窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器

1、 廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院第五章 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)5.2 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器主要內(nèi)容一、窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器的基本思想二、Gibbs（吉伯斯）現(xiàn)象三、常用窗函數(shù)四、Kaiser(凱澤)窗重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)1、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本思想難點(diǎn)1、常用窗函數(shù)一、基本思想問題： 理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd (ejW )已知，如何設(shè)計(jì)一物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器，使其頻響特性逼近Hd (ejW )? hd k一般情況下是無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，需對(duì)其進(jìn)行截短和因果化處理。一、基本思想 可實(shí)現(xiàn)性處理方案 方案一：(1) 將hdk 關(guān)于k =0對(duì)稱截短，即hk= hdk, -Lk L(2) 若

2、 hk非因果系統(tǒng)，可將其右移使其成為因果系統(tǒng)hk= hdk - L， 0k 2L只能設(shè)計(jì)I型或III型線性相位FIR濾波器(1) 由下式計(jì)算hd k：(2) 計(jì)算出hdk后，取其在0 k M范圍的值：hk= hdk， 0k M一、基本思想 可實(shí)現(xiàn)性處理方案 方案二：可設(shè)計(jì)四種類型的線性相位FIR濾波器一、基本思想 第二種方法的設(shè)計(jì)結(jié)果分析等于零，即hk= hdk, 0k M最?。》e分平方誤差：由Parseval定理結(jié)論：上述方法所設(shè)計(jì)的濾波器是在積分平方 誤差最小意義下的最佳濾波器。 一、基本思想（采用方案二）1根據(jù)要求確定線性相位FIR濾波器的類型2確定理想濾波器的幅度函數(shù)Ad(W)和相位函

3、數(shù)fd(W) 3按照下式計(jì)算IDTFT得hdk4截短hdk得：hk= hdk， 0k M最小積分平方誤差設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟：fd(W)= -0.5MW +b例1：設(shè)計(jì)一個(gè)幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線性相位FIR濾波器。 解： (1) 確定線性相位FIR濾波器類型：可選用I型或II型(2) 確定理想濾波器的幅度函數(shù)Ad(W)：fd(W)= -0.5MW (3) 確定理想濾波器的相位fd(W)：例1：設(shè)計(jì)一個(gè)幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線性相位FIR濾波器。解：(4) 計(jì)算IDTFT得hdk(5) 截?cái)鄅dk長(zhǎng)度為N=M+1的矩形窗例1：設(shè)計(jì)一個(gè)幅度響應(yīng)能逼近理想帶通濾波器的線性相位FI

4、R濾波器。解：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng) 幅度函數(shù) 取Wc1=0.3p，Wc2=0.7p，M =30時(shí)，有： 二、Gibbs（吉伯斯）現(xiàn)象00.250.50.751-40-30-21-100M=14M=30矩形窗設(shè)計(jì)的FIR低通濾波器在不同階數(shù)時(shí)的幅度函數(shù)(Wc=p/2) 所設(shè)計(jì)濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象，且最大波紋大約為幅度的9%，這個(gè)現(xiàn)象稱為Gibbs 現(xiàn)象。 二、吉伯斯現(xiàn)象 產(chǎn)生吉伯斯現(xiàn)象原因分析由于所設(shè)計(jì)濾波器的單位脈沖響應(yīng)N=M+1利用DTFT的性質(zhì)可得所設(shè)計(jì)FIR濾波器的頻率響應(yīng) H(ejW)逼近Hd(ejW)的好壞，取決于窗函數(shù)的頻譜WN(ejW) 窗函數(shù)的頻譜二、吉伯斯現(xiàn)象

