《矩陣論》第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換

1、矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換教學(xué)目的掌握線(xiàn)性映射的定義熟練掌握特征值、特征向量的定義和性質(zhì)，掌握矩陣可對(duì)角化的條件理解酉空間的概念掌握酉空間與實(shí)內(nèi)積空間的異同。教學(xué)目的掌握線(xiàn)性映射的定義 在討論線(xiàn)性空間的同構(gòu)時(shí)，我們考慮的是一種保持向量的加法和數(shù)量乘法的一一對(duì)應(yīng). 我們常稱(chēng)映射(比同構(gòu)映射少了一一對(duì)應(yīng)的條件)兩線(xiàn)性空間之間保持加法和數(shù)量乘法的映射為線(xiàn)性 在討論線(xiàn)性空間的同構(gòu)時(shí)，我們考慮的是一種保持向量的加法線(xiàn)性變換是線(xiàn)性空間的核心內(nèi)容，反映的是線(xiàn)性空間中元素間的一種基本聯(lián)系，體現(xiàn)出一種“動(dòng)態(tài)的”或者“直觀的”視角。借助基的概念，可在線(xiàn)性變換與矩陣之間建立一一對(duì)應(yīng)

2、關(guān)系，因此通俗地講“變換即矩陣”。這同時(shí)也意味著線(xiàn)性變換的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為矩陣的運(yùn)算。線(xiàn)性變換是線(xiàn)性空間的核心內(nèi)容，反映的是線(xiàn)性空間中元素間的一種矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換 (4)如果1,2,m 是V1的線(xiàn)性相關(guān)組，則D (1),D (2),D (n)是V2的一組線(xiàn)性相關(guān)向量； 并且當(dāng)且僅當(dāng)D 是一一映射時(shí)，V1中的線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的像是V2中的線(xiàn)性無(wú)關(guān)組. (4)如果1,2,m 是V1的線(xiàn)性相關(guān)組矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換注3 矩陣和線(xiàn)性映射互

3、相唯一確定；在給定基的情況下，線(xiàn)性空間V1到V2的線(xiàn)性映射L與mn矩陣一一對(duì)應(yīng)，且這種對(duì)應(yīng)保持加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算。 注3 矩陣和線(xiàn)性映射互相唯一確定；在給定基的情況下，線(xiàn)性空矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換解 在Rxn中取基1=1， 2=x, n=xn-1 ,在Rxn-1中取基1=1， 2=x, n-1=xn-2，則D ( 1)=0= 01+0 2+ +0 n-1D( 2)=1= 1+0 2+ +0 n-1D( 3)=2x= 01+2 2+ +0 n-1 D( n)=(n-1)xn-2= 01+2 2+ +(n-1) n-1解 在Rxn中取基1=1， 2=x, n=xD ( 1, 2 , n)=

4、(1, 2 n-1)即于是D 在基1，x, xn-1與1，x, xn-2下的矩陣為D=D ( 1, 2 , n)=(1, 2 另：若在Rxn-1中取基1=1， 2=2x, n-1=(n-1)xn-2則D 在基1，x, xn-1與1，2x, (n-1)xn-2下的矩陣為D=說(shuō)明同一個(gè)線(xiàn)性映射在不同基下的矩陣不同另：若在Rxn-1中取基1=1， 2=2x, 矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換即對(duì)V 中的任意兩個(gè)向量，和任意kP，映射（未必是雙射）A ：VV 滿(mǎn)足 (i) (可加性):A (+)=A ()+A ()

5、 (ii) (齊次性):kA ()=A (k)稱(chēng)A ()為在變換A 下的像， 稱(chēng)為原像。 V上的全體線(xiàn)性變換記為：L (V, V)即對(duì)V 中的任意兩個(gè)向量，和任意kP，映射（未必是雙射線(xiàn)性變換的基本性質(zhì)如果 T ：VV 是線(xiàn)性變換，則零向量對(duì)應(yīng)零向量疊加原理線(xiàn)性變換的基本性質(zhì)如果 T ：VV 是線(xiàn)性變換，則零向量對(duì) L (V,V )表示線(xiàn)性空間V 上的所有線(xiàn)性變換的集合，對(duì)任意的T,T1,T2L (V,V ), V,定義則可以驗(yàn)證， 都是線(xiàn)性變換，因此L (V,V )也是數(shù)域P上的線(xiàn)性空間。注：數(shù)乘變換和線(xiàn)性變換的數(shù)乘運(yùn)算是兩個(gè)不同的概念 L (V,V )表示線(xiàn)性空間V 上的所有線(xiàn)性變換的集特

