靜態(tài)場的邊值問題

1、靜態(tài)場的邊值問題2022/9/14第五章1第1頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章2第一節(jié) 靜態(tài)場邊值問題的基本概念一、靜態(tài)場：靜電場、恒定場、恒定磁場。二、靜態(tài)場的基本方程：即：環(huán)量、通量方程引入輔助量泊松方程或拉普拉斯方程三個標(biāo)量方程（）（）第2頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章3三、靜態(tài)場的求解-靜態(tài)場的邊值問題:求(-)、 (-)的通解 ；利用給定的邊界條件求 的特解； 根據(jù)唯一性定理：滿足三類邊值問題的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。四、求解靜電場的邊值問題的方法:解析法：求 在整個場域內(nèi)所

2、滿足的函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)表達(dá)式,可求出任意點(diǎn)確切的 值.(規(guī)則邊界)第3頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章4分離變量法、鏡像法、數(shù)值計(jì)算法：缺點(diǎn)：一次運(yùn)算一個邊界；優(yōu)點(diǎn)：任意邊界。實(shí)驗(yàn)研究法:用實(shí)驗(yàn)裝置模擬實(shí)際的物理場方程及給定邊界值,測量出相應(yīng)的待求函數(shù)的值的方法.求 在場域內(nèi)一組離散點(diǎn)上的近似函數(shù)值。優(yōu)點(diǎn)：解具有代數(shù)方程的形式,方程中解的參數(shù)值可以置換,便于研究不同參數(shù)下場的不同分布; 缺點(diǎn):要求邊界形狀比較苛刻,復(fù)雜邊界形狀的場域難以求解.第4頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章5第二節(jié) 分離變量法一

3、、分離變量法的一般步驟（規(guī)則邊界）：、分離變量法：、分離變量法的一般步驟：由給定邊界條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出該坐標(biāo)系的拉氏（泊松）方程的表示式。第5頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章6把待求的位函數(shù)用分離變量法表示出來； 并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程），分解出三個常微分方程；分別寫出其通解。用給定邊界條件以及通解中正交函數(shù)的正交性確定通解中的待定常數(shù)。特解 。第6頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章7二、直角坐標(biāo)系中的分離變量法：(-)、分離變量：令(-)(-)(-)將代入,并整理得:(-)、

4、位函數(shù) 的拉氏方程：第7頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章8、三個常微分方程：(-)(-)(-)(-)(-)由得：稱為分離常數(shù)。第8頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章9、通解：(-)討論則為待定系數(shù)。，為實(shí)數(shù)；，。，均為一次線性式。15第13頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章14、特解：（結(jié)合具體邊界條件） 分析：由（-)、(-),(-)的解 只能取三角函數(shù),即通解中的三種情況只有第一種是可以存在的. 由(-),(-)的解 只能取雙曲函數(shù). 通解:(-)(-

5、)第14頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章15 特解: 則即故(-)(-)其中稱為方程(-)滿足(-)(-)邊界條件的本征函數(shù).本征值1312 第15頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章16 由則故(-)(-) 第16頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章17故(-)由邊界條件確定. 因上式右邊為三角函數(shù)級數(shù),要確定 ,其左邊也應(yīng)展開成三角函數(shù)級數(shù),亦稱傅里葉級數(shù),再比較其系數(shù)即可確定 .第17頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/

6、14第五章18將上式兩邊同乘,再對x從 a積分則即第18頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章19故當(dāng)時, 即因 已是三角函數(shù)則第19頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章20三、圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法：、拉氏方程的展開式：(-)令(-)、分離變量法：(-)(-)將代入，且整理得：第20頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章21(-)上式中第二項(xiàng)僅與 有關(guān)，設(shè)它等于一常數(shù) 。(-)將(-)(-)代入，并整理得：(-)上式中第一、二項(xiàng)僅與 r 有關(guān)，第三項(xiàng)僅與 z 有關(guān)

7、。第21頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章22令那么，拉氏方程變?yōu)椋?-)(-)最后分離出的三個常微分方程(-)(-)(-)的通解形式與 、 的 取值有關(guān)，其可能情況為 方程 的解為：(-)(-)因在電磁場的諸多問題中， 是 的周期函數(shù)。8第22頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章23故 n=0,1,2,3所以，n不能取分?jǐn)?shù)， 也不能小于零。 方程的解為：，為實(shí)數(shù)；或(-)(-)(-)(-)第23頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章24方程 的解為：首先將方程兩