5、 長(zhǎng)度為N的矩形窗窗函數(shù)的頻譜2pNN04pNWp3pN矩形窗的幅度函數(shù)W(W)1. W(W)的主瓣寬度：4p/N2. 旁瓣相對(duì)衰減為常數(shù)：=13dB二、吉伯斯現(xiàn)象 矩形窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejW)FIR濾波器的幅度函數(shù)：二、吉伯斯現(xiàn)象 矩形窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejW )H(ejW)主要由主瓣的面積確定。H(ejW)的波動(dòng)由旁瓣引起。FIR濾波器的幅度函數(shù)：二、吉伯斯現(xiàn)象 矩形窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejW)H(ejW)逐漸減小，形成了濾波器的過(guò)渡帶。 FIR濾波器過(guò)渡帶的寬度和窗函數(shù)主瓣的寬度密切相關(guān)。 FIR濾波器的幅度函數(shù)：二、吉伯斯現(xiàn)象 矩形窗設(shè)計(jì)FIR

6、濾波器的頻率響應(yīng)H(ejW)H(ejW)完全由旁瓣的面積確定。 旁瓣的大小決定了FIR濾波器在阻帶的衰減。 FIR濾波器的幅度函數(shù)：二、吉伯斯現(xiàn)象 矩形窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejW) 矩形窗截?cái)喈a(chǎn)生的波峰大約是9%，故用矩形窗設(shè)計(jì)出的濾波器阻帶最大衰減為： -20lg0.0921dB FIR濾波器的幅度函數(shù)：二、吉伯斯現(xiàn)象 結(jié)論1. 窗函數(shù)的主瓣寬度決定了H(ejW )過(guò)渡帶(4/N)的寬度,窗函數(shù)長(zhǎng)度N增大，過(guò)渡帶減小。2. 旁瓣的大小決定了FIR濾波器在阻帶的衰減。用矩形窗設(shè)計(jì)出的濾波器阻帶最大衰減為： 20lg(9%)-21dB 如何提高阻帶衰減?選用旁瓣幅度較小的窗函數(shù)三、常

7、用窗函數(shù) 矩形窗Ap =-20lg(1-dp) 0.82dB, As = -20lg(ds ) 21dBdp=ds=0.09三、常用窗函數(shù) Hann(漢納/漢寧)窗(w=hanning(M+1)Ap =-20lg(1-dp) 0.056dB, As=-20lg(ds ) 44dBdp=ds =0.0064三、常用窗函數(shù) Hamming(哈明/漢明)窗(w=hamming(M+1)Ap 0.019dB, As 53dBdp=ds =0.0022N三、常用窗函數(shù) Blackman (布萊克曼)窗(w=blackman(M+1)Ap 0.0017dB，As 74dBdp=ds =0.0002N三、常

8、用窗函數(shù)常用窗函數(shù)性質(zhì)此處 N 為窗的長(zhǎng)度。例2：用非矩形窗設(shè)計(jì)截頻為Wc =0.5p的線性相位理想低通濾波器，并將設(shè)計(jì)結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計(jì)結(jié)果比較。解：(1) 確定線性相位FIR濾波器類型：可選用I型或II型fd(W)= -0.5MW(2) 確定理想濾波器的幅度函數(shù)Ad(W)和相位fd(W)(3) 計(jì)算IDTFT得hdk(4) 截?cái)鄅dk可以是漢寧窗、哈明窗或Blackman窗矩形窗和漢寧窗設(shè)計(jì)的低通對(duì)比00.250.50.751-80-60-44-200Square Hanning例2：用非矩形窗設(shè)計(jì)截頻為Wc =0.5p的線性相位理想低通濾波器，并將設(shè)計(jì)結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計(jì)結(jié)果比較。矩形

9、窗和哈明窗設(shè)計(jì)的低通對(duì)比00.250.50.751-80-60-52-200Square Hamming例2：用非矩形窗設(shè)計(jì)截頻為Wc =0.5p的線性相位理想低通濾波器，并將設(shè)計(jì)結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計(jì)結(jié)果比較。矩形窗和Blackman窗設(shè)計(jì)的低通對(duì)比00.250.50.751-100-75-60-40-200Square Blackman例2：用非矩形窗設(shè)計(jì)截頻為Wc =0.5p的線性相位理想低通濾波器，并將設(shè)計(jì)結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計(jì)結(jié)果比較。四、Kaiser(凱澤)窗b 是一可調(diào)參數(shù)，調(diào)節(jié)窗函數(shù)的形狀。I0(x ): 零階第一類修正貝塞爾函數(shù)。I0(x )可用冪級(jí)數(shù)表示為：一般求20項(xiàng)就能達(dá)到

