概率與統(tǒng)計知識點全歸納

1、概率與統(tǒng)計知識點全歸納1隨機抽樣(1)簡單隨機抽樣：一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(nN)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣(2)分層抽樣：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣2用樣本的頻率分布估計總體分布(1)在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率/組距，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示各小長方形的面積總和等于1.(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中

2、各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線(3)莖葉圖莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)3用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(2)中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，若有奇數(shù)個數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)；若有偶數(shù)個數(shù)，則中間兩數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)(3)平均數(shù)：eq xto(x)eq f(x1x2xn,n)，反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平(4)標準差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，seq r(f(1,n)x1xto(x)2x2xto(x)

3、2xnxto(x)2).(5)方差：s2eq f(1,n)(x1eq xto(x)2(x2eq xto(x)2(xneq xto(x)2(xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq xto(x)是樣本平均數(shù))4概率和頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)eq f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率(2)對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)5事件的關(guān)系與運算定義符號表示包含關(guān)系若事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，則稱

4、事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)BA(或AB)相等關(guān)系若BA且AB，則稱事件A與事件B相等AB并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)AB(或AB)互斥事件AB為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥AB對立事件若AB為不可能事件，AB為必然事件，則稱事件A與事件B互為對立事件AB且P(AB)P(A)P(B)16.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0P(A)1. (2)必然事件的概率P(E)1.(3

5、)不可能事件的概率P(F)0.(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(AB)P(A)P(B)(5)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)1P(B)7古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型：高中數(shù)學資料共享群（734924357）(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等8古典概型的概率公式P(A)eq f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù)).9相關(guān)關(guān)系與回歸方程(1)相關(guān)關(guān)系的分類正相關(guān)：在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)負相關(guān)：在散點圖中

6、，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān)(2)線性相關(guān)關(guān)系：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線(3)回歸方程最小二乘法：求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法回歸方程：方程eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()xeq o(a,sup6()是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回歸方程，其中eq o(a,sup6()，eq o(b,sup6()是待定參數(shù)(4)回歸分析定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分

7、析的一種常用方法樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中(eq xto(x)，eq xto(y)稱為樣本點的中心相關(guān)系數(shù)當r0時，表明兩個變量正相關(guān)；當r0時，表明兩個變量負相關(guān)高中數(shù)學資料共享群（734924357）r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性10獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量(2)列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表假設(shè)有兩個分類變

8、量X和Y，它們的可能取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為22列聯(lián)表y1y2總計x1ababx2cdcd總計acbdabcd構(gòu)造一個隨機變量K2eq f(nadbc2,abcdacbd)，其中nabcd為樣本容量(3)獨立性檢驗利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗11.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理一般形式區(qū)別分類加法計數(shù)原理完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，

9、都涉及完成一件事情的不同方法種數(shù)它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法12排列、組合的定義排列的定義從n個不同元素中取出m(mn)個元素按照一定的順序排成一列組合的定義合成一組13排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù)從n

10、個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)公式Aeq oal(m,n)n(n1)(n2)(nm1)eq f(n！,nm！)Ceq oal(m,n)eq f(Aoal(m,n),Aoal(m,m)eq f(nn1n2nm1,m！)eq f(n！,m！nm！)性質(zhì)Aeq oal(n,n)n！，0！1Ceq oal(m,n)nCeq oal(nm,n)，Ceq oal(m,n)Ceq oal(m1,n)Ceq oal(m,n)1，Ceq oal(n,n)1，Ceq oal(0,n)114二項式定理二項式定理(ab)nCeq oal(0,n)anCeq oal(1,n)an1b1Ceq oa

11、l(k,n)ankbkCeq oal(n,n)bn(nN*)二項展開式的通項公式Tk1Ceq oal(k,n)ankbk，它表示第k1項二項式系數(shù)二項展開式中各項的系數(shù)Ceq oal(0,n)，Ceq oal(1,n)，Ceq oal(n,n)15.二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)Ceq oal(0,n)1，Ceq oal(n,n)1，Ceq oal(m,n1)Ceq oal(m1,n)Ceq oal(m,n). Ceq oal(m,n)Ceq oal(nm,n)(0mn)(2)二項式系數(shù)先增后減中間項最大高中數(shù)學資料共享群（734924357）當n為偶數(shù)時，第eq f(n,2)1項的二項式系數(shù)最大，最

12、大值為，當n為奇數(shù)時，第eq f(n1,2)項和第eq f(n3,2)項的二項式系數(shù)最大，最大值為或.(3)各二項式系數(shù)和：Ceq oal(0,n)Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,n)Ceq oal(n,n)2n，Ceq oal(0,n)Ceq oal(2,n)Ceq oal(4,n)Ceq oal(1,n)Ceq oal(3,n)Ceq oal(5,n)2n1.16離散型隨機變量的分布列(1)隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量所有取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變量(2)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n

13、)的概率P(Xxi)pi，則稱表Xx1x2xixnPp1p2pipn為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有如下性質(zhì)：pi0，i1,2，n；p1+p2+pn=1.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和17兩點分布如果隨機變量X的分布列為X01P1pp其中0p0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則P(B|A)eq f(nAB,nA).(2)條件概率具有的性質(zhì)0P(B|A)1；如果B和C是兩個互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)22相互獨立事件(1)對于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件A，B

14、是相互獨立事件(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)P(B)(3)若A與B相互獨立，則A與eq xto(B)，eq xto(A)與B，eq xto(A)與eq xto(B)也都相互獨立(4)P(AB)P(A)P(B)A與B相互獨立23獨立重復(fù)試驗與二項分布(1)獨立重復(fù)試驗是指在相同條件下可重復(fù)進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的(2)在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Ceq oal(k,n)pk(1p)nk(k0,1,2，n)，此時稱隨機變量X服從二項分布，記為XB(n，p)，并稱p為成功概率24兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)p，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)25正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)，(x)eq f(1,r(2)，x(，)，其中實數(shù)和為參數(shù)(0，R)我們稱函數(shù)，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(2)正