建模大賽作品策劃

1、建模大賽作品策劃 1 Introduction 埃博拉病毒（ EVD ）顯現(xiàn)于靈長動物身上的人畜共患傳染病；患者會在 2 天至 3 周內(nèi)顯現(xiàn)發(fā)燒、 頭痛及肌肉疼痛的狀況, 嘔吐、腹瀉及出疹等病征就會隨之而來；病情后會進一步惡化為肝和腎臟衰竭；到了此階段,病人或會顯現(xiàn)體內(nèi)、外出血的現(xiàn)象,并可能在病征顯現(xiàn)后的 6 至 16 天內(nèi)、因血容量過低而死亡；此病在 1976 年首次顯現(xiàn)于當時的蘇丹及扎伊爾,并常于非洲撒哈拉以南的地區(qū)造成間歇性爆發(fā)； 依據(jù)始終以來的疫情, 這種出血熱可造成高達 25-90%（平均約五成）的臨床致死率；至 2022 年,世界衛(wèi)生組織一共公布了 1,716 宗感染個案,共 24

2、 次爆發(fā)；最近且最嚴峻的一次流行,為源于幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞的西非疫癥；截至2022 年 2 月 3 日,是次爆發(fā)已有22,560 宗疑似個案被上報,共 9,019 宗死亡案例被證明；1.1 Background 埃博拉病毒病 （EVD ）以往被稱作埃博拉病毒性出血熱,可在人間引起嚴峻且往往致命疾??；病毒通過野生動物傳到人,并在人間通過人際間傳播擴散；埃博拉病毒病平均病死率約為50；在以往疫情中顯現(xiàn)的病死率從25到90不等；首次埃博拉病毒病疫情發(fā)生在中非靠近熱帶雨林的偏遠村莊,但最近在西非顯現(xiàn)的疫情涉及主要城鎮(zhèn)及農(nóng)村地區(qū)；社區(qū)參加對疫情的勝利掌握非常重要；疫情的勝利掌握有賴于將一系列干預

3、措施落到實處,即病例治理、監(jiān)測和接觸者追蹤、試驗室良好服務(wù)、安全掩埋和 社會動員；補液及癥狀治療等早期支持性醫(yī)護方法可改善生存率；目前尚沒有獲得許可 并證明可中和病毒的治療方法,但正在開發(fā)各種血液、免疫和藥物療法；目前在西非顯現(xiàn)的疫情是 1976 年首次發(fā)覺埃博拉病毒以來發(fā)生的最大且最 復雜埃博拉疫情；本次疫情顯現(xiàn)的病例和死亡數(shù)字超過了全部其它疫情的總和；疫情仍在國家之間擴散, 第一在幾內(nèi)亞發(fā)生, 隨后通過陸路邊界傳到塞拉利昂和利比里亞,又通過飛機（僅有1 名旅客）傳到尼日利亞,通過陸路（1 名游客）傳到塞內(nèi)加爾；幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞這些受疫情影響最重國家的衛(wèi)生體系非常薄 弱,最近才剛剛

4、從長期沖突和動蕩中走出,缺乏人力和基礎(chǔ)設(shè)施資源；1 1.2 DATA 用 MATLAB做一個三個國家的從開頭到現(xiàn)在的病情圖；CASE DEATH Fig.1 直至 2022 年 2 月 3 日,埃博拉病毒爆發(fā)規(guī)模最大的地區(qū)位于西非幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞； 全球埃博拉病毒病例 擴散正處于擴大趨勢；22560,埃博拉致死 9019,并且病毒Fig.2 Geographical distribution of new and total confirmed cases* 埃博拉病毒地理分布顯示： 幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞不同城市埃博拉病毒危機存在差異,爆發(fā)相對較高的城：GRANDGEDEH 、