6、殊的變換：對(duì)任意的kP定義數(shù)乘變換K（x）=kx，恒等變換：I（x）=x，零變換：O (x)=0特殊的變換：對(duì)任意的kP定義數(shù)乘變換K（x）=kx，恒矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換例2.3.1 設(shè)線(xiàn)性空間 的線(xiàn)性變換為 求在自然基底下的矩陣. 解： ()=例2.3.1 設(shè)線(xiàn)性空間 的線(xiàn)性變換為 求在自然基底矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換例2.3.2 在線(xiàn)性空間 中，線(xiàn)性變換定義如下：（1）求 在標(biāo)準(zhǔn)基 下的矩陣.（2）求在下的矩陣.解：（1）由已知，有自然基底例2.3.2 在線(xiàn)性空間 中，線(xiàn)性變換定義如下：（設(shè) 在標(biāo)準(zhǔn)基 下的矩陣為A

7、，即即： 為過(guò)渡矩陣設(shè) 在標(biāo)準(zhǔn)基 下的矩陣為A，即即： 因而，因而， 設(shè)在 下的矩陣為B，則（2）求在下的矩陣. 設(shè)在 下的矩陣為B，則（2）求在定義2.3.3 設(shè)D 是數(shù)域 P上的線(xiàn)性空間 上的線(xiàn)性變換 。令R(D )=Im(D)=D( a)|aVKer(D )=N(D)=aV|D ( a)=0稱(chēng)R(D )是線(xiàn)性變換D 的值域，而Ker(D )是線(xiàn)性變換的核。R(D )的維數(shù)稱(chēng)為D 的秩，Ker(D )的維數(shù)稱(chēng)為D 的零度。定義2.3.3 設(shè)D 是數(shù)域 P上的線(xiàn)性空間 上的線(xiàn)定理2.3.2 設(shè)D 是數(shù)域 P上的線(xiàn)性空間V上的線(xiàn)性變換 。令D 在V的一組基1,2,n下的矩陣表示為A，則（1）I

8、m(D )和Ker(D )都是V的子空間；（2）Im(D )=span(D (1),D (2),D (n) （3）rank(D )=rank(A) （4）dim(Im(D )+dim(Ker(D )=n定理2.3.2 設(shè)D 是數(shù)域 P上的線(xiàn)性空間V上的線(xiàn)性變換證明（1）顯然R(D )是V的非空子集，對(duì)任意D(),D() R(D )，kP 有 D()+D()=D(+) R(D ) kD()=D(k) R(D )所以R(D )是V的子空間 又D(0)=0,所以Ker(D )是V的非空子集,對(duì)任意, Ker(D )，kP D(+)=D()+D()=0Ker(D ) D(k)=kD()=0Ker(D

9、)所以Ker(D )是V的子空間 證明（1）顯然R(D )是V的非空子集，對(duì)任意D(),D(如果D (r+1),D(n)是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，則有dim(Im(D )=n-r證明（4）設(shè) dim(Ker(D )=r，在 Ker(D ) 中取一組基1,2,r，根據(jù)擴(kuò)充定理，將它擴(kuò)充成 的基1,2,r,r+1,n，則Im(D )=span(D (1),D (r),D (r+1),D(n) =span(D (r+1),D(n) 如果D (r+1),D(n)是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，則有dim(因?yàn)?線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以ki=0(i=1,2n),所以D(ar+1),D(an)線(xiàn)性無(wú)關(guān)。事實(shí)上，設(shè) ，則 )(D =0nj=r+1

10、 kjaj nj=r+1 kjD (aj) =0 從而 則 nj=r+1 kjaj Ker(D) nj=r+1 kjaj= rj=1 kjaj 因?yàn)?線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以事實(shí)上，設(shè) 注意（1） 雖然 dim(Im(D )+dim(Ker(D )=n，但一般有Im(D )+Ker(D )V（2） 當(dāng)且僅當(dāng)(Ker(D )=0，也即當(dāng)且僅當(dāng)Im(D )=V時(shí)，變換D是可逆的。注意（1） 雖然 dim(Im(D )+dim(Ker(D例2.3.3 設(shè)線(xiàn)性變換 T 在4維線(xiàn)性空間 的基 下的矩陣為例2.3.3 設(shè)線(xiàn)性變換 T 在4維線(xiàn)性空間 （2）求 Im(T ) 的一組基;（1）求Ker(T ) 的一組基

