本-環(huán)境流體力學-No3

1、 環(huán)境流體力學 連續(xù)介質(zhì)模型可以把流體看作為由無數(shù)個流體質(zhì)點所組成的連續(xù)介質(zhì)，并且無間隙地充滿它所占據(jù)的空間。把流體質(zhì)點運動的全部空間稱為流場。 研究流體運動有兩種方法，拉格朗日（Lagrange）方法和歐拉（Euler）方法。第一節(jié) 描述流體運動的方法一、拉格朗日方法 拉格朗日方法又稱隨體法，是從分析流場中個別流體質(zhì)點著手來研究整個流體運動的方法。在某一時刻，任一流體質(zhì)點的位置可表示為： x=x (a，b，c，t) y=y (a，b，c，t) z=z (a，b，c，t) 式中a、b、c為初始時刻任意流體質(zhì)點的坐標。通常稱a、b、c為拉格朗日變量（坐標），它不是空間坐標的函數(shù)，而是流體質(zhì)點標號

2、。注釋：對于確定的流體質(zhì)點，a、b、c為常數(shù)，而t為變量，得到流體質(zhì)點的運動規(guī)律；對于確定的時刻，t為常數(shù)，而a、b、c為變量，得到這一時刻不同流體質(zhì)點的位置分布。 22二、拉格朗日方法的場描述1、質(zhì)點位置描述 xi=xi(a,b,c,t) 2、物理量描述 f=f(a,b,c,t)3、質(zhì)點速度描述4、質(zhì)點加速度描述三、歐拉方法 認為流體質(zhì)點在某一時刻運動到空間位置(x,y,z)，用這個空間位置，就可以表示這個質(zhì)點。坐標(x,y,z)為歐拉坐標。在同一時刻，不同質(zhì)點處在不同位置，具有不同的歐拉坐標。 t=t2 t=t1 132231 歐拉法，又稱局部法，是從分析流場中每一個空間點上的流體質(zhì)點的運

3、動著手，來研究整個流體運動的，即研究流體質(zhì)點在通過某一空間點時，流動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。流體質(zhì)點的流動是空間點坐標（x，y，z）和時間t的函數(shù)，例如流體質(zhì)點的速度分量可表示為： u=u (x，y，z，t) v=v (x，y，z，t) w=w (x，y，z，t) 式中u，v，w表示速度矢量在三個坐標軸上的分量。注釋：當參數(shù)x，y，z不變而改變時間t，則表示空間某固定點的速度隨時間的變化規(guī)律；當參數(shù)t不變，而改變x，y，z，則代表某一時刻，空間各點的速度分布。x，y，z有雙重含義，一方面代表流場的空間坐標，另一方面代表流體質(zhì)點在空間的位移。根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)假設，每一個空間點上都有流體質(zhì)點所占據(jù)。

4、而占據(jù)每一個空間點上的流體質(zhì)點都有自己的速度，有速度必然產(chǎn)生位移。因此，空間坐標x，y，z也是流體質(zhì)點位移的變量，也是時間t的函數(shù)： x= x (t) y= y (t) z= z (t) 四、歐拉方法的場描述1、物理量描述 f=f(x,y,z,t)2、質(zhì)點速度描述 ui=ui(x,y,z,t)3、質(zhì)點加速度描述 ai=ai(x,y,z,t)五、拉格朗日描述與歐拉描述 拉格朗日描述著眼于流體質(zhì)點，將物理量視為隨體(初始）坐標與時間的函數(shù)，而歐拉描述著眼于空間點，將物理量視為空間坐標與時間的函數(shù)。 設想流體質(zhì)點（a,b,c）恰好在時刻t運動到空間點（x,y,z）上，則（歐拉）： x=x(a,b,c