5、MARYLAND ；本文使用的數(shù)據(jù)主要來源：BOKE、PITA、GBARPOLU 、聯(lián)合國世界衛(wèi)生組織官網(wǎng)（WHO）中國統(tǒng)計年鑒 模擬仿真結(jié)果2 2 模型的建立世界衛(wèi)生組織聲稱已經(jīng)找到新藥來阻擋埃博拉.病毒,本文的目的主要是建立一個可行的數(shù)學模型去模擬仿真埃博拉病毒實際傳播情形,并猜測用藥后的傳播速度,最終制定策略統(tǒng)籌支配藥物生產(chǎn)、藥物發(fā)放以及其他掌握措施；根除埃博拉病毒要求建立一個現(xiàn)實的、考慮以下因素：疾病的擴散 需要藥物的量 可行的輸送系統(tǒng) 輸送的位置 疫苗或藥物的生產(chǎn)速度 其他重要的因素合理的并且有用的模型, 該模型需要利用常微分方程來描述傳染病是傳染病動力學中成果最為豐富的一類,對于這

6、些模型當人口總數(shù)是常數(shù) 或不考慮誕生與死亡,或設(shè)誕生率與死亡率相等 對 討論比較簡潔,結(jié)果也比較完整；下面通過以下步驟逐步建立模型：STEP1：介紹經(jīng)典的病毒傳播動力學模型：SIR 模型 STEP2：改進 SIR 模型,建立更加真實的倉室模型 STEP3：擴展模型,引入藥物和疫苗治療 STEP4：考慮藥物和疫苗的發(fā)放成效,優(yōu)化模型2.1 SIR 模型1927年 Kermack 與 McKendrick 在討論流行于倫敦的黑死病時提出了的 SIR 倉室模型,并于 1932 年繼而建立了 SIS 模型；在對這些模型的討論基礎(chǔ)上提出 了傳染病動力學中的闡值理論；SIR 模型是傳染病模型中最經(jīng)典、最基

7、本的模型,為傳染病動力學的討論做 出了奠基性的奉獻；SIR 模型把傳染病流行范疇內(nèi)的人群分成：易染狀態(tài)（ denoted by S）：沒有被感染的人,但是對病毒沒有免疫作用,有可能被感染；感染狀態(tài)（ denoted by I）：已經(jīng)被感染的人,并且可以傳播給易感者；免疫狀態(tài)（ denoted by R）：被隔離或者易感者感染后被治愈并獲得了免疫 才能的人,或者死亡從整個結(jié)構(gòu)中消逝；2.1.1 假設(shè)3 SIR 模型為滿意傳播過程中的狀態(tài),需要作出如下假設(shè)：假設(shè)埃博拉病毒人群僅存在三個倉室；復原狀態(tài) R：處于這種狀態(tài)的個體被治愈后,獲得免疫才能的個體,自身不具有感染性,也不會再被感染；在埃博拉病毒

8、傳染的期限內(nèi)所討論的地區(qū)范疇,我們不考慮人的出生、死亡、遷入、遷出等種群動力因素；人口的總數(shù) 個常數(shù) N；全部的個體都是脆弱的,都有可能被感染；Nt 不變,始終保持一假如某個個體被感染這個個體將處于已感染狀態(tài)不會轉(zhuǎn)變；兩個個體在總體中所占的比例是 st 和 it；每個易感染個體每天接觸其它個體數(shù)量是常數(shù),為感染率；在埃博拉病毒傳染的期限內(nèi)所討論的地區(qū)范疇,我們不考慮人的出 生、死亡、遷入、遷出等種群動力因素；人口的總數(shù) Nt 不變,始終保持一個常數(shù) N；2.2.2 模型結(jié)構(gòu)Fig.3 經(jīng)典的 SIR 模型狀態(tài)流淌圖免疫狀態(tài)的人數(shù)：NdRN I t dtSIR 模型微分動力系統(tǒng)可表示如下：其中,

9、dS t S t I t dtdI t S t I t I t dtdR t dtI t 表示傳染強度, 指單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當時健康者人數(shù)的比例；表示復原系數(shù),指單位時間內(nèi)病愈免疫的人數(shù)與但是的病人人數(shù)4 成比例；2.2.3 SIR模型特點影響變成感染狀態(tài), 感染狀態(tài)受復原系數(shù)影響變成易感狀態(tài)受傳染強度免疫狀態(tài)；總?cè)藬?shù)為常數(shù)N；I（t）+S（t）+R（t）=1. I t 表示單位時間內(nèi)由感染狀態(tài)變?yōu)閺驮瓲顟B(tài)的人群數(shù)量,StIt辨識由易感狀態(tài)變?yōu)槊庖郀顟B(tài)的人群數(shù)量；SIR 模型簡潔的將傳染病流行范疇內(nèi)的人群分為 疾病的傳播；3 個狀態(tài), 有效反應人群間2.2 改進的 SIR 模型

