福建省莆田市重點(diǎn)中學(xué)2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能為（ ）ABCD2已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（ ）ABCD3已知雙曲線的一條漸近

2、線方程為，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD4已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，其中，下列敘述正確的是（ ）A若是等差數(shù)列，則一定有B若是等比數(shù)列，則一定有C若不是等差數(shù)列，則一定有 D若不是等比數(shù)列，則一定有5設(shè)，則“”是“”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件6關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值：先請(qǐng)全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值，那么可以估計(jì)的值約為（ ）ABCD7設(shè)，則，三數(shù)的大小關(guān)系是ABCD

3、8如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的年入境游客（單位：萬(wàn)人次）的變化情況，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A2014年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次最少B后4年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次呈逐漸增加趨勢(shì)C這6年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次的中位數(shù)大于13340萬(wàn)人次D前3年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次數(shù)據(jù)的方差9已知數(shù)列an滿足：an=2,n5a1A16B17C18D1910已知集合的所有三個(gè)元素的子集記為記為集合中的最大元素，則（）ABCD11已知函數(shù)，若總有恒成立.記的最小值為，則的最大值為（ ）A1BCD12設(shè)集合，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如圖，在中，已知，為邊的中

4、點(diǎn)若，垂足為，則的值為_(kāi) 14從分別寫(xiě)有1，2，3，4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為_(kāi).15已知，分別是橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且,，則橢圓的離心率為_(kāi)16已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為_(kāi).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）每年的寒冷天氣都會(huì)帶熱“御寒經(jīng)濟(jì)”，以交通業(yè)為例，當(dāng)天氣太冷時(shí)，不少人都會(huì)選擇利用手機(jī)上的打車(chē)軟件在網(wǎng)上預(yù)約出租車(chē)出行,出租車(chē)公司的訂單數(shù)就會(huì)增加.下表是某出租車(chē)公司從出租車(chē)的訂單數(shù)據(jù)中抽取的5天的日平均氣溫(單位：)與網(wǎng)上

5、預(yù)約出租車(chē)訂單數(shù)(單位：份)；日平均氣溫（）642網(wǎng)上預(yù)約訂單數(shù)100135150185210（1）經(jīng)數(shù)據(jù)分析，一天內(nèi)平均氣溫與該出租車(chē)公司網(wǎng)約訂單數(shù)（份）成線性相關(guān)關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)日平均氣溫為時(shí),該出租車(chē)公司的網(wǎng)約訂單數(shù)；（2）天氣預(yù)報(bào)未來(lái)5天有3天日平均氣溫不高于，若把這5天的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)當(dāng)成真實(shí)的數(shù)據(jù)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，則從這5天中任意選取2天，求恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的概率.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：18（12分）如圖，四棱錐的底面中，為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，平面平面，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值大小.19（

6、12分）已知數(shù)列和，前項(xiàng)和為，且，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和20（12分）如圖所示，已知平面，為等邊三角形，為邊上的中點(diǎn)，且.()求證：面；()求證：平面平面；()求該幾何體的體積21（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，證明：.22（10分）這次新冠肺炎疫情，是新中國(guó)成立以來(lái)在我國(guó)發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過(guò)很多磨難，但從來(lái)沒(méi)有被壓垮過(guò)，而是愈挫愈勇，不斷在磨難中成長(zhǎng)，從磨難中奮起.在這次疫情中，全國(guó)人民展現(xiàn)出既有責(zé)任擔(dān)當(dāng)之勇、又有科學(xué)防控之智.某校高三學(xué)生也展

7、開(kāi)了對(duì)這次疫情的研究，一名同學(xué)在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)，從2020年2月1日至2月7日期間，日期和全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量（單位：萬(wàn)人）之間的關(guān)系如下表：日期1234567全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量（萬(wàn)人）1.41.72.02.42.83.13.5（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說(shuō)明，是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？ （2）求出關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）.并預(yù)測(cè)2月10日全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù).參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題

8、給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【答案解析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除，再計(jì)算排除得到答案.【題目詳解】定義域?yàn)椋?，函數(shù)為偶函數(shù)，排除 ，排除 故選【答案點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，特殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.2、D【答案解析】由，可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而可知的最小值為，求解即可.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意得，得，解得，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則的最小值為.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.3、B【答案解析】由題意得出的值，進(jìn)而利用離心率公式

9、可求得該雙曲線的離心率.【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計(jì)算較為方便，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【答案解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】A：當(dāng)時(shí)，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說(shuō)法不正確；B：當(dāng)時(shí)，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說(shuō)法不正確；C：當(dāng)時(shí)，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí)，一定有，故本說(shuō)法正確； D：當(dāng) 時(shí)，若時(shí)，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說(shuō)法不正確.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定

10、義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【答案解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算分別從充分性和必要性去證明即可.【題目詳解】若， ，則，可得；若，可得，無(wú)法得到，所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【答案點(diǎn)睛】本題考查充要條件的定義，判斷充要條件的方法是： 若為真命題且為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件； 若為假命題且為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件； 若為真命題且為真命題，則命題p是命題q的充要條件； 若為假命題且為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件. 判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系.6、D【

11、答案解析】由試驗(yàn)結(jié)果知對(duì)01之間的均勻隨機(jī)數(shù) ，滿足，面積為1，再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)，滿足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)的值【題目詳解】解：根據(jù)題意知，名同學(xué)取對(duì)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)，即，對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形，其面積為，若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：【答案點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問(wèn)題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問(wèn)題. 線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐

