分布 第5頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四第一章 概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)1.1 基本原理1.2 高斯分布1.3 統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)顯示與圖形法常用統(tǒng)計(jì)量常用統(tǒng)計(jì)分布第6頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四總體和統(tǒng)計(jì)推斷全體被研究對(duì)象稱(chēng)為總體，每個(gè)研究對(duì)象稱(chēng)為個(gè)體可以是有限的，如學(xué)校學(xué)生身高、視力有限總體很大時(shí)，可以認(rèn)為是無(wú)限的，如全國(guó)干電池壽命可以是無(wú)限的，如每天的測(cè)量氣壓統(tǒng)計(jì)推斷當(dāng)無(wú)法獲取總體全部個(gè)體的觀(guān)測(cè)值時(shí)，只能依賴(lài)從總體中獲得的某個(gè)觀(guān)測(cè)子集來(lái)對(duì)總體做出推斷。第7頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四抽樣樣本是總體的一個(gè)子

3、集保證從樣本到總體推斷的正確性，選擇隨機(jī)抽樣，表示得到的觀(guān)測(cè)值是獨(dú)立且隨機(jī)隨機(jī)變量X總體上服從概率分布p(x), 那么隨機(jī)抽樣的n個(gè)樣本值x1,x2,xn獨(dú)立且具有相同概率p(x), 其聯(lián)合概率：第8頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四統(tǒng)計(jì)推斷步驟隨機(jī)抽樣數(shù)據(jù)分析（圖形法）分布假設(shè)參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)修正預(yù)測(cè)總體模型第9頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四數(shù)據(jù)顯示和圖形法利用有啟發(fā)性的圖形來(lái)提取關(guān)于數(shù)據(jù)特性的信息，對(duì)數(shù)據(jù)分布進(jìn)行假設(shè)莖葉圖（Stem and leaf ）直方圖（histogram）箱須圖（Box-Whisker）經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖（ empiri

4、cal cumulative distribution ）正態(tài)概率分布圖（Normal Probability）第10頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四莖葉圖將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)具體是多少。通常 選取520根莖汽車(chē)電池壽命2.2 4.1 3.5 4.5 3.2 3.7 3.0 2.6 3.4 1.6 3.1 3.3 3.8 3.1 4.7 3.7 2.5 4.3 3.4 3.6 2.9 3.3 3.9 3.1 3.3 3

5、.1 3.7 4.4 3.2 4.1 1.9 3.4 4.7 3.8 3.2 2.6 3.9 3.0 4.2 4.5 汽車(chē)電池壽命莖葉圖莖葉頻率1 692 2 256695 3 0001111222333444556777889925 4 11234577 8 第11頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四頻率直方圖將樣本取值分為r個(gè)區(qū)間，n個(gè)樣本，落在某個(gè)區(qū)間（ak-1,ak的個(gè)數(shù) nk稱(chēng)為頻數(shù) nk /n稱(chēng)為頻率目標(biāo)：利用頻率直方圖估計(jì)總體的概率密度在（ak-1,ak區(qū)間用頻率為縱坐標(biāo)，制作相應(yīng)的頻率直方圖第12頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四相對(duì)頻率直

6、方圖每個(gè)頻數(shù)除以數(shù)據(jù)總量，得到相對(duì)頻率汽車(chē)電池壽命相對(duì)頻率分布區(qū)間組組中點(diǎn)頻率相對(duì)頻率1.5-1.91.720.050 2.0-2.42.210.025 2.5-2.92.740.100 3.0-3.43.2150.375 3.5-3.93.7100.250 4.0-4.44.250.125 4.5-4.94.730.075 第13頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四相對(duì)頻率折線(xiàn)圖汽車(chē)電池壽命相對(duì)頻率分布區(qū)間組組中點(diǎn)頻率相對(duì)頻率1.5-1.91.720.050 2.0-2.42.210.025 2.5-2.92.740.100 3.0-3.43.2150.375 3.5-3.

7、93.7100.250 4.0-4.44.250.125 4.5-4.94.730.075 根據(jù)每個(gè)分區(qū)的相對(duì)頻率，畫(huà)出折線(xiàn)圖估計(jì)頻率分布第14頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四莖葉圖與直方圖莖葉圖特優(yōu)點(diǎn)沒(méi)有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，方便記錄與表示。只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，且只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)莖葉圖與直方圖類(lèi)似莖葉圖保留原始資料的資訊，直方圖則失去原始資料的訊息將莖和葉逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90，實(shí)際上就是一個(gè)直方圖，可以從中統(tǒng)計(jì)出次數(shù)，計(jì)算出各數(shù)據(jù)段的頻率或百分比?？梢钥闯龇植际欠衽c正態(tài)分布或單峰偏態(tài)分布逼近。第

8、15頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四Box-Whisker圖（箱須圖）中位數(shù)： 將x1,x2, Xn按升序排列，四分位數(shù)：25%（上Q1 ），75%（下Q3）四分位數(shù)差（IQR）上四分位數(shù)與下分位數(shù)之間的差值第16頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四BOX圖（2）上邊緣 大于Q1+1.5IQR的點(diǎn)或最大值下邊緣 小于Q3-1.5IQR的點(diǎn)或最小值上下邊緣以外的點(diǎn)為異常點(diǎn)（Outliers）例：班級(jí)學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)第17頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)5333

9、535364344454748(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20)52555864646568697074(21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)78808080828384848589最小數(shù)（90%）下四分位數(shù) (75%)中位數(shù) (50%)上四分位數(shù) (25%)最大數(shù)班級(jí)成績(jī)分析第18頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四Box圖（3）反映數(shù)據(jù)的中心位置、波動(dòng)和非對(duì)稱(chēng)程度中位數(shù)：中心四分位數(shù)差（IQR）：波動(dòng)程度上下邊緣：異常點(diǎn)作用觀(guān)察異常點(diǎn)比較幾批數(shù)據(jù)形狀