8、邊同乘 ，并展開后為：(-)n階貝塞爾方程討論：分兩種情況 則（-)的解為: 則（-)變?yōu)闅W拉方程,其解為:(-)(-)第24頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章25，則（-) 為n階貝塞爾方程,其解為:，為實(shí)數(shù)；其中:為第一類貝塞爾函數(shù);為第二類貝塞爾函數(shù).(諾依曼函數(shù))為虛宗(變)量貝塞爾函數(shù).(-)(-)第25頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章26n為整數(shù):且區(qū)間有無數(shù)個零點(diǎn);則無實(shí)數(shù)零點(diǎn);且當(dāng)均發(fā)散.即時第26頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章27貝塞

9、爾函數(shù)曲線第27頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章28例: 半徑為 a 的半無限長金屬圓筒,筒底與圓筒壁有很窄的絕緣,圓筒側(cè)壁電位為零,筒底電位為 ,求圓筒內(nèi)的電位分布.解:如圖所示、建立坐標(biāo)系：依題意，取柱坐標(biāo)系0a關(guān)于z軸對稱與 無關(guān)不為周期函數(shù)故即第28頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章29、 滿足的拉氏方程與邊界條件：(-)(-)(-).9第30頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章31而 應(yīng)為有限值,故則根據(jù)方程(-),其解為零階貝塞爾函數(shù).又 由方程

10、(-).時故(-)通解第31頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章32、由邊界條件決定待求常數(shù) 特解： 由（-),零階貝塞爾函數(shù)有無數(shù)個零點(diǎn),即 有無數(shù)個取值,(-)稱為貝塞爾函數(shù)的根,記 為零階貝塞爾函數(shù)的第m個根.(-)則由有即(-)第32頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章33的取值既可查函數(shù)表,也可查曲線表. 故(-)第33頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章34 由邊界條件(-)，則(-)為:(-)根據(jù)貝塞爾函數(shù)的正交性:則有(-)將(-)兩邊同乘以 ,并

11、在 區(qū)間積分.(-)第34頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章35而(-)將(-)(-)(-)代入故第35頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章36四、球坐標(biāo)系中的分離變量法：、拉氏方程的展開式：、分離變量法：令(-8)(-9)將(-)(-)代入并整理化簡得：(-)第36頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章37令(-)將(-)(-)代入并整理化簡得：(-)令(-)(-)將(-)(-)代入并整理化簡得：(-)第37頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期

12、四2022/9/14第五章38、通解： 方程（-)的通解為: (-) 方程（-)為歐拉方程,其通解為: 方程（-)稱連帶勒讓德方程,(-)在電磁場的很多實(shí)際問題中,位函數(shù) 常與方位角 無關(guān),即由方程(-)知, m=0第38頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章39若令（-)方程（-)變?yōu)?勒讓德方程(n階)當(dāng)場域包括 軸.方程(-)的解為第一類勒讓德多項(xiàng)式.（-)微分形式第39頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章40則（-)或 通解:當(dāng)m=0,且場域包括 z軸時,其通解為:（-)第40頁，共66頁，2022年

13、，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章41第三節(jié) 有限差分法差分: 近似地以差分代替微分.有限差分法:(近似)數(shù)值計(jì)算法.在待求場域中選取有限個離散點(diǎn),然后在各個離散點(diǎn)上以差分方程代替其微分方程,從而把以連續(xù)變量形式表示的位函數(shù)方程,轉(zhuǎn)化為以離散點(diǎn)位函數(shù)表示的差分方程組.由邊界條件,最后確定各離散點(diǎn)上的位函數(shù)值.第41頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章42一、差分方程組的形式：、函數(shù) 的一階差分為：有限小差分微分無限小當(dāng)很小時，差分近似等于微分。導(dǎo)數(shù)、一階差商：當(dāng)h很小時，第42頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星

14、期四2022/9/14第五章43同理，二階差商（分）：、偏導(dǎo)數(shù)亦可用差商近似表示：、求差分方程組：（有限個點(diǎn)）第43頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章44例：在一個二維矩形場域內(nèi)，電位函數(shù) 滿足泊松方程和第一類邊值。即（在 內(nèi)）（在邊界上）為已知函數(shù)，在電場中， ,求 的差分方程組。解： 將場域劃分為邊長為h的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱節(jié)點(diǎn)；其正方形的邊長h稱步距。將各節(jié)點(diǎn)標(biāo)上號，0、1、2、3、4第44頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章45 設(shè)節(jié)點(diǎn)的電位為 :點(diǎn)相鄰的四個 (,)節(jié)點(diǎn)上的電位分別為 泰

15、勒(Taylor)公式:回憶:其中:是階比高的無窮小,則我們常以 的一次式近似地代替第45頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章46 則根據(jù)泰勒公式，過點(diǎn)且平行于x軸的直線上任一點(diǎn)x處的電位 為 ：那么,能否用 的二次式或n次多項(xiàng)式來表示 ,從而使精確度更提高呢? 答案是可以!拉格拉日余項(xiàng)第46頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章47減很小,略去 以上的各高次項(xiàng)得:上式即為用點(diǎn)處的平均中心差商近似其偏導(dǎo)數(shù)的表示式.對于節(jié)點(diǎn)“”有則對于節(jié)點(diǎn)“”有則第47頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2

