理論力學(xué) 17碰撞

1、第五篇 動(dòng)力學(xué)專題理論力學(xué)1動(dòng)力學(xué) 在第三篇中我們研究了動(dòng)力學(xué)的幾個(gè)定理，以及一些簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)問題的求解方法。由于實(shí)際工程問題往往很復(fù)雜，在研究這些問題時(shí)，除了分析、抽象出合適的力學(xué)模型以外，還必須根據(jù)實(shí)際情況作出一些必要的假設(shè)，使所得到的力學(xué)模型簡(jiǎn)化，便于求解。本篇以碰撞和單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)為例，說明工程具體問題的分析和處理方法，以便進(jìn)一步理解、掌握理論力學(xué)的基本理論和基本方法。引 言2第十三章 碰撞理論力學(xué)3動(dòng)力學(xué) 在前面討論的問題中，物體在力的作用下，運(yùn)動(dòng)速度都是連續(xù)地、逐漸地改變的。本章研究另一種力學(xué)現(xiàn)象碰撞，物體發(fā)生碰撞時(shí)，會(huì)在非常短促的時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)速度突然發(fā)生有限的改變。本章研究的主

2、要內(nèi)容有碰撞現(xiàn)象的特征，用于碰撞過程的基本定理，碰撞過程中的動(dòng)能損失，撞擊中心。4 131 概述 13-2 兩物體的對(duì)心碰撞 133 剛體的偏心碰撞 134 碰撞沖量對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的 作用撞擊中心 小結(jié) 第十三章 碰 撞5動(dòng)力學(xué)13-1概 述 2.碰撞現(xiàn)象的基本特征：物體的運(yùn)動(dòng)速度或動(dòng)量在極短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生有限的改變。碰撞時(shí)間之短往往以千分之一秒甚至萬(wàn)分之一秒來(lái)度量。因此加速度非常大，作用力的數(shù)值也非常大。 1.碰撞：運(yùn)動(dòng)著的物體在突然受到?jīng)_擊（包括突然受到約束或解除約束）時(shí)，其運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生急劇的變化，這種現(xiàn)象稱為碰撞。 3. 碰撞力（瞬時(shí)力）：在碰撞過程中出現(xiàn)的數(shù)值很大的力稱為碰撞力；由于其

3、作用時(shí)間非常短促，所以也稱為瞬時(shí)力。一、碰撞及碰撞力6動(dòng)力學(xué) 設(shè)榔頭重10N，以v1=6m/s的速度撞擊鐵塊，碰撞時(shí)間 =1/1000s , 碰撞后榔頭以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔頭打擊鐵塊的力的平均值。 的投影形式得碰撞力的變化大致情況如圖所示。平均打擊力 ，是榔頭重的765倍。以榔頭打鐵為例說明碰撞力的特征：以榔頭為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)量定理7動(dòng)力學(xué) 可見，即使是很小的物體，當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度很高時(shí)，瞬時(shí)力可以達(dá)到驚人的程度。有關(guān)資料介紹，一只重17.8N的飛鳥與飛機(jī)相撞，如果飛機(jī)速度是800km/h，（對(duì)現(xiàn)代飛機(jī)來(lái)說，這只是中等速度），碰撞力可高達(dá)3.56105N，即為鳥重的2萬(wàn)倍！這是航空

4、上所謂“鳥禍”的原因之一。 害的一面： “鳥禍”、機(jī)械、儀器及其它物品由于碰撞損壞等。 利的一面：利用碰撞進(jìn)行工作，如鍛打金屬，用錘打樁等。 研究碰撞現(xiàn)象，就是為了掌握其規(guī)律，以利用其有利的一 面，而避免其危害。8動(dòng)力學(xué) （1）在碰撞過程中，重力、彈性力等普通力與碰撞力相比小得多，其沖量可以忽略不計(jì)。但必須注意，在碰撞前和碰撞后，普通力對(duì)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變作用不可忽略。 （2）由于碰撞時(shí)間極短，而速度又是有限量，所以物體在碰撞過程的位移很小，可以忽略不計(jì)，即認(rèn)為物體在碰撞開始時(shí)和碰撞結(jié)束時(shí)的位置相同。4.兩個(gè)基本假設(shè)：9二、碰撞過程與恢復(fù)系數(shù) 兩物體碰撞時(shí)，碰撞物體表面在接觸點(diǎn)的公法線稱為碰撞