12、標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.7、C【答案解析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式，將a，b，c與，比較即可.【題目詳解】由，所以有.選C.【答案點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)值，指數(shù)值和正弦值大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.8、D【答案解析】ABD可通過(guò)統(tǒng)計(jì)圖直接分析得出結(jié)論，C可通過(guò)計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)是否正確.【題目詳解】A由統(tǒng)計(jì)圖可知：2014年入境游客萬(wàn)人次最少，故正確；B由統(tǒng)計(jì)圖可知：后4年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次呈逐漸增加趨勢(shì)，故正確；C入境游客萬(wàn)人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù)，大于萬(wàn)次，故正確；D由統(tǒng)計(jì)圖可知：前年的入境游

13、客萬(wàn)人次相比于后年的波動(dòng)更大，所以對(duì)應(yīng)的方差更大，故錯(cuò)誤.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表信息的讀取以及對(duì)中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問(wèn)題的關(guān)鍵是能通過(guò)所給統(tǒng)計(jì)圖，分析出對(duì)應(yīng)的信息，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題的能力有一定要求.9、B【答案解析】由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【題目詳解】解：an即a1=an6時(shí)，a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7，ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k5)時(shí)，要使得a1則ak+1則k=17，故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，從而可簡(jiǎn)化與數(shù)列相關(guān)的方

14、程，本題屬于難題.10、B【答案解析】分類討論，分別求出最大元素為3,4,5,6的三個(gè)元素子集的個(gè)數(shù)，即可得解.【題目詳解】集合含有個(gè)元素的子集共有，所以在集合中：最大元素為的集合有個(gè)；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；所以故選：【答案點(diǎn)睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問(wèn)題，其本質(zhì)在于弄清計(jì)數(shù)原理，分類討論，分別求解.11、C【答案解析】根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【題目詳解】由題, 總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增, 無(wú)最大值.若,則當(dāng)時(shí),在上單調(diào)

15、遞減, 當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡(jiǎn)得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí), ,在遞減；當(dāng)時(shí), ,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.12、A【答案解析】解出集合，利用交集的定義可求得集合.【題目詳解】因?yàn)?，又，所?故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】，由余弦定理，得，得，所以，所以點(diǎn)睛：本題考查

16、平面向量的綜合應(yīng)用本題中存在垂直關(guān)系，所以在線性表示的過(guò)程中充分利用垂直關(guān)系，得到，所以本題轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)度，利用余弦定理和面積公式求解即可14、【答案解析】基本事件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種，由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率【題目詳解】從分別寫(xiě)有1，2，3，4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種，分別為：，則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)

17、注意辨別概率的模型15、【答案解析】設(shè),則,由知, ,作,垂足為C，則C為的中點(diǎn),在和中分別求出,進(jìn)而求出的關(guān)系式,即可求出橢圓的離心率.【題目詳解】如圖,設(shè),則,由橢圓定義知,因?yàn)?所以,作,垂足為C，則C為的中點(diǎn),在中,因?yàn)?所以，在中,由余弦定理可得,，即,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關(guān)系;利用橢圓的定義,結(jié)合焦點(diǎn)三角形和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.16、（或?qū)懗桑敬鸢附馕觥吭O(shè)與的夾角為，通過(guò)，可得，化簡(jiǎn)整理可求出，從而得到答案.【題目詳解】設(shè)與的夾角為可得，故，將代入可得得到，于是與的夾角為.故答案為：.【

18、答案點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），232；（2）【答案解析】(1) 根據(jù)公式代入求解；(2) 先列出基本事件空間，再列出要求的事件，最后求概率即可.【題目詳解】解：（1）由表格可求出代入公式求出，所以，所以當(dāng)時(shí)，.所以可預(yù)測(cè)日平均氣溫為時(shí)該出租車(chē)公司的網(wǎng)約訂單數(shù)約為232份.（2）記這5天中氣溫不高于的三天分別為，另外兩天分別記為，則在這5天中任意選取2天有，共10個(gè)基本事件，其中恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的有，共6個(gè)基本

19、事件，所以所求概率，即恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于20份的概率為.【答案點(diǎn)睛】考查線性回歸系數(shù)的求法以及古典概型求概率的方法，中檔題.18、（1）見(jiàn)解析；（2）【答案解析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接、，首先通過(guò)條件得出，加，可得，進(jìn)而可得平面，再加上平面，可得平面平面，則平面；（2）設(shè)中點(diǎn)為，連接、，可得平面，加上平面，則可如圖建立直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：設(shè)中點(diǎn)為，連接、，為等邊三角形，即， ，平面，平面，平面，為的中位線，平面，平面，平面，、為平面內(nèi)二相交直線，平面平面，平面DMN，平面；（2）設(shè)中點(diǎn)為，連接、為等邊三角形，是等

20、腰三角形，且頂角，、共線，平面平面.平面平面平面，交線為，平面平面.設(shè)，則在中，由余弦定理，得：又，為中點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系（如圖），則，.，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，平面的法向量為，二面角為銳角，二面角的余弦值大小為.【答案點(diǎn)睛】本題考查面面平行證明線面平行，考查向量法求二面角的大小，考查學(xué)生計(jì)算能力和空間想象能力，是中檔題.19、（1），；（2）.【答案解析】（1）令求出的值，然后由，得出，然后檢驗(yàn)是否符合在時(shí)的表達(dá)式，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題意列出和的方程組，解出這兩個(gè)量，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出；（2）求出數(shù)列的前項(xiàng)和，然后利用分組求和法可求出.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.也適合上式，所以，.設(shè)數(shù)列的公比為，則，由，兩式相除得，解得，；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用求，同時(shí)也考查了等比數(shù)列通項(xiàng)的計(jì)算，以及分組求和法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、（）見(jiàn)解析； （）見(jiàn)解析； （）.【答案解析】（I）取的中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得平面.（II）利用，證