11、;（2）求 Im(T ) 的一組基;（1）求Ker(T )解（1）對(duì)任意有因此解得基礎(chǔ)解系解（1）對(duì)任意有因此解得基礎(chǔ)解系則 的基為則 的基為（2）由于從而這說(shuō)明（2）由于從而這說(shuō)明矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換 例2.4.1 設(shè)線(xiàn)性變換A 在基 下的矩陣是求A 的全部特征值與特征向量。解：求A 的特征值等價(jià)于求對(duì)應(yīng)矩陣的特征值和特征向量。 例2.4.1 設(shè)線(xiàn)性變換A 在基 所以A的特征值是 3 (二重)與 -6。 對(duì)于特征值 3，解齊次線(xiàn)性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換從而 A 的屬于 3 的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量組是于是A 屬于 3的全部

12、特征向量是 這里 k1k20 。 對(duì)于特征值 -6，解齊次線(xiàn)性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：從而 A 的屬于 3 的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量組是從而 A 的屬于 -6 的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量組是于是 A 的屬于 -6 的全部特征向量這里 k 為數(shù)域 F 中任意非零數(shù)。從而 A 的屬于 -6 的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量組是矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換稱(chēng) 矩陣 為多項(xiàng)式 的友矩陣，這里例 2.4.2 對(duì)于多項(xiàng)式求C的特征多項(xiàng)式稱(chēng) 矩陣 為多項(xiàng)式 解 記由上式逐次遞推得對(duì)di按第一行展開(kāi),有 di=di-1+ai , i1dn=|I-A|=dn-1+an=(dn-2+an-1)+a

13、n=2(dn-3+an-2)+an-1+an=n+a1n-1+a2n-2+an-1+an解 記由上式逐次遞推得對(duì)di按第一行展開(kāi),有 di接下來(lái)考慮線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣特征值的關(guān)系：接下來(lái)考慮線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣特征值的關(guān)系：證:（1）|I-B|=|I-P-1AP|=|P-1(I-A)P|=|P-1|(I-A)|P|=|I-A|證:另：66頁(yè)例2.4.5的結(jié)論： m階方陣AB與n階方陣BA有相同的非零特征值，從而有tr(AB)=tr(BA)；特別地，若A，B為同階方陣，則AB與BA有相同的特征值.另：66頁(yè)例2.4.5的結(jié)論：矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換

14、矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換推論：若P-1AP=diag（1, 2,n），則1, 2,n是A的n個(gè)特征值，C的第i個(gè)列向量是A的屬于i的特征向量推論：若P-1AP=diag（1, 2,n），則1例 2.5.1 在多項(xiàng)式空間 Pt3 中，設(shè) f(t)=a1+a2t+a3t2定義線(xiàn)性變換Tf(t)=(a2+a3) +(a1+a3)t+ +(a1+a2) t2試求 Pt3 的一組基 ，使 在該基下的矩陣為對(duì)角矩陣。例 2.5.1 在多項(xiàng)式空間 Pt3 中，設(shè)試求 P解： 這里標(biāo)準(zhǔn)基 在線(xiàn)性變換 下的矩陣表示為矩陣A的特征值為解： 這里標(biāo)準(zhǔn)基 在線(xiàn)性變換屬于2的特征向量

15、為p1=(1，1，1)T屬于-1的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為 p2=(-1，1，0)T p3=(1，0，-1)T,所以使得 P-1AP=屬于2的特征向量為p1=(1，1，1)T使得 P-1AP= 因此所求基為 顯然可以驗(yàn)證線(xiàn)性變換 滿(mǎn)足 因此所求基為 顯然可以驗(yàn)證線(xiàn)性變換 滿(mǎn)足矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換矩陣論第二章線(xiàn)線(xiàn)性映射與性變換注 鑒于正交的重要性，所以相應(yīng)的正交變換顯得尤為重要。Householder變換（即反射變換）和Givens變換（即旋轉(zhuǎn)變換）是兩種最重要的正交