10、所需精度。 定義( w=kaiser(N,beta) )四、Kaiser(凱澤)窗0246810121416182000.51b=00246810121416182000.51b=10246810121416182000.51b=3b取不同值時(shí)窗的形狀(M=20)四、Kaiser(凱澤)窗其中，A= -20lg (mindp，ds ) N與b 的確定四、Kaiser(凱澤)窗 Kaiser窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的MATLAB函數(shù)M,Wc,beta,ftype = kaiserord(f,a,dev) f: 表示需設(shè)計(jì)的FIR濾波器的頻帶。 a: B個(gè)元素的向量, 表示FIR濾波器在B個(gè)頻帶中的 幅

11、度值。一般對(duì)通帶取值為1，阻帶取值為0。 dev: B個(gè)元素的向量, 表示FIR濾波器在B個(gè)頻帶中 的波動(dòng)值。 返回參數(shù)M及beta，分別表示FIR濾波器階數(shù)M及Kaiser窗的參數(shù)b。 返回參數(shù)Wc和ftype是函數(shù)fir1的調(diào)用參數(shù)。h = fir1(M,Wc,ftype,window) M表示濾波器的階數(shù)。 Wc表示理想FIR濾波器的B個(gè)頻帶。 ftype表示濾波器的類型，缺省值為空。 window是一長(zhǎng)度為N+1的向量, 默認(rèn)為Hamming窗。四、Kaiser(凱澤)窗 獲得FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)例3：用Kaiser窗設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的I型線性相位FIR低通濾波器。Wp=0.3p

12、, Ws=0.5p，Ap=0.1dB, As=40dB。解：(1) 由給定指標(biāo)確定待逼近理想低通的截頻Wc 由于理想低通濾波器的|H(ejW)|在截頻Wc處收斂于0.5，因此常將截頻Wc取在過(guò)渡帶的中點(diǎn)Wc =(Wp + Ws )/2=0.4p解：(2) 由給定指標(biāo)確定Kaiser窗的參數(shù)N和bA= -20lg(mindp，ds )=As=40dBI型線性相位濾波器階數(shù)必須是偶數(shù)，取M=24例3：用Kaiser窗設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的I型線性相位FIR低通濾波器。Wp=0.3p, Ws=0.5p，Ap=0.1dB, As=40dB。解：(3) 設(shè)計(jì)截頻Wc =0.4p的I型線性相位FIR低通濾波器

13、fd(W)= -0.5MW例3：用Kaiser窗設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的I型線性相位FIR低通濾波器。Wp=0.3p, Ws=0.5p，Ap=0.1dB, As=40dB。解：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)設(shè)計(jì)結(jié)果增益響應(yīng) G(W)= 20lg |H(ejW)|例3：用Kaiser窗設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的I型線性相位FIR低通濾波器。Wp=0.3p, Ws=0.5p，Ap=0.1dB, As=40dB。例4：設(shè)計(jì)一滿足下列指標(biāo)的線性相位 FIR高通濾波器。Wp=0.67p, Ws=0.53p，Ap=0.3dB, As=50dB。解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或Kaiser窗1) 由過(guò)渡帶寬度確定濾波器長(zhǎng)度

14、N可選I型濾波器，取N=51；或選IV型濾波器，取N=502) 由給定指標(biāo)確定待逼近理想高通的截頻Wc=0.6p一、采用Hamming窗截?cái)啵O(shè)計(jì)過(guò)程如下3) 確定線性相位FIR濾波器類型：4) 設(shè)計(jì)截頻Wc =0.6p的線性相位FIR高通濾波器解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或Kaiser窗一、采用Hamming窗截?cái)?，設(shè)計(jì)過(guò)程如下采用I型線性相位濾波器，N=51，M=50fd(W)= -0.5MW例4：設(shè)計(jì)一滿足下列指標(biāo)的線性相位 FIR高通濾波器。Wp=0.67p, Ws=0.53p，Ap=0.3dB, As=50dB。4) 設(shè)計(jì)截頻Wc =0.6p的線性相位FIR高通濾波

