復(fù)變內(nèi)容lecture離散時(shí)間信號(hào)的

1、第六講：離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉分析Spring, 2015By Y N Zhang1類似連續(xù)時(shí)間信號(hào)，我們對(duì)離散時(shí)間信號(hào)同樣可以進(jìn)行Fourier分析！鑒于數(shù)字信號(hào)在當(dāng)今通信和信號(hào)處理領(lǐng)域的壓倒性地位，離散時(shí)間信號(hào)的Fourier分析顯得更為重要。Spring, 2015By Y N Zhang21. 離散時(shí)間周期信號(hào)的 Fourier 級(jí)數(shù)表示給定周期信號(hào)xn，我們有：這里信號(hào)的基礎(chǔ)周期為N，基礎(chǔ)頻率為 。Spring, 2015By Y N Zhang3考慮離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)構(gòu)成的諧波集：Spring, 2015By Y N Zhang4離散時(shí)間復(fù)指數(shù)諧波集的特點(diǎn)Spring, 2015By

2、 Y N Zhang5不同于連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)諧波集，離散時(shí)間復(fù)指數(shù)諧波集中的信號(hào)，隨著諧波階次的增加，信號(hào)呈現(xiàn)周期性變換。即，當(dāng)離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻率相差 的整數(shù)倍時(shí)，信號(hào)相等。如 。一般地，所以離散時(shí)間復(fù)指數(shù)諧波集實(shí)質(zhì)上只有N個(gè)不同的元素。離散時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)Spring, 2015By Y N Zhang6 離散時(shí)間周期信號(hào)xn如果可以用離散復(fù)指數(shù)諧波集線性組合，即離散時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)（續(xù)）Spring, 2015By Y N Zhang7 離散時(shí)間周期信號(hào)xn的上述表達(dá)式就稱為離散時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)，而系數(shù) 為Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)。離散時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)的確定類

3、似連續(xù)時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)的分析，假設(shè)離散時(shí)間周期信號(hào)能展開為Fourier級(jí)數(shù)表示形式，則Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)同樣可以利用復(fù)指數(shù)信號(hào)的正交性來求解。Spring, 2015By Y N Zhang8引理：離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)滿足如下關(guān)系，上式意味著，離散時(shí)間周期復(fù)指數(shù)信號(hào)在一個(gè)周期上的累加為0，除非該信號(hào)退化為一個(gè)常數(shù)。Spring, 2015By Y N Zhang9Spring, 2015By Y N Zhang10Fourier級(jí)數(shù)的推導(dǎo)：離散時(shí)間周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)：Spring, 2015By Y N Zhang11特別提示：連續(xù)時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)的表達(dá)式通常都是無

4、窮多項(xiàng)的線性組合；離散時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)的表達(dá)式只包含有限的N項(xiàng)，無論是在分析表達(dá)式還是合成表達(dá)式中都是如此。Spring, 2015By Y N Zhang122. 離散時(shí)間非周期信號(hào)的 Fourier Transform仿照連續(xù)時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)推導(dǎo)出連續(xù)時(shí)間Fourier變換的思路，同樣可以假設(shè)離散時(shí)間周期信號(hào)的基本周期趨于無窮，此時(shí)離散時(shí)間復(fù)指數(shù)諧波集中的各次諧波之間越來越緊密，最終離散頻率轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)的頻率，周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)也就轉(zhuǎn)變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)的Fourier變換。Spring, 2015By Y N Zhang13離散時(shí)間非周期信號(hào)的Fourier 變換： Spr