16、變換，它們的作用主要是在數(shù)值算法中構(gòu)造正交基。 根據(jù)定義，顯然正交變換也保持歐氏空間中向量的長(zhǎng)度、距離及向量間的夾角等幾何屬性不變。注 鑒于正交的重要性，所以相應(yīng)的正交變換顯得尤為重要。Hou補(bǔ)充：兩種基本的圖形變換例1（旋轉(zhuǎn)變換或Givens變換）將線(xiàn)性空間 中的所有向量均繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 ，這時(shí)像 與原像 之間的關(guān)系為補(bǔ)充：兩種基本的圖形變換例1（旋轉(zhuǎn)變換或Givens變換）將例2（反射變換或Householder變換）將 中任一向量x 關(guān)于橫軸做反射得向量y。這時(shí)像(x2,y2) 與原像 (x1,y1)之間的關(guān)系為例2（反射變換或Householder變換）將 中 從幾何上看，圖形經(jīng)過(guò)

17、旋轉(zhuǎn)變換或反射變換后只是位置改變了，形狀和大小都沒(méi)有改變，也就是說(shuō)變換前后的圖形是全等的，即這兩種變換都是正交變換。將這兩種變換擴(kuò)展到n維歐氏空間，得到兩類(lèi)重要的正交變換： 從幾何上看，圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換或反射變換后只是位置改變一般形式的Givens矩陣為：第j 列第i 列對(duì)應(yīng)的變換稱(chēng)為Givens變換，或初等旋轉(zhuǎn)變換。一般形式的Givens矩陣為：第j 列第i 列對(duì)應(yīng)的變換稱(chēng)為定理 對(duì)任意 ，存在有限個(gè)Givens矩陣的乘積 ，使得 其中 為標(biāo)準(zhǔn)單位向量。即通過(guò)有限次Givens變換可以將向量旋轉(zhuǎn)到某個(gè)坐標(biāo)軸上。Givens變換在簡(jiǎn)化矩陣方面有重要應(yīng)用，對(duì)非零n維向量，通過(guò)有限次Givens變

18、換，可將其后任意r 個(gè)分量變?yōu)榱?，特別地，r=n-1時(shí)，得定理 對(duì)任意 ，存在有限個(gè)Given如圖，顯然有正交分解 因此向量 關(guān)于“與 軸正交的直線(xiàn)”對(duì)稱(chēng)的鏡像向量的表達(dá)式為再看HouseHolder變換如圖，顯然有正交分解 因此向量 類(lèi)似地，可定義將向量 變換為關(guān)于“與單位向量 正交的 維子空間”對(duì)稱(chēng)的向量 的鏡像變換。定義3設(shè) 為單位向量，稱(chēng)矩陣為Householder 矩陣（初等反射矩陣），對(duì)應(yīng)的變換 稱(chēng)為Householder 變換（初等反射變換）類(lèi)似地，可定義將向量 變換為定理 對(duì)任意 ，存在Householder 矩陣 ，使得 其中 為標(biāo)準(zhǔn)單位向量。即可以通過(guò)Householder

19、變換將向量反射到某個(gè)坐標(biāo)軸上。Householder變換能將任何非零向量變成與給定單位向量同方向的向量；定理 對(duì)任意 ，存在Househol兩類(lèi)矩陣的關(guān)系：Givens矩陣（變換）等于兩個(gè)初等反射矩陣（變換）的乘積。 即反射變換比旋轉(zhuǎn)變換更基本。兩類(lèi)矩陣的關(guān)系： ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。定義1 是復(fù)數(shù)域 上的線(xiàn)性空間。如果對(duì) 中任意兩個(gè)向量 都存在所謂 與 的內(nèi)積 ，滿(mǎn)足下面四個(gè)條件。稱(chēng)定義了內(nèi)積的線(xiàn)性空間 為復(fù)內(nèi)積空間，簡(jiǎn)稱(chēng)酉空間。補(bǔ)充 酉空間(Unitary Space) ，當(dāng)且僅當(dāng) 例 1 定義了標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積的 是一酉空間。這里，對(duì)任意兩個(gè)向量 及 ， 標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積為例 1 定義了標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積的 是一酉空間。這里，對(duì)任例 2 在線(xiàn)性空間 中，對(duì)任意定義復(fù)雙線(xiàn)性型（Bilinear Form）這里 是Hermite矩陣，即 則 是 的一個(gè)內(nèi)積。例 2 在線(xiàn)性空間 中，對(duì)任意二、酉空間的一些重要結(jié)論（1） （2）（3）（4）（5） ，當(dāng)且僅當(dāng) 線(xiàn)性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立；二、酉空間的一些重要結(jié)論（1） （4）（6） 兩個(gè)非零向量 的內(nèi)積 時(shí)，稱(chēng) 與 正交；（7） 任意一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都可以用Schmidt正交化方法正交化，并擴(kuò)充成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；（8