二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立

1、二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立專業(yè)：自研-09學(xué)號(hào)：2009Y013101261一、二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的組成二級(jí)倒立擺主要由以下四部分組成:1.在有限長(zhǎng)的軌道L上作直線運(yùn)動(dòng)的小車;2.與小車鉸接在一起，并能在豎直平面內(nèi)分別繞q，q點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的下、上擺;3.驅(qū)動(dòng)小車的直流力矩電機(jī)和轉(zhuǎn)輪、鋼絲等傳動(dòng)部分;4.使上、下擺穩(wěn)定在垂直向上的平衡位置，且使小車穩(wěn)定在軌道中心位置附近的控制器。二級(jí)倒立擺的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1的監(jiān)督管理功能，如實(shí)時(shí)畫面，數(shù)據(jù)采集等;數(shù)據(jù)采集卡安裝在計(jì)算機(jī)內(nèi)，用完成模/數(shù)、數(shù)/模轉(zhuǎn)換;功率放大器用于電壓和線方向的角位移。圖1過(guò)傳動(dòng)鋼絲實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)。2、結(jié)構(gòu)參數(shù)通過(guò)實(shí)際物理測(cè)量，得到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)

2、如下:小車的等效質(zhì)量:M =1.0kg;小車與軌道間的滑動(dòng)摩擦系數(shù):b =5.0kg/s;下擺的質(zhì)量:m =0.1481kg;2下擺半長(zhǎng): =0.18m;l1下擺繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:j =kgm ;21上擺質(zhì)量:m =0.0998kg;2上擺半長(zhǎng): 2=0.24m;l上擺繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: j = kgm ;22上、下擺重心之間的距離: L =0.29m;1上、下擺之間的轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦系數(shù): F =0.0lkgm /s;22下擺和小車之間的轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦系數(shù):F =kgm s;21電機(jī)及功率放大器的增益: K =15Nt/V。u3、Lagrange 方程介紹d TT V DLgarnage 方程為F i

3、 k ( 1,2,., )dt q.q q q.i11 1i式中T系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)，. ，q，Lganarge 變量，分別成為廣義坐標(biāo)和廣義速度q1Qi 作用于系統(tǒng)上的廣義力V F i 1,2,.,k)，(1-2)qi1式中：V系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)V有勢(shì)力的廣義力q1F 非有勢(shì)力的廣義力qi3d TT V將式(2-2)代入式(2-l)得F i k ( 1,2,., )dt q.q qqi11 1二、二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)二級(jí)倒立擺是一個(gè)多變量、快速、非線性、強(qiáng)禍合、和絕對(duì)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為了簡(jiǎn)化建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，我們做了以下假設(shè):1.上擺、下擺都是一個(gè)均勻的剛體;上;與擺的角速度成正比，上、下擺絞接

4、處的摩擦力僅與擺的角速度成正比;4.忽略電機(jī)的電感;5.忽略鋼絲的彈性。在以上假設(shè)前提下，我們采用分析力學(xué)中的Lganarge方程來(lái)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。令:為水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的位移，拭、氏分別為下擺和上擺偏移豎直方向的角度。由于系統(tǒng)存在著摩擦力，屬于一個(gè)耗散系統(tǒng)，因此式(2-3)部分應(yīng)該加上Lagrange方程為:d TT V D F i 1,2,.,k)dt q.q q q.qi11 1i式中：q 廣義坐標(biāo)，即r、 、i12F 非有勢(shì)廣義力，當(dāng)q F =GU G qiiqi00 q = 、 F i12qi分別是系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和消耗能nnnT T 、VV 、DiDiii0i0i04T iV iD

5、 iT ，V ，D iii5式(2-6)式是一個(gè)非線性向量微分方程。考慮到系統(tǒng)工作時(shí)，是在平衡位置.附近運(yùn)動(dòng)，可將式(2-6)在 u=0 的平衡位置 r= = = = = =0 附近線性化，r .1212以線性化后的方程來(lái)代替式(2-6)的非線性向量微分方程。具體線性化是忽略二次以上的項(xiàng) (或因?yàn)?， 在以內(nèi)，故sin ， 12cos 1)，可求出關(guān)于 的線性化微分方程，而后將 1212改寫成 r， ， ，便可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程。12根據(jù)物理模型的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，可求得平衡點(diǎn)處的常數(shù)陣:6利用 Matlab 中的求逆命令，可以解得M (0,0)1陣所以，對(duì)式（2-6）進(jìn)行線性化后，系統(tǒng)狀態(tài)方程為：對(duì)

6、于下擺有轉(zhuǎn)角 121故式（2-7）可改寫為定義狀態(tài)向量 x 為則由式（2-8）可得7由此可知，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為x .y式中：A=000000000000000000B=000C=101000100000000000系統(tǒng)狀態(tài)圖：首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能控性矩陣是否為滿秩。程序如下：8A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0B=0 0 0 ; 0;0;B1=B;C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;rct=rank(ctrb(A,B1)計(jì)算結(jié)果為：rct = 6的。因?yàn)橄到y(tǒng)是能控的，所以，可以通過(guò)狀

7、態(tài)反饋來(lái)任意配置極點(diǎn)。不失一般性，不妨將極點(diǎn)配置在s1=-6,s2=,s3=-7,s4=,s5=-8,s6=在MATLAB中輸入程序：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0B=0 0 0 ; 0;0;B1=B;P=-6 -6.5 -7 -7.5 -8 ;K=place(A,B1,P)計(jì)算結(jié)果為：K =因此，求出狀態(tài)反饋矩陣為K =采用MATLAB/Simulink圖所示。9三、 狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置及其仿真首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能觀性矩陣是否為滿秩。輸入以下程序A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0

8、0 1;0B=0 0 0 ; 0;0;B1=B;C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;rob=rank(obsv(A,C)rob =6測(cè)的，所以，可以設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器。而系統(tǒng)又是能控的，因此可以通過(guò)狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。10斂速度，才能夠保證使用狀態(tài)觀測(cè)器所觀測(cè)到的狀態(tài)與原系統(tǒng)的狀態(tài)充分接近。不妨取狀態(tài)觀測(cè)器的特征值為：20，s221，s322，s423，s524，s625。輸入以下命令：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0; 0;0;A1=A;C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;C1=C;P=-20 -21 -22