10、 SEIHRDB模型住院者和被感染的尸體,在國家我在時間t 根除疫情；引入了掌握變量來反映當前各國政府對疫情所實行的各項掌握措施,主要包括以下措施：疫情良好掌握有賴于將一系列干預措施落到實處,即病例治理、 監(jiān)測和接觸者追蹤、試驗室良好服務(wù)、 安全掩埋及社會動員； 社區(qū)參加對疫情的勝利掌握十分重要；提高對埃博拉感染危急因素的熟悉,施是削減人間傳播的有效方法；以及實行個人可以實行的愛護性措削減因接觸受到感染的果蝠或者猴子 /猿以及食用此類動物的生肉而帶來的野生動物與人傳播風險；削減因直接或者親密接觸有埃博拉癥狀者而帶來的人際間傳播風險,特別是與其體液的接觸；疫情掌握措施包括準時安全掩埋死者,確定可

11、能與埃博拉感染者存有接觸的人員,對接觸者實施 21 天健康監(jiān)測,將健康人員與病人分開；本文假設(shè)目前防控全部國家都實行防控措施后,已得到有效掌握,模型不考國家間的人口流淌；人群類別 描述國家與國家之間的疫情傳播易染狀態(tài)（ denoted by S）沒有被感染的人, 但是對病毒沒有免疫作用,有可能被感染；感染初態(tài)（ denoted by E）醫(yī)院狀態(tài)（ denoted by H）此人感染了 EVD,但他們不能感染其他 人；該人住院,仍舊可以感染其他人,但有 概率較低；死亡狀態(tài)（ denoted by D）受感染者的尸體可以感染其他人,直到被掩埋；掩埋狀態(tài)（ denoted by B）人是由于 EV

12、D的死亡,其尸體被掩埋,仍舊視為具有傳染性；免疫狀態(tài)（ denoted by R）感染狀態(tài)（ denoted by I）被隔離或者易感者感染后被治愈并獲 得了免疫才能的人 已經(jīng)被感染的人, 但他們能感染其他人表* ：SEIHRDB 模型的人群分類SEIHRDB 模型把傳染病流行范疇內(nèi)的人群分成：2.2.1 補充假設(shè)假設(shè)埃博拉病毒人群僅存在七個倉室；假設(shè)攜帶埃博拉病毒人群分為感染初態(tài) 假設(shè)掩埋狀態(tài)仍可能傳播埃博拉病毒；假設(shè)忽視其他外界因素；2.2.2 模型結(jié)構(gòu)E、感染狀態(tài) I ；Fig.4 SEIHRDB模型狀態(tài)流淌圖 SEIHRDB模型微分動力系統(tǒng)可表示如下：6 dS t S t m I II

13、 t m H HH t S t m D DD t dtdE t dS t EE t dtdtH t dI t EE t II t dtdH t II t 1wHRHDdtdR t 1wHRH t dtdD t wHDH t DD t dtdB t DD t dt其中：NP t S t E t I t H t R t D t B t 表示在t 時刻在國家內(nèi)的人數(shù)（包括患有埃博拉,處于生存狀態(tài)和死亡狀態(tài)仍有已掩埋狀態(tài)）；表示國家內(nèi)的疾病死亡率,換言之,因疾病喪生的人口百分比I表示在國家內(nèi)在 I 狀態(tài)下一個人的實際疾病接觸率,即在應用掌握措施前一個人在 I 狀態(tài)下所接受的實際接觸；H表示一個人在 H

