圓錐曲線秒殺法

1、圓錐曲線秒殺法圓錐曲線秒殺法圓錐曲線秒殺法圓錐曲線秒殺法吳磊研究高考作文之余，自己也研究高考數(shù)學的秒殺方法，主要包含隱函數(shù)求導、柯西不等式、仿射、參數(shù)方程、極點極線一、圓錐曲線部分小題用到的方法1、橢圓C：x2/8+y2/2=1與斜率K=1/2的直線l相切，則切點坐標為_:傳統(tǒng)方法我就不講了，講兩種秒殺法法一、隱函數(shù)求導直接對C：x2/8+y2/2=1求對于X導數(shù)可得x/4+yy=0，帶入K=1/2，x=-2y,帶入橢圓方程，很簡單解出切點為(-2,1)和(2,-1)；法二、縮放坐標將橢圓縮放成圓利用圓的性質迅速解題，將X軸壓縮為本來的1/2，即x=2x(這里不是導數(shù)，只表示一個未知數(shù))；斜率

2、K=2K=1，橢圓化為圓C:x2+y2=2;很簡單求得I與C相切(-1,1)和(1,-1)，復原，可知I與C相切于(-2,1)和(2,-1)2、橢圓C：x2/4+y2/3=1上的點到直線L:x-2y-1=0距離的取值范圍為:_法一、直接用柯西不等式橢圓和直線訂交，最小距離為線l與l的距離，0，最大距離為橢圓C與l平行的切l(wèi)=x-2y+b=0;結構柯西不等式可知(x2/4+y2/3)（4+12）(x-2y)2;-4b4;把4和-4代入l；再利用平行線距離公式求I和l距離，最大距離為因此0d法二、縮放坐標系橢圓和直線訂交，最小距離為0，最大距離為橢圓C與l平行的切線l與l的距離。l=x-2y+b=

3、0；縮放y=3/2y；橢圓C縮放后方程C為:x2+y2=4；l縮放后表達式為l=x-3y+b=0,C與l相切，利用點到直線距離為半徑，簡單求的b=4和-4；再利用平行線距離公式很簡單求得范圍為0d3、過定點(4、0)的直線l與橢圓C：x2/4+y2=1有公共點，則直l斜率K取值范圍為:_法一、直接用柯西不等式l:my=x-4,則x-my=4;結構柯西不等式，(x2/4+y2)（22+m2）(x-my)2可得，m212,注意是反設斜率，故k=1/m;很簡單解出k的范圍為-3/6k3/6法二、縮放坐標l:my=x-4，x=2xC:x2+y2=1;I:my=2x-4,用點到直線距離公式，d=4/(4

4、+m2)1；可解的m212,注意是反設斜率，故k=1/m;很簡單解出k的范圍為-3/6k3/6二、柯西不等式柯西不等式在高中數(shù)學提高中特別重要，是高中數(shù)學研究內容之一，是求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時常常使用的理論依據(jù)，技巧以拆常數(shù)，湊常值為主?？挛鞑坏瓤挛鞑坏仁?方和積不小于積和方a12a22an2b12b22bn2a1b1a2b22anbn當且僅當b1b2bn0或a1a2an時取等b1b2bn柯西不等式的主要變形公式變形公式1a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna12a22an2?b12b22bn2取等條件同變形公式22a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bna1b

5、1a2b2anbna1b1a2b2anbna1a2anb1b2變形公式3a12a22an2b12b22bn2a1b12a2b22anbn2柯西不等式三角公式變形公式4a12a22an2a1a2an2取等條件同b1b2bnb1b2bn變形公式5a1a2ana1a22an取等條件同b1b2bna1b1a2b2anbn三、仿射四、參數(shù)方程橢圓參數(shù)方程吳磊一、沒吃過豬肉，你還沒見過豬跑x=acos；y=bsin是一組我們熟習而又陌生的方程，可問題是你真懂他們的含義嗎終究是個什么東東，和圓參數(shù)方程和極坐標方程中是一個意思嗎1、從一道百分之九十以上人都做錯的簡單題張開例1、P是橢圓C上一點:x=4cos;

6、y=23sin且在第一象O（O為原點）P的傾斜角為/3，則P點的坐標為_經(jīng)典錯法:因為傾斜角為/3，x=4cos;y=23sin，因此x=4cos/3=2;y=23sin/3=3求得P坐標（2、3）正解:橢圓參數(shù)方程是旋轉而成的圓心角而不是傾斜角因為OP的傾斜角為/3，故OP的斜率K=tan/3=3；3=y/x23sin/4cos=3(1)限，可解sincos=5/52+cosa2=1sin=25/5(2)P聯(lián)立二式，P在第一象點坐標為(45/5、415/5)2、橢圓參數(shù)方程的推導和含義解說3、橢圓參數(shù)方程的想法可能有的同學會依據(jù)焦點在X軸:x=acos；y=bsin焦點在Y軸:x=bcos；

