2021-2022學(xué)年湖南省長沙市一中開福中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1 “”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減”的（ ）A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既不充分也必要條件2某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的值是（ ）A4B5C6D7

2、3 “”是“函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（ ）ABC4D15若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k1，k1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A1，)B，2)C1,2)D1，)6有一段“三段論”，其推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù)，若，則是函數(shù)的極值點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)”，結(jié)論以上推理A大前提錯誤B小前提錯誤C推理形式錯誤D沒有錯誤7設(shè)是含數(shù)的有限實(shí)數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖象繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，的可能取值只能是（

3、）ABCD8已知，且.則展開式中的系數(shù)為（ ）A12B-12C4D-49的展開式中常數(shù)項(xiàng)為( )A-240B-160C240D16010已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，P=，則A2B4C6D811設(shè)，則（ ）ABCD12橢圓短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個三角形，若該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則該橢圓的離心率為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13某四棱錐的三視圖如圖所示，那么該四棱錐的體積為_ 14如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是

4、 .15甲、乙兩名運(yùn)動員進(jìn)行乒乓球單打比賽，已知每一局甲勝的概率為比賽采用“五局三勝（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）制”，則甲獲勝的概率是_16如圖，在一個底面邊長為cm的正六棱柱容器內(nèi)有一個半徑為cm的鐵球，現(xiàn)向容器內(nèi)注水，使得鐵球完全浸入水中，若將鐵球從容器中取出，則水面下降_cm.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值18（12分）數(shù)列滿足.（1）計(jì)算，并由此猜想通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.19（12分）已知集合，集合是集合S的一個含有8個元素的

5、子集.（1）當(dāng)時，設(shè)，寫出方程的解（）；若方程至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值；（2）證明：對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.20（12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)(1)若，求函數(shù)的極值； (2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍21（12分）足球是世界普及率最高的運(yùn)動，我國大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，社會調(diào)查小組得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份x20142015201620172018足球特色學(xué)校y（百個）0.300.601.001.401.70（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱.（已知：，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)

6、性很強(qiáng)；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性一般；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性較）：（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測A地區(qū)2020年足球特色學(xué)校的個數(shù)（精確到個）.參考公式和數(shù)據(jù)：，.22（10分）新能源汽車的春天來了！2018年3月5日上午，李克強(qiáng)總理做政府工作報(bào)告時表示，將新能源汽車車輛購置稅優(yōu)惠政策再延長三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，對購置的新能源汽車免征車輛購置稅.某人計(jì)劃于2018年5月購買一輛某品牌新能源汽車，他從當(dāng)?shù)卦撈放其N售網(wǎng)站了解到近五個月實(shí)際銷量如下表：月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份編號t12345銷量（萬輛）0.

7、50.611.41.7（1）經(jīng)分析，可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌噷?shí)際銷量（萬輛）與月份編號之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測2018年5月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量；（2）2018年6月12日，中央財(cái)政和地方財(cái)政將根據(jù)新能源汽車的最大續(xù)航里程（新能源汽車的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠(yuǎn)里程）對購車補(bǔ)貼進(jìn)行新一輪調(diào)整.已知某地?cái)M購買新能源汽車的消費(fèi)群體十分龐大，某調(diào)研機(jī)構(gòu)對其中的200名消費(fèi)者的購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：補(bǔ)貼金額預(yù)期值區(qū)間（萬元）206060302010將頻率視為概

8、率，現(xiàn)用隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)擬購買新能源汽車的所有消費(fèi)者中隨機(jī)抽取3人，記被抽取3人中對補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值不低于3萬元的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：回歸方程，其中，.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得a的取值范圍，再利用簡易邏輯的判定方法即可得出【詳解】函數(shù)f（x）=x22ax2=（xa）2a22在區(qū)間（，2內(nèi)單調(diào)遞減，2a“a3”是“函數(shù)f（x）=x22ax2在區(qū)間（，2內(nèi)單調(diào)遞減”的充分非必要條件故選：A【點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法1定義法：直接判斷