10、成績(jī)甲班乙班丙班第19頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)F(x) 為總體的分布函數(shù)，稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)或樣本分布函數(shù)目標(biāo)：利用經(jīng)驗(yàn)分布估計(jì)總體的分布第20頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四經(jīng)驗(yàn)累積分布圖（empirical cumulative distribution）總體的分布函數(shù)稱(chēng)為理論也分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)利用樣本估計(jì)和推斷總體的分布函數(shù)F(x).高數(shù)成績(jī)5 33 35 35 36 4344 45 47 48 52 55 58 64 65 68 69 69 7074 78 80 80 808283 84 84 85 89 第21頁(yè)，共3

11、7頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四正態(tài)概率分布圖藍(lán)色+表示樣本數(shù)據(jù)疊加紅線(xiàn)是連接上四分位數(shù)和下四分位數(shù)的直線(xiàn)如果數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出的圖成線(xiàn)性第22頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四重要統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量：由隨機(jī)變量組成的一隨機(jī)樣本的函數(shù)，不含任何未知參數(shù)樣本均值，描述樣本中心趨勢(shì)樣本方差，描述樣本的波動(dòng)性樣本標(biāo)準(zhǔn)差S，樣本方差的平方根第23頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四抽樣分布統(tǒng)計(jì)推斷從樣本中推斷總體主要目標(biāo)：歸納和預(yù)測(cè)統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱(chēng)為抽樣分布總體大小樣本容量選擇樣本的方法例：依據(jù) 的抽樣分布對(duì)參數(shù) 做出推斷第24頁(yè)，共37頁(yè)，

12、2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四均值的抽樣分布樣本容量為n的 的抽樣分布實(shí)驗(yàn)不斷重復(fù)（樣本容量為n），產(chǎn)生多次的值時(shí)的一個(gè)分布描述樣本在總體均值附近的平均變化n個(gè)隨機(jī)樣本來(lái)自N(,2)總體，均值 N(,2/n)第25頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四定義：設(shè)Xk為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，有有限的數(shù)學(xué)期望 E(Xk)=k 和方差 D(Xk)=k2，令若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,有則稱(chēng)隨機(jī)變量序列Xk服從中心極限定理（ Central Limit Theorem ）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第26頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四 定理(林德貝爾格-勒維，Lindeberg

13、-Levy)設(shè)Xk為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望 E(Xk)= 和方差 D(Xk)=2 ，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)，對(duì)于任意x，滿(mǎn)足第27頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四如果從一個(gè)未知分布的總體抽樣，不管它是有限還是無(wú)限的，假設(shè)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值的抽樣分布會(huì)近似于 N(,2/n) 的正態(tài)分布。第28頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四中心極限定理應(yīng)用 n30， 的正態(tài)分布逼近較好 n30，總體近似正態(tài)分布時(shí)，逼近效果較好 如果總體 正態(tài)分布，無(wú)論n大小， 的抽樣分布精確服從正態(tài)分布第29頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月

14、20日，6點(diǎn)4分，星期四 若一個(gè)隨機(jī)變量 X 可以看做許多微小而獨(dú)立的隨機(jī)因素作用的總和，每一種因素的影響很小，不產(chǎn)生決定作用，則 X 一般可以認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布 例：測(cè)量誤差X影響因素：溫度X1、濕度X2 、觀(guān)察視線(xiàn)X3 、心情X4等微小的、隨機(jī)的，而且相互沒(méi)有影響測(cè)量的總誤差是上述各個(gè)因素產(chǎn)生的誤差之和：Xi某樣本的線(xiàn)性擬合模型可以描述為：第30頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四例: 將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？解: 設(shè)Xk為第k 次擲出的點(diǎn)數(shù)，k=1,2,100，則X1,X100獨(dú)立同分布.由中心極限定理：第31頁(yè)，共37頁(yè)，202

15、2年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四定理 (De Moivre-Laplace中心極限定理) 設(shè)隨機(jī)變量Yn服從二項(xiàng)分布Yn B(n,p), (op1),則對(duì)于任意x,恒有證明 設(shè)X1,X2,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的服從(0-1)分布(PXi=0=1-p, PXi=1=p)的隨機(jī)變量,則Yn= X1+X2+Xn由于E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) (i=1,2,n),由此得第32頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四例:在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.6%，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問(wèn)： (1

16、)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？ (2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于60000元的概率大于0.9，則賠償金至多可設(shè)為多少？第33頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四解：設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則X B(n, p)其中 n= 10000，p=0.6% 設(shè)Y表示保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)， Y = 1000012-1000X(1) PY0=P1000012-1000X60000 = P1000012-aX60000 =PX60000/a0.9;（2）設(shè)賠償金為a元，則令由中心極限定理,上式等價(jià)于第35頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期四作業(yè)1. 推導(dǎo)Gaussian分布的方差2. 食品店有三種蛋糕出售，價(jià)格為1元、1.2元、1.5 元，售出概率分別為0.3、0.2、0.5某天該食品店出售了300 只蛋糕試用中心極限定理計(jì)算，這天的收入至少為395元的概率。3. 學(xué)習(xí)使用Matlab，熟悉樣本的圖形顯示以及正態(tài)分布的繪制函數(shù)機(jī)房版本：Matlab7請(qǐng)自行收集樣本集（注意樣本數(shù)據(jù)盡可能充分）撰寫(xiě)報(bào)告，論述樣本數(shù)據(jù)的來(lái)源