《矩陣論》第二章線線性映射與性變換

1、矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換教學(xué)目的掌握線性映射的定義熟練掌握特征值、特征向量的定義和性質(zhì)，掌握矩陣可對角化的條件理解酉空間的概念掌握酉空間與實(shí)內(nèi)積空間的異同。教學(xué)目的掌握線性映射的定義 在討論線性空間的同構(gòu)時(shí)，我們考慮的是一種保持向量的加法和數(shù)量乘法的一一對應(yīng). 我們常稱映射(比同構(gòu)映射少了一一對應(yīng)的條件)兩線性空間之間保持加法和數(shù)量乘法的映射為線性 在討論線性空間的同構(gòu)時(shí)，我們考慮的是一種保持向量的加法線性變換是線性空間的核心內(nèi)容，反映的是線性空間中元素間的一種基本聯(lián)系，體現(xiàn)出一種“動(dòng)態(tài)的”或者“直觀的”視角。借助基的概念，可在線性變換與矩陣之間建立一一對應(yīng)

2、關(guān)系，因此通俗地講“變換即矩陣”。這同時(shí)也意味著線性變換的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為矩陣的運(yùn)算。線性變換是線性空間的核心內(nèi)容，反映的是線性空間中元素間的一種矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換 (4)如果1,2,m 是V1的線性相關(guān)組，則D (1),D (2),D (n)是V2的一組線性相關(guān)向量； 并且當(dāng)且僅當(dāng)D 是一一映射時(shí)，V1中的線性無關(guān)組的像是V2中的線性無關(guān)組. (4)如果1,2,m 是V1的線性相關(guān)組矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換注3 矩陣和線性映射互

3、相唯一確定；在給定基的情況下，線性空間V1到V2的線性映射L與mn矩陣一一對應(yīng)，且這種對應(yīng)保持加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算。 注3 矩陣和線性映射互相唯一確定；在給定基的情況下，線性空矩陣論第二章線線性映射與性變換解 在Rxn中取基1=1， 2=x, n=xn-1 ,在Rxn-1中取基1=1， 2=x, n-1=xn-2，則D ( 1)=0= 01+0 2+ +0 n-1D( 2)=1= 1+0 2+ +0 n-1D( 3)=2x= 01+2 2+ +0 n-1 D( n)=(n-1)xn-2= 01+2 2+ +(n-1) n-1解 在Rxn中取基1=1， 2=x, n=xD ( 1, 2 , n)=

4、(1, 2 n-1)即于是D 在基1，x, xn-1與1，x, xn-2下的矩陣為D=D ( 1, 2 , n)=(1, 2 另：若在Rxn-1中取基1=1， 2=2x, n-1=(n-1)xn-2則D 在基1，x, xn-1與1，2x, (n-1)xn-2下的矩陣為D=說明同一個(gè)線性映射在不同基下的矩陣不同另：若在Rxn-1中取基1=1， 2=2x, 矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換即對V 中的任意兩個(gè)向量，和任意kP，映射（未必是雙射）A ：VV 滿足 (i) (可加性):A (+)=A ()+A ()

5、 (ii) (齊次性):kA ()=A (k)稱A ()為在變換A 下的像， 稱為原像。 V上的全體線性變換記為：L (V, V)即對V 中的任意兩個(gè)向量，和任意kP，映射（未必是雙射線性變換的基本性質(zhì)如果 T ：VV 是線性變換，則零向量對應(yīng)零向量疊加原理線性變換的基本性質(zhì)如果 T ：VV 是線性變換，則零向量對 L (V,V )表示線性空間V 上的所有線性變換的集合，對任意的T,T1,T2L (V,V ), V,定義則可以驗(yàn)證， 都是線性變換，因此L (V,V )也是數(shù)域P上的線性空間。注：數(shù)乘變換和線性變換的數(shù)乘運(yùn)算是兩個(gè)不同的概念 L (V,V )表示線性空間V 上的所有線性變換的集特