9、“若則”、“若則”的真假并注意和圖示相結(jié)合，例如“ ”為真，則是的充分條件2等價法：利用 與非非， 與非非， 與非非的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價法3集合法：若 ，則是的充分條件或是的必要條件；若，則是的充要條件2、A【解析】根據(jù)框圖，模擬計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】程序執(zhí)行第一次，第二次，第三次，第四次，跳出循環(huán)，輸出，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于中檔題.3、A【解析】分析：先求函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)的解集，再用集合的關(guān)系判斷充分條件、還是必要條件。詳解：函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，則，所以的解集那么是的子集，故充分非必要條件，選A點(diǎn)睛：在判斷命題的關(guān)系中，轉(zhuǎn)

10、化為判斷集合的關(guān)系是容易理解的一種方法。4、B【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式求出，利用點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到直線的距離，再由三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以代入直線方程得，即，所以直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，所以弦長，又點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程與簡單性質(zhì)，考查了弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式與三角形面積公式，意在考查計(jì)算能力以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.5、D【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值性，令極值點(diǎn)屬于已知區(qū)間即可.【詳解】所以時遞減，時，遞增，是極值點(diǎn)，因

11、為函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k1，k1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，即，故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，其中考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.6、A【解析】在使用三段論推理證明中，如果命題是錯誤的，則可能是“大前提”錯誤，也可能是“小前提”錯誤，也可能是推理形式錯誤，我們分析其大前提的形式：“對于可導(dǎo)函數(shù)f（x），如果f（x0）0，那么xx0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)”，不難得到結(jié)論【詳解】對于可導(dǎo)函數(shù)f（x），如果f（x0）0，且滿足當(dāng)xx0時和當(dāng)xx0時的導(dǎo)函數(shù)值異號時，那么xx0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，而大前提是：“對于可導(dǎo)函數(shù)f（x），如果f（x0）0，那么x

12、x0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)”，不是真命題，大前提錯誤，故選A【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是演繹推理的基本方法，演繹推理是一種必然性推理，演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系因而，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實(shí)的，但錯誤的前提可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論7、B【解析】利用函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得到：問題相當(dāng)于圓上由12個點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點(diǎn)會重合我們可以通過代入和賦值的方法當(dāng)f（1）=，0時，此時得到的圓心角為，0，然而此時x=0或者x=1時，都有2個y與之對應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個x只能對應(yīng)一個y，因此只有當(dāng)x=，此時旋轉(zhuǎn)，此時

13、滿足一個x只會對應(yīng)一個y，故選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義，即“對于集合A中的每一個值，在集合B中有唯一的元素與它對應(yīng)”(不允許一對多).8、D【解析】求定積分得到的值，可得的值，再把按照二項(xiàng)式定理展開式，可得中的系數(shù)【詳解】，且，則展開式，故含的系數(shù)為，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查求定積分，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】求得二項(xiàng)式的通項(xiàng)，令，代入即可求解展開式的常數(shù)項(xiàng)，即可求解.【詳解】由題意，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時，即展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重

14、考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】本試題主要考查雙曲線的定義，考查余弦定理的應(yīng)用由雙曲線的定義得,又,由余弦定理，由2-得，故選B11、A【解析】利用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【詳解】因?yàn)?，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】利用等面積法得出、的等式，可得出、的等量關(guān)系式，可求出橢圓的離心率.【詳解】由橢圓短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為，該三角形的周長為，由題意可得，可得，得，因此，該橢圓的離心率為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的計(jì)算，解題時要結(jié)合已知條件列出有關(guān)、的齊次等式，通過

15、化簡計(jì)算出離心率的值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先還原幾何體，再根據(jù)四棱錐體積公式求結(jié)果.【詳解】由三視圖知該幾何體如圖，V故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及四棱錐的體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】作BEAD于E，連接CE，則AD平面BEC，所以CEAD，由題設(shè)，B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE. 取BC中點(diǎn)F，連接EF，則EFBC，EF=2，四面體ABCD的體積，顯然，當(dāng)E在AD中點(diǎn)，即B是短軸端點(diǎn)時，BE有最大值為b=，所以.評注 本題把橢圓拓展到空間，對缺