15、器解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或Kaiser窗一、采用Hamming窗截?cái)?，設(shè)計(jì)過(guò)程如下采用I型線性相位濾波器，N=51，M=50截?cái)?，得I型線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hk=hdkw51k例4：設(shè)計(jì)一滿足下列指標(biāo)的線性相位 FIR高通濾波器。Wp=0.67p, Ws=0.53p，Ap=0.3dB, As=50dB。4) 設(shè)計(jì)截頻Wc =0.6p的線性相位FIR高通濾波器解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或Kaiser窗一、采用Hamming窗截?cái)?，設(shè)計(jì)過(guò)程如下采用IV型線性相位濾波器，N=50，M=49fd(W)= -0.5MW+0.5p例4：設(shè)計(jì)一滿

16、足下列指標(biāo)的線性相位 FIR高通濾波器。Wp=0.67p, Ws=0.53p，Ap=0.3dB, As=50dB。4) 設(shè)計(jì)截頻Wc =0.6p的線性相位FIR高通濾波器解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或Kaiser窗一、采用Hamming窗截?cái)啵O(shè)計(jì)過(guò)程如下采用IV型線性相位濾波器，N=50，M=49截?cái)?，得IV型線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hk=hdkw50k例4：設(shè)計(jì)一滿足下列指標(biāo)的線性相位 FIR高通濾波器。Wp=0.67p, Ws=0.53p，Ap=0.3dB, As=50dB。用Hamming窗設(shè)計(jì)的Wc=0.6p FIR HP濾波器的幅度響應(yīng)00.40.6

17、0.81-110-80-530Gain response of highpass FIR filterNormalized frequencyGain, dBtype I type IVI 型 N=51 IV型 N=50解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或Kaiser窗二、采用Hamming窗截?cái)啵肕ATLAB實(shí)現(xiàn)%Program:利用hamming窗設(shè)計(jì)FIR高通濾波器%filter specificationWp=0.67*pi;Ws=0.53*pi;Ap=0.3;As=50;%determine the length of the filter N=ceil(7*pi/(

18、Wp-Ws);N=mod(N+1,2)+N;M=N-1;fprintf(N=%.0fn,N);%generate windoww=hamming(N);例4：設(shè)計(jì)一滿足下列指標(biāo)的線性相位 FIR高通濾波器。Wp=0.67p, Ws=0.53p，Ap=0.3dB, As=50dB。解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或Kaiser窗二、采用Hamming窗截?cái)?，利用MATLAB實(shí)現(xiàn)%cutoff frequency of ideal highpass filterWc=(Wp+Ws)/2;k=0:M;hd=-(Wc/pi)*sinc(Wc*(k-0.5*M)/pi);hd(0.5*M+

19、1)=hd(0.5*M+1)+1;h=hd.*w;omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,1,omega);magdb=20*log10(abs(mag);plot(omega/pi,magdb);例4：設(shè)計(jì)一滿足下列指標(biāo)的線性相位 FIR高通濾波器。Wp=0.67p, Ws=0.53p，Ap=0.3dB, As=50dB。解:由As確定截?cái)嗨么昂瘮?shù):Hamming窗或Kaiser窗三、采用Kaiser窗截?cái)?，利用MATLAB實(shí)現(xiàn)%Program:利用Kaiser窗設(shè)計(jì)FIR高通濾波器Ap=0.3;As=50;Rp=1-10.(-0.05*Ap);Rs=10.(-0.05*As);f=0.53,0.67;a=0,1;dev=Rp,Rs;M,Wc,beta,ftype = kaiserord(f,a,dev);%使濾波器為I型M=mod(M,2)+M;h = fir1(M,Wc,ftype,kaiser(M+1,beta)omega=linspace(0,pi,512);mag=