6、殊的變換：對任意的kP定義數(shù)乘變換K（x）=kx，恒等變換：I（x）=x，零變換：O (x)=0特殊的變換：對任意的kP定義數(shù)乘變換K（x）=kx，恒矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換例2.3.1 設(shè)線性空間 的線性變換為 求在自然基底下的矩陣. 解： ()=例2.3.1 設(shè)線性空間 的線性變換為 求在自然基底矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換例2.3.2 在線性空間 中，線性變換定義如下：（1）求 在標(biāo)準(zhǔn)基 下的矩陣.（2）求在下的矩陣.解：（1）由已知，有自然基底例2.3.2 在線性空間 中，線性變換定義如下：（設(shè) 在標(biāo)準(zhǔn)基 下的矩陣為A

7、，即即： 為過渡矩陣設(shè) 在標(biāo)準(zhǔn)基 下的矩陣為A，即即： 因而，因而， 設(shè)在 下的矩陣為B，則（2）求在下的矩陣. 設(shè)在 下的矩陣為B，則（2）求在定義2.3.3 設(shè)D 是數(shù)域 P上的線性空間 上的線性變換 。令R(D )=Im(D)=D( a)|aVKer(D )=N(D)=aV|D ( a)=0稱R(D )是線性變換D 的值域，而Ker(D )是線性變換的核。R(D )的維數(shù)稱為D 的秩，Ker(D )的維數(shù)稱為D 的零度。定義2.3.3 設(shè)D 是數(shù)域 P上的線性空間 上的線定理2.3.2 設(shè)D 是數(shù)域 P上的線性空間V上的線性變換 。令D 在V的一組基1,2,n下的矩陣表示為A，則（1）I

8、m(D )和Ker(D )都是V的子空間；（2）Im(D )=span(D (1),D (2),D (n) （3）rank(D )=rank(A) （4）dim(Im(D )+dim(Ker(D )=n定理2.3.2 設(shè)D 是數(shù)域 P上的線性空間V上的線性變換證明（1）顯然R(D )是V的非空子集，對任意D(),D() R(D )，kP 有 D()+D()=D(+) R(D ) kD()=D(k) R(D )所以R(D )是V的子空間 又D(0)=0,所以Ker(D )是V的非空子集,對任意, Ker(D )，kP D(+)=D()+D()=0Ker(D ) D(k)=kD()=0Ker(D

9、)所以Ker(D )是V的子空間 證明（1）顯然R(D )是V的非空子集，對任意D(),D(如果D (r+1),D(n)是線性無關(guān)的，則有dim(Im(D )=n-r證明（4）設(shè) dim(Ker(D )=r，在 Ker(D ) 中取一組基1,2,r，根據(jù)擴(kuò)充定理，將它擴(kuò)充成 的基1,2,r,r+1,n，則Im(D )=span(D (1),D (r),D (r+1),D(n) =span(D (r+1),D(n) 如果D (r+1),D(n)是線性無關(guān)的，則有dim(因?yàn)?線性無關(guān)，所以ki=0(i=1,2n),所以D(ar+1),D(an)線性無關(guān)。事實(shí)上，設(shè) ，則 )(D =0nj=r+1

10、 kjaj nj=r+1 kjD (aj) =0 從而 則 nj=r+1 kjaj Ker(D) nj=r+1 kjaj= rj=1 kjaj 因?yàn)?線性無關(guān)，所以事實(shí)上，設(shè) 注意（1） 雖然 dim(Im(D )+dim(Ker(D )=n，但一般有Im(D )+Ker(D )V（2） 當(dāng)且僅當(dāng)(Ker(D )=0，也即當(dāng)且僅當(dāng)Im(D )=V時(shí)，變換D是可逆的。注意（1） 雖然 dim(Im(D )+dim(Ker(D例2.3.3 設(shè)線性變換 T 在4維線性空間 的基 下的矩陣為例2.3.3 設(shè)線性變換 T 在4維線性空間 （2）求 Im(T ) 的一組基;（1）求Ker(T ) 的一組基