14、狀態(tài)下疾病的有效接觸率 ; D表示一個人在 D狀態(tài)下疾病的有效接觸率 ; E、I、D、HD、HR 表示一個人分別從階段 E, I, H, R or D 向階段 I, H, R, D or B 的轉(zhuǎn)變率；0, 表示在模擬掌握措施下每天的效率；m I、m H、m D 是函數(shù),分別表示是掌握措施的效率功能分別適用于非住院者、住院者和被感染的尸體, 在國家我在時間t 根除疫情；是一個關(guān)于 t 的一個函數(shù)；其關(guān)系為m t m H m D expmax ,0；2.2.3 模型特點 在 SIR 模型基礎(chǔ)上,增加四個倉室：感染初態(tài) 掩埋狀態(tài) B 構(gòu)成 SEIHRDB模型；E、醫(yī)院狀態(tài) H、死亡狀態(tài) D、易感狀

15、態(tài) S 在不同狀態(tài)下疾病的有效接觸率影響轉(zhuǎn)變成感染初態(tài) E；感染初7 態(tài) E 與感染狀態(tài) I 由于不同轉(zhuǎn)變率變成對應下一狀態(tài)； 醫(yī)院狀態(tài) H由于死亡轉(zhuǎn)變 成死亡狀態(tài) D或者存活轉(zhuǎn)變成免疫狀態(tài) R；持 此 之 外 , 非 住 院 者、 住 院 者 和 被 感 染 的尸 體 控 制 措 施 的 效 率 功 能m I、m H、m D對整個模型進行特別掌握；2.3 基于 SEIHRDB模型的人工疫苗掌握世界衛(wèi)生組織宣稱目前已有新藥物能阻擋埃博拉病毒,并且可以治愈一些處于非晚期疾病患者； 因此可行的模型可以幫忙WHO 猜測所需的醫(yī)療物資, 以及哪些干預措施可以遏制疫情；在 SEIHRDB 模型的基礎(chǔ)上,

16、加入疫苗與藥物可以有效改善埃博拉病毒當前情形；改進的人工疫苗掌握模型,是指在有藥物和疫苗后,疫苗可以使易感狀態(tài) S可以立刻轉(zhuǎn)化為免疫狀態(tài) R；最終期望易感狀態(tài) S 全部都變成免疫狀態(tài) R,這里的免疫狀態(tài) R 包含兩部分：一部分是治愈的,不會再感染；一部分是用了疫苗的；考慮到治療病毒的藥物和預防病毒的疫苗,并認為吃了這些藥物和注射疫苗的人具有免疫才能；所以在醫(yī)院狀態(tài)H 處轉(zhuǎn)變?yōu)樗劳鰻顟B(tài)D 的機率減小,轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖郀顟B(tài) R 的機率增大；2.3.1 補充假設(shè) 假設(shè)埃博拉病毒疫苗、藥物數(shù)量肯定時間生產(chǎn)率固定；假設(shè)不考慮各個國家之間的藥物、疫苗運輸方式；假設(shè)疫苗、藥物對病人均會一次性產(chǎn)生成效,同一個人不重

17、復使用；假設(shè)誕生率等于自然死亡率；2.3.2 模型結(jié)構(gòu)8 Fig.5 基于 SEIHRDB模型的人工疫苗掌握的狀態(tài)流淌圖基于 SEIHRDB模型的人工疫苗掌握微分動力系統(tǒng)可表示如下：dS t S t m t II t m H HH t S t m D DD t -aadtdE t dtS t m t II t m H HH t S t m D DD t EE t +dI t EE t II t bdtdH t II t 1w HRHDH t dtdR t 1wHRH t b adtdD wHDH t DD t dtdB t DD t dt其中, a、b 分別表示服用疫苗、藥物后的成效；2.3.

18、3 模型特點在 SEIHRDB模型中參數(shù)基礎(chǔ)上,引入藥物掌握系數(shù) 體結(jié)構(gòu)與 SEIHRDB模型相像；a,疫苗掌握系數(shù) b ；大疫苗加入到微分動力系統(tǒng), 易感狀態(tài)人群 S數(shù)量會明顯下降； 藥物增加到微 分動力系統(tǒng), 感染狀態(tài)人數(shù) I 數(shù)量會明顯下降； 對應的免疫狀態(tài) R人數(shù)會明顯上 升；具體的描述了埃博拉病毒在人群中的狀態(tài)以及各種影響因素；9 2.3.4 模型數(shù)值分析與仿真參數(shù)估量傳染率：存在上的 EVD有效接觸率I該運算幾個工程考慮各種SIR 模型；但是,這個速度值取決于疫情特點（國家,年等）；此外,我們的模型包括有關(guān)這些物品的新特點,它包括國家,人們住院和掌握措施之間的運動；因此,我們 考慮