16、少聯(lián)想思維的考生打擊甚大！當(dāng)然，作為填空押軸題，區(qū)分度還是要的，不過，就搶分而言，膽大、靈活的考生也容易找到突破點(diǎn)：AB=BD(同時AC=CD)，從而致命一擊，逃出生天！15、；【解析】利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率計(jì)算求解，甲獲勝，則比賽打了5局，且最后一局甲勝利.【詳解】由題意知，前四局甲、乙每人分別勝2局，則甲獲勝的概率是：.【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】由題意可求球的體積，假設(shè)鐵球剛好完全浸入水中，則水面高度為，將鐵球從容器中取出，求出水面高度，即可求水面下降高度【詳解】解：假設(shè)鐵球剛好完全浸入水中，球的體積，水面高度為，此時正六棱柱容器中水的體

17、積為，若將鐵球從容器中取出，則水面高度，則水面下降.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了球體積的求解，考查了棱柱體積的求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1） ；（2）最大值為.【解析】（1）將點(diǎn)代入直線，得出，再由解出、的值，可得出函數(shù)的解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與端點(diǎn)函數(shù)值比較大小，可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】（1），將點(diǎn)點(diǎn)代入直線，得，得，所以，解得，因此，；（2），.由得或，由得.函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在處取得極小值，而，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函

18、數(shù)的最值，意在對導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)以及應(yīng)用的考查，屬于中等題.18、（1）；（2）見解析【解析】分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，可求a1，a2，a3，a4的值，猜想an的通項(xiàng)公式（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟對這個猜想加以證明詳解：（1）根據(jù)數(shù)列滿足，當(dāng)時，即；當(dāng)時，即；同理，由此猜想；（2）當(dāng)時，結(jié)論成立；假設(shè)（為大于等于1的正整數(shù)）時，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)（大于等于1的正整數(shù)）時，即時，結(jié)論成立，則.點(diǎn)睛：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法19、（1）4，6.（2）證

19、明見詳解.【解析】（1）根據(jù)兩個元素之差為3，結(jié)合集合的元素，即可求得；根據(jù)題意要求，寫出集合X中從小到大8個數(shù)中所有的差值（限定為正數(shù)）的可能，計(jì)算每個差值出現(xiàn)的次數(shù)，即可求得；（2）采用反證法，假設(shè)不存在滿足條件的k，根據(jù)差數(shù)的范圍推出矛盾即可.【詳解】（1）方程的解有：.以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，則：列出集合X的從小到大8個數(shù)中相鄰兩數(shù)的差：1,3,2,4,2,3,1；中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）：4,5,6,6,5,4；中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差：6,9,8,9,6；中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差：10,11,11,10；中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差：12,14,12；中間相隔五數(shù)的兩數(shù)差：1

20、5,15；中間相隔六數(shù)的兩數(shù)差：16.這28個差數(shù)中，只有4出現(xiàn)3次、6出現(xiàn)4次，其余都不超過2次，所以k的可能取值有4，6.（2）證明：不妨設(shè)，記，共13個差數(shù).假設(shè)不存在滿足條件的k，則這13個數(shù)中至多兩個1、兩個2、兩個3、兩個4、兩個5、兩個6，從而 又，這與矛盾.故假設(shè)不成立，結(jié)論成立.即對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.【點(diǎn)睛】本題考查集合新定義問題，涉及反證法的使用，本題的關(guān)鍵是要理解題意，小心計(jì)算，大膽求證.20、（1）見解析；（2）.【解析】分析：求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)的極值；（2） 在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，討論與極值點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性，運(yùn)用參數(shù)分離和解不等式可得范圍.詳解：（1）當(dāng)時：的定義域?yàn)?令，得當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，的極大值為，無極小值.（2） 在上單調(diào)遞增在上恒成立，只需在上恒成立 在上恒成立令則令，則：若即時在上恒成立 在上單調(diào)遞減 ， 這與矛盾，舍去若即時當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，有極小值，也是最小值，