5、線。如果碰撞時(shí)兩物體的質(zhì)心都位于碰撞線上則稱為對(duì)心碰撞；物體的質(zhì)心不在碰撞線上的碰撞則稱為偏心碰撞。 1.碰撞過程10動(dòng)力學(xué)請(qǐng)看動(dòng)畫11動(dòng)力學(xué) 設(shè)一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿鉛直方向落到水平的固定平面上，如圖所示。請(qǐng)看動(dòng)畫12動(dòng)力學(xué) 第一階段：開始接觸至變形達(dá)到最大。該階段中，小球動(dòng)能減小,變形增大。即變形階段。碰撞過程分為兩個(gè)階段： 第二階段：由彈性變形開始恢復(fù)到脫離接觸。該階段中，小球動(dòng)能增大，變形（彈性）逐漸恢復(fù)。即恢復(fù)階段。13動(dòng)力學(xué) 第一階段：設(shè)碰撞沖量為 ，則應(yīng)用沖量定理在y 軸投影式 第二階段：設(shè)碰撞沖量為 ，則：2.恢復(fù)系數(shù)對(duì)于給定材料，|v|與|v|的比值是不變的，該比值稱為恢復(fù)系

6、數(shù)。由實(shí)驗(yàn)測(cè)定14動(dòng)力學(xué)一般0k1，各種材料的恢復(fù)系數(shù)，可查閱書中表。 k=1 理想情況完全彈性碰撞。 k=0 極限情況非彈性碰撞或塑性碰撞?；蚴街衯1、v2和v1、 v2分別是兩物體碰撞前后的速度。15動(dòng)力學(xué)三、碰撞時(shí)的動(dòng)力學(xué)基本定理 在理論力學(xué)中，我們關(guān)心的主要是由于碰撞沖量的作用而使物體運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生的變化。因此，動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理就成了研究碰撞問題的主要工具。1、用于碰撞過程的動(dòng)量定理沖量定理。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 m，碰撞開始時(shí)的速度 ，結(jié)束瞬時(shí)的速度 ，碰撞沖量 ，不計(jì)普通力的沖量，則質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式為：16動(dòng)力學(xué) 對(duì)于有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，將作用于第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的碰撞沖量分

7、為外碰撞沖量 和內(nèi)碰撞沖量 ，則有：將這n個(gè)方程相加, 且 (內(nèi)碰撞沖量總是成對(duì)出現(xiàn)的),故沖量定理 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量M， 分別為碰撞結(jié)束和碰撞開始時(shí)質(zhì)心的速度，則利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，上式可寫成：17動(dòng)力學(xué) 碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外碰撞沖量的矢量和。 由假設(shè)(2)知，碰撞過程中，質(zhì)點(diǎn)的矢徑 保持不變，則有： 以上三式都寫成投影形式，形式上與普通的動(dòng)量定理相同，所不同的是在這里都不計(jì)普通力的沖量。2、用于碰撞過程的動(dòng)量矩定理沖量矩定理 而 ； 為碰撞始末時(shí)質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩。 是碰撞沖量 對(duì)O點(diǎn)的矩，所以：18動(dòng)力學(xué) 碰撞時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)動(dòng)量矩的改變，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)的碰撞

8、沖量對(duì)同一點(diǎn)之矩。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系,由于內(nèi)碰撞沖量對(duì)任一點(diǎn)的矩之和等于零,于是有沖量矩定理 上式也可寫成投影形式，且式中均不計(jì)普通力的沖量矩。 在碰撞過程中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩的改變，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外碰撞沖量，對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和。19對(duì)心碰撞：碰撞時(shí)兩物體質(zhì)心的連線與接觸點(diǎn)公法線重合。動(dòng)力學(xué)13-2 兩物體的對(duì)心碰撞對(duì)心正碰撞與對(duì)心斜碰撞：碰撞時(shí)兩質(zhì)心的速度也都沿兩質(zhì)心連線方向，則稱為對(duì)心正碰撞（正碰撞），否則稱為對(duì)心斜碰撞（斜碰撞）。 20動(dòng)力學(xué)一、兩球的對(duì)心正碰撞例如：兩物體碰撞 碰撞前： 碰撞結(jié)束： （沿質(zhì)心連線） 分析碰撞結(jié)束時(shí)兩質(zhì)心的速度。1.碰撞后的速度21動(dòng)力學(xué)研究對(duì)象：