16、022/9/14第五章48加,并略去 以及更高次方項(xiàng)后,得同理,將變量x 改成變量y,則有:將代入 ,則第48頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章49即 場域內(nèi)每一內(nèi)節(jié)點(diǎn)都有一個類似 的方程,于是內(nèi)節(jié)點(diǎn)的個數(shù)即為方程組方程的個數(shù)。解方程組，便可得到各節(jié)點(diǎn)的電位值 。58第49頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章50求九個內(nèi)節(jié)點(diǎn)的正方形網(wǎng)格的差分方程組.解：應(yīng)用公式內(nèi)節(jié)點(diǎn)“”,與之相鄰的節(jié)點(diǎn)是則內(nèi)節(jié)點(diǎn)“”內(nèi)節(jié)點(diǎn)“”內(nèi)節(jié)點(diǎn)“”第50頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章

17、51內(nèi)節(jié)點(diǎn)“”內(nèi)節(jié)點(diǎn)“”內(nèi)節(jié)點(diǎn)“”內(nèi)節(jié)點(diǎn)“”內(nèi)節(jié)點(diǎn)“”以上九個方程即是差分方程組.第51頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章52二、差分方程組的解法：手算、機(jī)算。例：如圖所示，一很長的接地金屬凹槽，橫截面為正方形，上蓋與地絕緣，且電位為，蓋與槽之間間隙處為，求槽內(nèi)電位值。解：、分析：利用有限差分法來求槽內(nèi)電位值，首先應(yīng)劃分正方形網(wǎng)格，那么，網(wǎng)格的內(nèi)節(jié)點(diǎn)的個數(shù)以多少為好？顯然，內(nèi)節(jié)點(diǎn)的個數(shù)越少，則計(jì)算就越簡單，但是,節(jié)點(diǎn)數(shù)少，誤差就大，因而網(wǎng)格的劃分就以要求的精度為前提；其次，實(shí)際計(jì)算中，劃分網(wǎng)格的內(nèi)節(jié)點(diǎn)的個數(shù)往往不是一次就確定其個數(shù)，而是逐次增加，直

18、至同一節(jié)點(diǎn)上的電位值在前后兩次運(yùn)算中的誤差達(dá)到規(guī)定的要求。第52頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章53、計(jì)算： 、內(nèi)節(jié)點(diǎn)的電位滿足拉氏方程：即a 如圖 ，利用上式，槽中心點(diǎn)的電位為：a第53頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章54上兩網(wǎng)格中心點(diǎn) 的電位為：下兩網(wǎng)格中心點(diǎn) 的電位為：、劃分網(wǎng)格如圖 所示：bb第54頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章55兩節(jié)點(diǎn)的電位為：兩節(jié)點(diǎn)的電位分別為：、劃分網(wǎng)格如圖 所示：cc第55頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)4

19、1分，星期四2022/9/14第五章56ab對比以上三圖，發(fā)現(xiàn) 圖中的內(nèi)節(jié)點(diǎn)也位于圖 中，在圖 中，再進(jìn)行第二次計(jì)算其電位：abccc 兩點(diǎn)先后兩次計(jì)算所得電位的相對誤差不足%。第56頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章57abc 兩點(diǎn)先后兩次計(jì)算所得電位的相對誤差仍然有%。若要提高精度，則必須將網(wǎng)格再進(jìn)一步劃細(xì)。 如內(nèi)節(jié)點(diǎn)過多，將要借助計(jì)算機(jī)才能完成差分網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的電位計(jì)算。第57頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章58例：在一個二維矩形場內(nèi)，電位函數(shù) 滿足泊松方程和第一類邊值求解：1、將 式應(yīng)用于每一個內(nèi)

20、節(jié)點(diǎn)(i , j)49第58頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章59、用迭代法計(jì)算：計(jì)算順序從左下角開始。即 i 小的先做， i 相同時， j小的先做。 采用逐次逼近法來求其內(nèi)節(jié)點(diǎn)的電位近似值，即開始計(jì)算時，首先假設(shè)一初值（稱第次近似值），運(yùn)算從左下角開始計(jì)算，遍及所有 下標(biāo)后得各內(nèi)節(jié)點(diǎn)電位值，記為 ，為第次近似值。然后再從左下角過行第次計(jì)算循環(huán)，得 如此周而復(fù)始，直至第 次近似值與第 次近似值之誤差滿足計(jì)算精度為止。第59頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章60如圖：第60頁，共66頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)41分，星期四2022/9/14第五章61三、邊界條