11、;（2）求 Im(T ) 的一組基;（1）求Ker(T )解（1）對任意有因此解得基礎(chǔ)解系解（1）對任意有因此解得基礎(chǔ)解系則 的基為則 的基為（2）由于從而這說明（2）由于從而這說明矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換 例2.4.1 設(shè)線性變換A 在基 下的矩陣是求A 的全部特征值與特征向量。解：求A 的特征值等價(jià)于求對應(yīng)矩陣的特征值和特征向量。 例2.4.1 設(shè)線性變換A 在基 所以A的特征值是 3 (二重)與 -6。 對于特征值 3，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：矩陣論第二章線線性映射與性變換從而 A 的屬于 3 的極大線性無關(guān)特征向量組是于是A 屬于 3的全部

12、特征向量是 這里 k1k20 。 對于特征值 -6，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：從而 A 的屬于 3 的極大線性無關(guān)特征向量組是從而 A 的屬于 -6 的極大線性無關(guān)特征向量組是于是 A 的屬于 -6 的全部特征向量這里 k 為數(shù)域 F 中任意非零數(shù)。從而 A 的屬于 -6 的極大線性無關(guān)特征向量組是矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換稱 矩陣 為多項(xiàng)式 的友矩陣，這里例 2.4.2 對于多項(xiàng)式求C的特征多項(xiàng)式稱 矩陣 為多項(xiàng)式 解 記由上式逐次遞推得對di按第一行展開,有 di=di-1+ai , i1dn=|I-A|=dn-1+an=(dn-2+an-1)+a

13、n=2(dn-3+an-2)+an-1+an=n+a1n-1+a2n-2+an-1+an解 記由上式逐次遞推得對di按第一行展開,有 di接下來考慮線性變換在不同基下的矩陣特征值的關(guān)系：接下來考慮線性變換在不同基下的矩陣特征值的關(guān)系：證:（1）|I-B|=|I-P-1AP|=|P-1(I-A)P|=|P-1|(I-A)|P|=|I-A|證:另：66頁例2.4.5的結(jié)論： m階方陣AB與n階方陣BA有相同的非零特征值，從而有tr(AB)=tr(BA)；特別地，若A，B為同階方陣，則AB與BA有相同的特征值.另：66頁例2.4.5的結(jié)論：矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換

14、矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換推論：若P-1AP=diag（1, 2,n），則1, 2,n是A的n個(gè)特征值，C的第i個(gè)列向量是A的屬于i的特征向量推論：若P-1AP=diag（1, 2,n），則1例 2.5.1 在多項(xiàng)式空間 Pt3 中，設(shè) f(t)=a1+a2t+a3t2定義線性變換Tf(t)=(a2+a3) +(a1+a3)t+ +(a1+a2) t2試求 Pt3 的一組基 ，使 在該基下的矩陣為對角矩陣。例 2.5.1 在多項(xiàng)式空間 Pt3 中，設(shè)試求 P解： 這里標(biāo)準(zhǔn)基 在線性變換 下的矩陣表示為矩陣A的特征值為解： 這里標(biāo)準(zhǔn)基 在線性變換屬于2的特征向量

15、為p1=(1，1，1)T屬于-1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量為 p2=(-1，1，0)T p3=(1，0，-1)T,所以使得 P-1AP=屬于2的特征向量為p1=(1，1，1)T使得 P-1AP= 因此所求基為 顯然可以驗(yàn)證線性變換 滿足 因此所求基為 顯然可以驗(yàn)證線性變換 滿足矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換矩陣論第二章線線性映射與性變換注 鑒于正交的重要性，所以相應(yīng)的正交變換顯得尤為重要。Householder變換（即反射變換）和Givens變換（即旋轉(zhuǎn)變換）是兩種最重要的正交