5、,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t) 在一定條件下(雅可比行列式不為零或無窮），從上式可解出（拉格朗日）： a=a(x,y,z,t) b=b(x,y,z,t) c=c(x,y,z,t)六、隨體導數(shù)1、定義 跟隨流體質(zhì)點運動時觀測到的質(zhì)點物理量的時間變化率。2、拉格朗日描述 速度：物理量： 3、歐拉描述速度：空間坐標 是流體質(zhì)點的位移變量，是時間的函數(shù) 。速度為： 加速度：物理量：與拉氏描述等價，即速度、加速度、物理量等在同一點上與拉格朗日相應值相同；歐拉法流體質(zhì)點的加速度組成 歐拉加速度由兩部分組成；一是由于某一空間點上的流體質(zhì)點的速度隨時間的變化而產(chǎn)生的，稱為當?shù)丶铀俣?/p>

6、，即 ；二是由于流體質(zhì)點的速度隨空間點的變化而產(chǎn)生的，稱為遷移加速度，即 ；當?shù)丶铀俣群瓦w移加速度之和稱為總加速度。 思考題 如何考慮不可壓縮流體流過一個中間有收縮形的變截面管道的當?shù)丶铀俣群瓦w移加速度？ 如果在某一段時間內(nèi)流進管道的流體輸入量有變化（增加或減少），則管道中每一點上流體質(zhì)點的速度將相應發(fā)生變化（增大或減少），從而產(chǎn)生了當?shù)丶铀俣取?截面2比截面1小，則截面2的速度要比截面1的速度大。所以當流體質(zhì)點從1點流到2點時，由于截面的收縮引起速度的增加，從而產(chǎn)生了遷移加速度。 注意： 流體質(zhì)點和空間點是兩個截然不同的概念，空間點指固定在流場中的一些點，流體質(zhì)點不斷流過空間點，空間點上的速

7、度指流體質(zhì)點正好流過此空間點時的速度。七、歐拉描述與拉格朗日描述的選擇用歐拉法得到的是場，便于用場論來研究；采用歐拉法，加速度是一階導數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導數(shù)，所得的運動微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，數(shù)學上一階偏微分方程比二階偏微分方程容易求解；在工程實際中，并不關心每一質(zhì)點的來龍去脈。 歐拉法在研究中被廣泛采用，當然拉格朗日法在研究某些問題中還是很方便的。 應當指出：兩種方法只考慮問題的著眼點不同，對同一問題，結(jié)果應該一致，兩種方法可以互相轉(zhuǎn)換。 練習題 已知用拉格朗日變量表示得速度分布為 u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0時，x=a， y=b

8、。求（1）t=3時質(zhì)點分布；（2）a=2，b=2質(zhì)點的運動規(guī)律；（3）質(zhì)點加速度。 解：從速度分布知： ， 積分上式得 ， 式中c1、c2為積分常數(shù)。 利用t=0時，x=a，y=b 得 c1=-2， c2=-2質(zhì)點分布為 x=(a+2)et-2t-2, y=(b+2)et-2t-2 （1）在t=3得 x=(a+2)e3-8, y=(b+2)e3-8 （2）a=2，b=2時 x=4et-2t-2, y=4et-2t-2 (3)質(zhì)點加速度練習題 在任意時刻，流體質(zhì)點的位置是x=5t2，其跡線為雙曲線xy=25,求質(zhì)點速度和加速度在x和y方向的分量？ 解：本題為歐拉描述，速度為 ， 加速度為 ，練

9、習 題練 習 題第二節(jié) 流體基本概念 一、流體的恒定流和非恒定流 用歐拉法描述流動時，如流場中各點的流動要素與時間無關，成為恒定流，否則為非恒定流。 恒定流定常流 非恒定流非定常流 定常流動的特點： 對定常流動，流體質(zhì)點的速度、壓強和密度等流動參數(shù)僅是空間點坐標x、y、z的函數(shù)，而與時間t無關，用表示任一流動參數(shù)（即可表示u，v，w，p，等），則 = (x，y，z)二、跡線（拉氏）與流線（歐拉）1、跡線（拉氏）（1）定義：流體質(zhì)點運動的軌跡，是該質(zhì)點在不同時刻運動位置的連線。（2）如質(zhì)點運動滿足（拉氏）：x=aet, y=be-t，跡線為： xy=ab含義：初始時，從（a,b）出發(fā)的質(zhì)點運動軌