19、三種特別組數(shù)據(jù) , 其數(shù)據(jù)說明 EVD疫情在幾內(nèi)亞,利比里亞和塞拉利昂的演 變；在幾內(nèi)亞, EVD流行的原產(chǎn)國,因此,我們符合這些數(shù)據(jù)給出的解決方案由 系統(tǒng)（1）；為此目的,系統(tǒng)（ 1）在 t = 0（對應于開頭于 12 月 6 日,2022年）,在國家 3 人我在幾內(nèi)亞, 1 人在狀態(tài) D和全部其他人是免費的疾??；該模型是用 最高溫度運行 =108天（相當于 2022 年 3 月 24 日作為最終日期）；在該模擬中,我們沒有考慮掌握措施；通過模擬結(jié)果,發(fā)覺 在塞拉利, 2022 年的主要掌握措施涂在I G的正確值為 0.2095（每天）；2022 年 7 月 27 日,當報告病例累計人數(shù)為

20、533 與 233 死亡；我們使用相同的擬合技術(shù)在幾內(nèi)亞的情形下,用系統(tǒng)（1）,無掌握措施,開頭在t=0 （對應于 2022年 7 月 6 日）85,37,33,10,145 及在狀態(tài) E,I ,H,D,R和 B,分別 117 人（考慮估量方法出現(xiàn)在 3.1.2 節(jié)）和全部其他人是無??；該系統(tǒng)與運行最大時間期限為 21 天（即截止日期為 2022年 7 月 27 日）；我們發(fā)覺 I SL為 0.3140 （每天）；在利比里亞, 2022 年之前,掌握措施 516 例,282 人死亡的應用程序進行觀察；系統(tǒng)（ 1）,無掌握措施,開頭在t = 0 （即,對應于七月6ST,2022）與38,17,1

21、5,第 9,在美國 E,I ,H,D,R和 B,分別為 116 和 75 人；此系統(tǒng)在最高溫度 = 29 日期運行；通過模擬結(jié)果,我們發(fā)覺IL為 0.5055 （每天）初始值設(shè)定HDI/ 26 day1,在任何時候任何地點H階段接觸率相同；Iday1, 在任何時候任何地點D階段接觸率相同；每天轉(zhuǎn)變率：E=1/11.4day1,I=1/5day ,HR=1/5day1,HD=1/4.2day1,D=1/2day .EI,H,D,B,R幾個過程傳染率三個國家都一樣；疾病死亡率： 病死率是表示肯定時期內(nèi), 患某病的全部病人或動物中因該10 病死亡者所占的比例,假定為 0.5 ；m 表示政府干涉行為,

22、 是關(guān)于 t 的一個函數(shù), 即從發(fā)覺疾病開頭, 政府就開始介入了,其關(guān)系為 m t m H m D exp max ,0；通過文獻查找得出 SL 0.011039 day 1 、G 0.001874 day 1 、L 0.042883 day 1 表： Inital conditions for the countries affected by EVD on November 9 th 2022County E 0 I 0 H 0 R 0 D 0 B 0 NGuinea 288 127 30 706 36 1106 2293 Liberia 520 288 133 3853 28 2808

23、7630 Sierra Leone 1298 569 467 3732 16 1153 7235 2.4 優(yōu)化用藥模型模型的求解相關(guān)參數(shù)說明已知埃博拉病毒傳播系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu),出數(shù)據(jù)運算系統(tǒng)模型參數(shù)的過程；查找相關(guān)參數(shù)特點； 用系統(tǒng)的輸入和輸傳染率：存在上的 EVD有效接觸率 I （i ）該運算幾個工程考慮各種 SIR模型（見 2,6 ）；但是,這個速度值取決于疫情特點（國家,年等）；此外,我們的模型包括有關(guān)這些物品的新特點,它包括國家, 人們住院和掌握措施之間的運動；因此,我們已經(jīng)運算我們自己的速度通過回來方法考慮三種特別組數(shù)據(jù) 有關(guān)與 EVD疫情在幾內(nèi)亞,利比里亞和塞拉利昂的演化；在幾內(nèi)亞,