9、兩物體組成的質(zhì)點(diǎn)系。 由沖量定理，得：分析：列出補(bǔ)充方程：（分別以兩物體為研究對(duì)象，應(yīng)用動(dòng)量定理可得出。具體地對(duì)于第一階段：對(duì)于第二階段：22動(dòng)力學(xué) 對(duì)于兩物體正碰撞的情況，恢復(fù)系數(shù)等于兩物體在碰撞結(jié)束與碰撞開始時(shí)，質(zhì)心的相對(duì)速度大小的比值。) 聯(lián)立(1),(2)式，解得：對(duì)于完全彈性碰撞（k=1）：(碰撞后兩物體交換速度)23動(dòng)力學(xué)對(duì)于塑性碰撞（k =0）：對(duì)于一般情況（0k 1）：2.正碰撞過程中的動(dòng)能損失 碰撞開始： 碰撞結(jié)束：則動(dòng)能損失：24動(dòng)力學(xué)由正碰撞結(jié)束時(shí)兩質(zhì)心的速度公式知：代入上式中，得：25動(dòng)力學(xué) 系統(tǒng)動(dòng)能沒有損失,可以利用機(jī)械能守恒定律求碰撞后的速度?；蛩苄耘鲎矔r(shí)損失的動(dòng)能

10、等于速度損耗的動(dòng)能。(1) 對(duì)于完全彈性碰撞（k =1）：(2) 對(duì)于塑性碰撞 （k =0）：若v2=0，則(3) 對(duì)于彈性碰撞 （0k 1 ）：(恒為正值）26 例1 打樁機(jī)。錘：m1，下落高度h；樁：m2，下沉 。兩者塑性碰撞。求碰撞后樁的速度和泥土對(duì)樁的平均阻力。動(dòng)力學(xué)解：碰撞開始時(shí)， 錘速 ， 樁速 塑性碰撞后， 根據(jù)動(dòng)能定理,計(jì)算下沉 過程中,泥土對(duì)樁的平均阻力R。27動(dòng)力學(xué) 由于右端前兩項(xiàng)遠(yuǎn)比第三項(xiàng)小,往往可以略去,于是上式可寫為：28動(dòng)力學(xué)例2 汽錘鍛壓金屬。汽錘m1=1000kg，錘件與砧塊總質(zhì)量m2=15000kg，恢復(fù)系數(shù)k =0.6，求汽錘的效率。 若將鍛件加熱，可使k

11、減小。當(dāng)達(dá)到一定溫度時(shí)，可使錘不回跳，此時(shí)可近似認(rèn)為k =0，于是汽錘效率解：汽錘效率定義為29二、兩球的對(duì)心斜碰撞 兩球組成一質(zhì)點(diǎn)系，因不受外碰撞沖量作用，故碰撞前后的動(dòng)量相等。 碰撞前后兩者各自的動(dòng)量在公切線方向分別相等，從而有 30根據(jù)定義 可得和、式中 、 和 、 分別為速度 、 和 、 在公法線方向的投影。31例 小球與固定面作斜碰撞。設(shè)碰撞前后小球速度方向與固定面法線間的夾角分別為 、 ，且固定面光滑。試計(jì)算其恢復(fù)系數(shù)。32解：因固定面光滑，故 速度的投影 ； 故有即33例 球A 與球B大小相同質(zhì)量相等，高度h=1m，沿繩索的方向自由落下，撞擊球B。設(shè)兩球?yàn)楣饣耆珡椥耘鲎玻笈鲎?/p>

12、后兩球的速度。解：碰撞前球A的速度球B處于靜止，其速度3413-3 剛體的偏心碰撞 如果剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，碰撞前剛體平行于此平面運(yùn)動(dòng)，當(dāng)碰撞沖量也作用在對(duì)稱平面內(nèi)時(shí)，碰撞結(jié)束后，剛體將仍然保持在此平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。 根據(jù) 可得 即剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程的積分形式，可用于解決剛體平面運(yùn)動(dòng)的碰撞問題。35例 飛機(jī)著陸時(shí)，水平速度v=40m/s，經(jīng)過t=0.1s后，輪子開始滾而不滑。設(shè)輪子半徑為R=800mm，平均變形為 ，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ，不考慮鉛垂方向的運(yùn)動(dòng)，并設(shè)碰撞是塑性的。求此時(shí)摩擦力F的平均值。解：輪胎由碰撞前的平動(dòng)改變?yōu)榕鲎埠蟮钠矫孢\(yùn)動(dòng)。有平均摩擦力為假定t秒內(nèi)飛機(jī)水平速度未有顯著變化，近似地有則