7、y=asin去記憶，老師告訴你別這么理解，你只需記著的，cos和擴大諧音，參數(shù)方程復原主要看焦點在哪個軸，他在哪個下邊。cos對應的系數(shù)是a和b中大cos前的系數(shù)，它必定是大的，二、橢圓參數(shù)方程妙用1、橢圓內內接面積問題例1:可設A(10cos；8sin)，利用對稱性可知B(10cos；-8sin)C(-10cos；-8sinAB長度為16sin)；D(-10cos；8sin；AD長度為20cos，)矩形面積S=160sin2，由三角函數(shù)知識可知，面積最大為160例2：解:要使SOAPB最大，由圖可知SOAB為定值，需求出P到直線AB距離，距離最大時S，進而S最大，用橢圓參數(shù)方程設P為x=ac

8、os；y=bsinBPA最大OAPB直線AB的方程為:x/a+y/b=1用P到AB的距離公式能夠求得距離最大ab(2-1)2,SOAPB=ab2/22、橢圓有關距離問題例1:解:用橢圓參數(shù)方程設P為x=2cos；y=sin；A(0,3/2)由點到距離公式可知AP最大為5/2,因此PQ最大值為3例2:橢圓拘束下二次型最值問題解:用橢圓參數(shù)方程解，轉變成三角函數(shù)最值問題。因為b2和4大小未知，明顯需要分類討論0b2，時P(x=2cos；y=bsin),轉變成求4cos2+2bsin最大值可求得最大值為(b2/4)+4b2P(x=bcos；y=2sin),轉變成求b2cos2+4sin最大值可求得最

9、大值為2b3、橢圓與向量求范圍、求值問題1已知橢圓E：,A在E上（1,1/2），若點P在E上知足1）求t的范圍2）過原點O的直線交E于BC，求SBCA的最大值:Smax=2五、極點極線圓錐曲線的極點與極線理論在高考取應用好多，原由有二：其一，有高等數(shù)學背景，結論特別圓滿；其二，運用高中知識解決問題，能夠察看學生思想、計算多方面能力。掌握有關極點與極線的基天性質，才能“看破”試題中包含的有關極點與極線的知識背景，做題事半功倍。1.從幾何角度看極點與極線AEP定義1如圖1，設P是不在圓錐曲線上的一點，過P點引FN兩條割線挨次交圓錐曲線于四點E,F,G,H，連結EH,FGGHB交于N，連結EG,FH

10、交于M，則直線MN為點P對應的極線.M圖1若P為圓錐曲線上的點，則過P點的切線即為極線.由圖1同理可知，PM為點N對應的極線，PN為點M所對應的極線.因此將MNP稱為自極三點形.設直線MN交圓錐曲線于點A,B兩點，則PA,PB恰為圓錐曲線的兩條切線.定理1(1)當P在圓錐曲線上時，則點P的極線是曲線在P點處的切線；(2)當P在外時，過點P作的兩條切線，設其切點分別為A,B，則點P的極線是直線AB(即切點弦所在的直線)；(3)當P在內時，過點P任作一割線交于A,B，設在A,B處的切線交于點Q，則點P的極線是動點Q的軌跡.定理2如圖2，設點P對于圓錐曲線的極線為l，過點P任作一割線交于A,B，交l

11、于Q，則PAPB；反之，如有建立，則稱點P,Q調解切割線段AQBQPAB，或稱點P與Q對于調解共軛，或稱點P(或點Q)對于圓錐曲線A的調解共軛點為點Q(或點P).點P對于圓錐曲線的調Ql和共軛點是一條直線，這條直線就是點P的極線.B圖2推論1如圖2，設點P對于圓錐曲線的調解共軛點為點Q，則有211PQPA；反之，如有建立，PB則點P與Q對于調解共軛.能夠證明與是等價的.事實上，由有AQBQPQPAPBPQPQ11PQPQ(11)2PAPBPAPBPAPBPAPB211PQ.PAPB特別地，我們還有推論2如圖3，設點P對于有意圓錐曲線(設此中心為O)的調解共軛點為點Q，PQ連線經(jīng)過圓錐曲線的中心

12、，則有OR2OPOQ，反之如有此式建立，則點P與Q對于調解共軛.證明：設直線PQ與的另一交點為R，則PRPROPOROPOR，化簡PRQRQOROQOROQR即可得OR2QOPOQ.反之由此式可推出OR圖3PRPR，即點P與Q對于調解共軛.RQRQ推論3如圖4，A,B圓錐曲線的一條對稱軸l上的兩點(不在上)，若A,B對于調和共軛，過B任作的一條割線，交于P,Q兩點，則PABQAB.證明：因對于直線l對稱，故在上存在AP,Q的對稱點P,Q.若P與Q重合，則Q與P也重合，此時P,Q對于l對稱，有PABQAB；若P與Q不重合，則Q與P也不重合，因為A,B對于調解共軛，故A,B為上完滿四點形PQQP的