24、EVD流行的原產(chǎn)國,因此,我們符合這些數(shù)據(jù)給出的解決方案由 系統(tǒng)（1）；為此目的,系統(tǒng)（ 1）在 t = 0（對應于開頭于 12 月 6 日,2022年）,在國家 3 人我在幾內(nèi)亞, 1 人在狀態(tài) D和全部其他人是免費的疾病；該模型是用 最高溫度運行 =108天（相當于 2022 年 3 月 24 日作為最終日期）；在該模擬中,我們沒有考慮掌握措施（即,對于任何（I ,J,t ）的 2 N N R密歇根（ I ,T）= mH的（ I ,T）= MTR（I ,J,T）= 1 ）；全部其它參數(shù)設(shè)置為引入的值以前；考慮一個特定的值 I 幾內(nèi)亞 2 R + ,在這個模擬我們運算的端該模型誤差 Err（

25、 I 幾內(nèi)亞）,定義為報告的累計數(shù)的肯定值在我們的模擬終止的情形下（參11 見 3.2.2 節(jié)）減去 NRC（幾內(nèi)亞,最高溫度）；我們最小化 ERR（ I （幾內(nèi)亞）通過考慮一個二分法算法從 I （幾內(nèi)亞） =0.117 起（天 1）并發(fā)覺 I 的正確 值（幾內(nèi)亞）（報道在 2 的值） =0.2095（天 -1 ）；在塞拉利昂,有 33 例,2022年的主要掌握措施涂在 2022 年 7 月 27 日,當 533 與 233 死亡；我們使用相同的擬合技術(shù)在幾內(nèi)亞的情形 報告病例累計人數(shù)為 下,用系統(tǒng)（ 1）,無掌握措施,開頭在 t=0（對應于 2022 年 7 月 6 日）85,37,33,1

26、0,145 及在狀態(tài) E,I ,H,D,R和 B,分別 117 人（考慮估量方法出現(xiàn)在 3.1.2 節(jié)）和全部其他人是無??； 該系統(tǒng)與運行 Tmax為 21 天（即截止日期為 2022 年 7 月 27 日）；我們發(fā)覺 I （SierraLeone ）=0.3140（天-1 ）；在利比里亞, 131 例,死亡 84 人報道 7 月 6 日, 2022 年八月 4ST,2022 年 1）,無掌握 之前,掌握措施 516 例, 282 人死亡的應用程序進行觀看；系統(tǒng)（措施,開頭在 t = 0 （即,對應于七月 6ST,2022）與 38,17,15,第 9,在美 國 E,I ,H,D,R和 B,分

27、別為 116 和 75 人（參見 3.1.2 節(jié)）；此系統(tǒng)在最高 溫度 = 29 日期運行；采納同樣的技術(shù)作為幾內(nèi)亞和塞拉利昂塞拉利昂,我們發(fā) 現(xiàn) I （利比里亞） =0.5055（天 -1 ）初始值其中：H I / 26day1,在 H階段三個國家的接觸率相同；D I day1, 在 D階段三個國家的基礎(chǔ)率相同；每天傳染率：1 1 1 1 E=1/11.4 day , I=1/5 day , HR=1/5 day , HD=1/4.2 day ,D=1/2 day .EI,H,D,B,R 1 幾個過程傳染率三個國家都一樣 . 疾病死亡率： 病死率是表示肯定時期內(nèi), 患某病的全部病人或動物中因該 病死亡者所占的比例；假定為 0.5. m 政府干涉行為, 是關(guān)于 t 的一個函數(shù), 即從發(fā)覺疾病開頭, 政府就開頭介 入了；時間好久, 12,7 表： Inital conditions for the countries affected by EVD on November 9 th 2022 N10057 975 34417 90 64400 53 County E0I i ,0H i ,0R i ,0D i ,0B i ,0Guinea 281230 7036 118 7 6 06