13、36 例 均質(zhì)立方體質(zhì)量m、邊長(zhǎng)a，以 勻速沿光滑水平面滑動(dòng)，在某瞬時(shí)棱邊A突然碰到小臺(tái)階。設(shè)碰撞是塑性的，且A處的總碰撞沖量在垂直于棱邊并通過物體質(zhì)心C的平面內(nèi)。求物體在碰撞后能繞棱邊A翻轉(zhuǎn)90所需的最小速度 。解：先求碰撞后物體的角速度，然后求物體翻轉(zhuǎn)90所需的初角速度，最終求得 。碰撞后物體由平動(dòng)變?yōu)槔@定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 碰撞前物體對(duì)A的動(dòng)量矩碰撞后=碰撞沖量IA對(duì)棱邊A的矩等于零 ，故得 37碰撞過程結(jié)束時(shí)，物體具有繞棱邊A轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 ，翻轉(zhuǎn)90后的動(dòng)能用T表示。由動(dòng)能定理其中 于是有只有當(dāng)動(dòng)能T稍大于零，物體才可能向前翻轉(zhuǎn)90。因此即碰撞前物體的最小速度38 例 均質(zhì)桿長(zhǎng)l、質(zhì)量m，與鉛垂

14、線成 角，在鉛垂平面內(nèi)作平動(dòng)，當(dāng)一端A觸及水平面時(shí)，桿的速度為v0。設(shè)碰撞是塑性的，且接觸點(diǎn)粗糙足以阻止桿端A的滑動(dòng)。求碰撞后桿的角速度和桿所受的碰撞沖量。解：碰撞前桿對(duì)點(diǎn)A的動(dòng)量矩等于碰撞后的動(dòng)量矩=碰撞前后桿對(duì)點(diǎn)A的動(dòng)量矩相等，即從而求得39取直角坐標(biāo)軸有代入運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系便可求得 由此可確定作用于桿端點(diǎn)A的反力碰撞沖量IA的大小和方向。40動(dòng)力學(xué)13-4 碰撞沖量對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作用 撞擊中心 設(shè)剛體繞固定軸z 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IZ，受到外碰撞沖量 的作用。 碰撞開始時(shí) 碰撞結(jié)束時(shí) 由沖量矩定理在 z 軸上的投影式，有：41動(dòng)力學(xué)下面研究碰撞時(shí)軸承反力的碰撞沖量 的計(jì)算及消除條件： 設(shè)剛體

15、有對(duì)稱面，繞垂直此平面的固定軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量M，質(zhì)心C點(diǎn)且OC= a， 作用在對(duì)稱平面內(nèi)K點(diǎn)，OK=l，則有 碰撞時(shí)剛體角速度的改變，等于作用于剛體的外碰撞沖量對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩的代數(shù)和 除以剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。42動(dòng)力學(xué)應(yīng)用沖量定理，有于是 若使剛體在軸承處不受碰撞沖量作用, 即使43動(dòng)力學(xué)滿足 的點(diǎn)k 稱為撞擊中心。 欲使轉(zhuǎn)動(dòng)剛體（具有與 轉(zhuǎn)軸垂直的對(duì)稱面）的軸承處不產(chǎn)生碰撞沖量，必須使碰撞沖量（作用在剛體對(duì)稱面內(nèi)）垂直于轉(zhuǎn)軸O與質(zhì)心C的連線，并作用于撞擊中心。 則須撞擊中心的概念在實(shí)踐中有許多應(yīng)用。44動(dòng)力學(xué)例3 均質(zhì)桿質(zhì)量M，長(zhǎng)2a，可繞通過O點(diǎn)且垂直于圖面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，桿由水平無(wú)初速落下，撞到一質(zhì)量為m 的固定物塊。設(shè)恢復(fù)系數(shù)為k，求碰撞后桿的角速度，碰撞時(shí)軸承的碰撞沖量及撞擊中心的位置。解：碰撞開始時(shí)，由動(dòng)能定理：碰撞結(jié)束時(shí)：求得：45動(dòng)力學(xué)根據(jù)沖量定理，得：撞擊中心的位置：46動(dòng)力學(xué)2、研究碰撞問題的兩個(gè)基本假設(shè)： (1) 在碰撞過程中，普通力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于碰撞力，可以忽略不計(jì)； (2) 物體在碰撞過程中不發(fā)生位移。小 結(jié)1、碰撞現(xiàn)象的主要特征： 碰撞過程時(shí)間極短，碰撞力非常大，它使物體的速度在極短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生有限的變化。3、研究碰撞問題的兩個(gè)基本定理是沖量定