16、變換，它們的作用主要是在數(shù)值算法中構(gòu)造正交基。 根據(jù)定義，顯然正交變換也保持歐氏空間中向量的長度、距離及向量間的夾角等幾何屬性不變。注 鑒于正交的重要性，所以相應(yīng)的正交變換顯得尤為重要。Hou補(bǔ)充：兩種基本的圖形變換例1（旋轉(zhuǎn)變換或Givens變換）將線性空間 中的所有向量均繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 ，這時(shí)像 與原像 之間的關(guān)系為補(bǔ)充：兩種基本的圖形變換例1（旋轉(zhuǎn)變換或Givens變換）將例2（反射變換或Householder變換）將 中任一向量x 關(guān)于橫軸做反射得向量y。這時(shí)像(x2,y2) 與原像 (x1,y1)之間的關(guān)系為例2（反射變換或Householder變換）將 中 從幾何上看，圖形經(jīng)過

17、旋轉(zhuǎn)變換或反射變換后只是位置改變了，形狀和大小都沒有改變，也就是說變換前后的圖形是全等的，即這兩種變換都是正交變換。將這兩種變換擴(kuò)展到n維歐氏空間，得到兩類重要的正交變換： 從幾何上看，圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換或反射變換后只是位置改變一般形式的Givens矩陣為：第j 列第i 列對應(yīng)的變換稱為Givens變換，或初等旋轉(zhuǎn)變換。一般形式的Givens矩陣為：第j 列第i 列對應(yīng)的變換稱為定理 對任意 ，存在有限個(gè)Givens矩陣的乘積 ，使得 其中 為標(biāo)準(zhǔn)單位向量。即通過有限次Givens變換可以將向量旋轉(zhuǎn)到某個(gè)坐標(biāo)軸上。Givens變換在簡化矩陣方面有重要應(yīng)用，對非零n維向量，通過有限次Givens變

18、換，可將其后任意r 個(gè)分量變?yōu)榱?，特別地，r=n-1時(shí)，得定理 對任意 ，存在有限個(gè)Given如圖，顯然有正交分解 因此向量 關(guān)于“與 軸正交的直線”對稱的鏡像向量的表達(dá)式為再看HouseHolder變換如圖，顯然有正交分解 因此向量 類似地，可定義將向量 變換為關(guān)于“與單位向量 正交的 維子空間”對稱的向量 的鏡像變換。定義3設(shè) 為單位向量，稱矩陣為Householder 矩陣（初等反射矩陣），對應(yīng)的變換 稱為Householder 變換（初等反射變換）類似地，可定義將向量 變換為定理 對任意 ，存在Householder 矩陣 ，使得 其中 為標(biāo)準(zhǔn)單位向量。即可以通過Householder

19、變換將向量反射到某個(gè)坐標(biāo)軸上。Householder變換能將任何非零向量變成與給定單位向量同方向的向量；定理 對任意 ，存在Househol兩類矩陣的關(guān)系：Givens矩陣（變換）等于兩個(gè)初等反射矩陣（變換）的乘積。 即反射變換比旋轉(zhuǎn)變換更基本。兩類矩陣的關(guān)系： ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。定義1 是復(fù)數(shù)域 上的線性空間。如果對 中任意兩個(gè)向量 都存在所謂 與 的內(nèi)積 ，滿足下面四個(gè)條件。稱定義了內(nèi)積的線性空間 為復(fù)內(nèi)積空間，簡稱酉空間。補(bǔ)充 酉空間(Unitary Space) ，當(dāng)且僅當(dāng) 例 1 定義了標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積的 是一酉空間。這里，對任意兩個(gè)向量 及 ， 標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積為例 1 定義了標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積的 是一酉空間。這里，對任例 2 在線性空間 中，對任意定義復(fù)雙線性型（Bilinear Form）這里 是Hermite矩陣，即 則 是 的一個(gè)內(nèi)積。例 2 在線性空間 中，對任意二、酉空間的一些重要結(jié)論（1） （2）（3）（4）（5） ，當(dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立；二、酉空間的一些重要結(jié)論（1） （4）（6） 兩個(gè)非零向量 的內(nèi)積 時(shí)，稱 與 正交；（7） 任意一組線性無關(guān)的向量都可以用Schmidt正交化方法正交化，并擴(kuò)充成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；（8