5、ing, 2015By Y N Zhang14在離散時(shí)間Fourier變換中， 稱作離散信號(hào)xn的頻譜，其頻域變量為實(shí)數(shù)，且頻譜函數(shù)以 為周期。兩者構(gòu)成一組Fourier對(duì)。 Spring, 2015By Y N Zhang15在連續(xù)時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)中，信號(hào)在時(shí)域是連續(xù)且周期的，而在頻域是離散且無限的；在連續(xù)時(shí)間Fourier變換中，信號(hào)在時(shí)域是連續(xù)的，而在頻域也是連續(xù)的；在離散時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)中，信號(hào)在時(shí)域是離散且周期的，而在頻域是離散且周期的；在離散時(shí)間Fourier變換中，信號(hào)在時(shí)域是離散且無限的，而在頻域是連續(xù)且周期的。 Spring, 2015By Y N Zhang16

6、給定非周期信號(hào)按照定義Spring, 2015By Y N Zhang17例1：課后思考：請(qǐng)描繪出復(fù)值函數(shù) 的模和相位的變化曲線？模的變化曲線稱為信號(hào)的幅頻特性，相位的變化為信號(hào)的相頻特性。Spring, 2015By Y N Zhang18給定非周期信號(hào)按照定義Spring, 2015By Y N Zhang19例2：給定非周期信號(hào)按照定義Spring, 2015By Y N Zhang20例3：離散時(shí)間Fourier變換的收斂性：當(dāng) 時(shí)，無窮多項(xiàng)的累加是否收斂？ 類似連續(xù)時(shí)間的情形，有如下收斂條件：當(dāng) 時(shí)，由于積分區(qū)間有限，不存在收斂性問題。Spring, 2015By Y N Zhang

7、213. 離散時(shí)間周期信號(hào)的 Fourier Transform仿照連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)Fourier變換的推導(dǎo)思路，通過引入頻域沖激函數(shù)，使得原本沒有Fourier變換的周期信號(hào)也能進(jìn)行Fourier變換。Spring, 2015By Y N Zhang22引理：離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)， 容易驗(yàn)證該信號(hào)為周期信號(hào)。Spring, 2015By Y N Zhang23引理（續(xù)）：離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)及其Fourier變換對(duì)，Spring, 2015By Y N Zhang24離散時(shí)間周期信號(hào)的Fourier變換Spring, 2015By Y N Zhang25 離散時(shí)間周期信號(hào)xn的Fourier級(jí)數(shù)

8、表達(dá)式為： 其Fourier變換為：給定周期信號(hào)如下，求其Fourier變換。給定周期信號(hào)如下，求其Fourier變換。Spring, 2015By Y N Zhang26課后習(xí)題：4. 離散時(shí)間信號(hào)Fourier Transform的性質(zhì)類似連續(xù)時(shí)間信號(hào)Fourier變換，離散時(shí)間信號(hào)的Fourier變換的也存在相應(yīng)的性質(zhì)。下面不加證明地列舉這些性質(zhì)。Spring, 2015By Y N Zhang27離散時(shí)間Fourier變換的周期性Spring, 2015By Y N Zhang28 離散時(shí)間Fourier變換滿足：離散時(shí)間Fourier變換的線性性Spring, 2015By Y N

9、Zhang29 給定離散時(shí)間Fourier變換對(duì)：離散時(shí)間Fourier變換的時(shí)移和頻移：Spring, 2015By Y N Zhang30 給定離散時(shí)間Fourier變換對(duì)：離散時(shí)間Fourier變換的共軛與共軛對(duì)稱：Spring, 2015By Y N Zhang31 給定離散時(shí)間Fourier變換對(duì)：離散時(shí)間Fourier變換的差分與累加特性：Spring, 2015By Y N Zhang32 給定離散時(shí)間Fourier變換對(duì)：離散時(shí)間Fourier變換的時(shí)間翻轉(zhuǎn)特性：Spring, 2015By Y N Zhang33 給定離散時(shí)間Fourier變換對(duì)：離散時(shí)間Fourier變換的頻域微分：Spring, 2015By Y N Zhang34 給定離散時(shí)間Fourier變換對(duì)：離散時(shí)間Fourier變換的Parseval定理：Spring, 2015By