13、對邊交點，即Q在PA上，故AP,AQ對于直線l對稱，也有PABQAB.定理3(配極原則)點P對于圓錐曲線PQRlBQPR圖4的極線p經(jīng)過點Q點Q對于的極線q經(jīng)過點P；直線p對于的極點P在直線q上直線q對于的極點Q在直線p上.由此可知，共線點的極線必共點；共點線的極點必共線.以上未加證明的定理，可參閱有關高等幾何教材，如【1】，此中定理1的初等證法可參閱文【2】.從代數(shù)角度看極點與極線定義2已知圓錐曲線:Ax2Cy22Dx2EyF0，則稱點P(x0,y0)和直線l:Ax0 xCy0yD(xx0)E(yy0)F0是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以x0 x取代x2，以x0 x取

14、代x，以y0y取代2y2，以y0y取代y即可獲得點P(x0,y0)的極線方程.2特別地：(1)對于橢圓x2y21，與點P(x0,y0)對應的極線方程為x0 xy0y1；a2b2a2b2x2y21x0 xy0y1；(2)對于雙曲線b2，與點P(x0,y0)對應的極線方程為b2a2a2(3)對于拋物線y22px，與點P(x0,y0)對應的極線方程為y0yp(x0 x).(4)假如圓錐曲線是橢圓x2y21，當P(x0,y0)為其焦點F(c,0)時，極線恰為a2b2橢圓的準線；假如圓錐曲線是雙曲線x2y21，當P(x0,y0)為其焦點F(c,0)時，極a2b2線恰為雙曲線的準線；假如圓錐曲線是拋物線y

15、22px，當P(x0,y0)為其焦點F(p,0)時，極線恰為拋物線的準線.2從極點與極線角度看圓錐曲線試題【例1】(2010江蘇卷文理18)在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓x2y291的左右極點為A,B，右焦點為F設過點T(t,m)的直線TA,TB與此橢圓5分別交于點M(x1,y1),N(x2,y2)，此中m0，y10，y20(1)設動點P知足PF2PB24，求點P的軌跡；(2)設x12，x21，求點T的坐標；3(3)設t9，求證：直線MN必過x軸上的必定點（其坐標與m沒關）分析與解：前面兩問比較簡單，這里從略.yT(t,m)對于(3)，當t9時，T點坐標為(9,m)，M連MN，設直線

16、AB與MN的交點為K，依據(jù)AOKBx極點與極線的定義可知，點T對應的極線經(jīng)過K，N圖5又點T對應的極線方程為9xmy91，即5xmy，此直線恒過x軸上的定點K(1,0)，15進而直線MN也恒過定點K(1,0).【例2】(2008安徽卷理22)設橢圓C:x2y22,1)，且221(ab0)過點M(ab左焦點為F1(2,0).求橢圓C的方程；(2)當過點P(4,1)的動直線l與橢圓C交于兩個不一樣樣的點A,B時，在線段AB上取點Q，知足APQBAQPB，證明點Q總在某定直線上.yP分析與解：(1)易求得答案x2y21.QBOx42APAPB圖6(2)由條件可有，說明點P,Q對于AQBQ圓錐曲線C調

17、解共軛.依據(jù)定理2，點Q的軌跡就是點P對應的極線，即4x1y1，化簡得2xy20.42故點Q總在定直線2xy20上.【例3】(1995全國卷理26)已知橢圓C:x2y21，直線l:xy1，P是l2416128上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且知足OQOPOR2，當點P在l上挪動時，求點Q的軌跡方程.,并說明軌跡是什么曲線.分析與解：由條件知OR2OPOQ可知點P,Q對于圓錐曲線C調解共軛，而Q可看作是點P的極線與直線OP的交點.P(12t,88t)，則與P對應的極線方程為12tx(88t)yy241，化簡得16PQ.Rtx(1t)y2xO又直線OP的方程為y88tx，化簡得12t圖

18、722tx3t解由聯(lián)立方程組得x6t5t24t2，消去t得2x23y24x6y，可化為x44t5t24t2(x1)2(y1)21(x,y不一樣樣時為0)，故點Q的軌跡是以(1,1)為中心，長短軸分別5523yB為10和15，且長軸平行于x軸的橢圓，但需去掉坐標原點.F23AOxP8【例4】(2006年全國卷II理21)已知拋物線x24y的焦點為F，A,B是拋物線上的兩動點，且AFFB(0)，過A,B兩點分別作拋物線的切線，并設其交點P.證明FPAB為定值；(2)設ABP的面積為S，寫出Sf()的表達式，并求S的最小值.分析與解：(1)明顯，點P的極線為AB，故可設點P(x0,1)，再設A(x1

19、,y1),B(x2,y2)，F(xiàn),A,B三點對應的極線方程分別為y1，x1x2(y1y)，x2x2(y2y)，因為A,B,F三點共線，故相應的三極線共點于P(x0,1)，將y1代入后邊兩個極線方程得x1x02(y11)，兩式相減得x2x02(y21)(x1x2)x02(y1y2).又FP(x0,2),AB(x2x1,y2y1)，故FPABx0(x2x1)2(y2y1)0.(2)設AB的方程為ykx1，與拋物線的極線方程x0 x2(y0y)比較可知直線AB對應的極點為P(2k,1)，把ykx1代入x24y并由弦長公式得AB4(1k2)，因此SABP1ABFP2(1k2)4(1k2).y2B明顯，當k0