10、跡。 2、跡線的計算 流場中所有流體質(zhì)點都有自己的跡線，跡線是流體運動的一種幾何表示，可以用來直觀形象地分析流體質(zhì)點的運動情況。跡線是拉格朗日法的內(nèi)容，它表示同一流體質(zhì)點在不同時刻所形成的曲線，數(shù)學表達式為： 思考題如何以河流為例顯示流場的跡線？答案 在流動的水面上撒一木屑，木屑隨水流漂流的途徑就是其初始點水的運動軌跡，是跡線。 若給出歐拉描述的速度場，則跡線也可用下式確定為： 上式的含義是什么，為什麼成立？答案 跡線計算原則上只能使用同一質(zhì)點的速度，但是在極小的時間內(nèi)，如果流場連續(xù)，則即使使用歐拉場速度，由質(zhì)點位移引起的速度變化也是小量，可以忽略。3、流線（歐拉）（1）定義：用來描述流場中各

11、點流動方向的曲線，是該質(zhì)點在同一時刻的運動方向。（2）特點：流線是某時刻流場中的一條矢量線，在該線上任一點的切線與該時刻該點的速度矢量方向一致。同時，流線還是同一時刻，不同流體質(zhì)點所組成的曲線。（3）作用：可以看出某時刻流場中各點的速度方向；由流線的密集程度，可以判定出速度的大小。 流線的基本特性 (1)在定常流動時，各流體質(zhì)點的速度不隨時間變化，所以通過同一點的流線形狀始終保持不變，流線和跡線相重合。而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合； (2)一般情況通過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，流線不能相交和分支。否則在同一空間點上流體質(zhì)點將同時有幾個不同的流動方向

12、。只有在流場中速度為零或無窮大的那些點，流線可以相交，在這些點上不會出現(xiàn)在同一點上存在不同流動方向的問題。速度為零的點稱為駐點，速度為無窮大的點稱為奇點； (3)流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑連續(xù)曲線； (4)流線密集的地方，該處流速較大；稀疏的地方，該處流速較小。思考題 試想何時流線與跡線重合？答 案1、定常運動；2、非定常運動，但流速方向不 與時間相關（見后邊例題）。4、流線方程：在流線上取一段弧元素 ，按定義得 t為參量，積分常數(shù)由流線所經(jīng)的空間點定。例題 有一流場，流速分布為：u= -ky，v= kx，w=0，試求其流線方程。 解：由于w=0，是二維流動，將兩個分速度代入流線微分方程，得

13、到 xdx+ydy=0 積分得 x2+y2=c 即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓。例 題 三、流面、流管、總流、流量1、流面： 在某一時刻，通過一條非流線的所有流線組成的面。2、流管： 在某一時刻，通過一條封閉非流線的所有流線組成的管。 流管是由流線構(gòu)成的，具有流線的一切特性，即流體質(zhì)點不能穿過流管流入或流出(流線不能相交)。流管像固體管子一樣，將流體限制在管內(nèi)流動。3、總流 無數(shù)微元流管（流束）的流量總和稱為總流。自然界和工程中所遇到的管流或渠流都是總流。根據(jù)總流的邊界情況，分為三類： （1）有壓流動，總流的全部邊界受固體邊界的約束，即流體充滿流道，如壓力水管中的流動。 （2）無壓流動，總流邊界的一部分受固體邊界約束，另一部分與氣體接觸，形成自由液面，如明渠中的流動。 （3）射流，總流的全部邊界均無固體邊界約束，如噴嘴出口的流動。 水力半徑 在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度稱為濕周，用符號 表示?？偭鞯挠行Ы孛婷娣e與濕周之比稱為水力半徑，即 濕周和水力半徑在非圓截面管道和管束的水力計算中常常用到。4、流量體積流量，單位時間內(nèi)通過有效截面的流體體積qv（m3/s、m3/h），表示為質(zhì)量流量，單位時間內(nèi)通過有效截面的流體質(zhì)量qm（kg/s、t/h），表示為平均流速，是假想的流速，假定在有效截面上各點有相同的流速，這時通過該有效截面上的體積流量仍