高等數(shù)學(xué)(下)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、主要公式總結(jié)第八章空間解析幾何與向量代數(shù)二次曲面橢圓錐面： SKIPIF 1 0 橢球面： SKIPIF 1 0 旋轉(zhuǎn)橢球面： SKIPIF 1 0 單葉雙曲面： SKIPIF 1 0 雙葉雙曲面： SKIPIF 1 0 橢圓拋物面： SKIPIF 1 0 雙曲拋物面（馬鞍面）： SKIPIF 1 0 橢圓柱面： SKIPIF 1 0 雙曲柱面： SKIPIF 1 0 拋物柱面： SKIPIF 1 0 平面及其方程點(diǎn)法式方程： SKIPIF 1 0 法向量： SKIPIF 1 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 0 一般式方程： SKIPIF 1 0 截距式方程： SKIPIF 1 0 兩平面的夾角

2、： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 點(diǎn) SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距離： SKIPIF 1 0 空間直線及其方程一般式方程： SKIPIF 1 0 對(duì)稱式（點(diǎn)向式）方程： SKIPIF 1 0 方向向量： SKIPIF 1 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 0 兩直線的夾角： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0

3、 直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用連續(xù)： SKIPIF 1 0 偏導(dǎo)數(shù)： SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 方向?qū)?shù)： SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的方向角。梯度： SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 。全微分：設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 性質(zhì)函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏

4、導(dǎo)數(shù)連續(xù)充分條件必要條件定義12234微分法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t若SKIPIF 1 0 ，則SKIPIF 1 0 ，SKIPIF 1 0 應(yīng)用求函數(shù) SKIPIF 1 0 的極值解方程組 SKIPIF 1 0 求出所有駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，函數(shù)有極小值，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，函數(shù)有極大值；若 SKIPIF 1 0 ，函數(shù)沒(méi)有極值；若 SKIPIF 1 0 ，不定。幾何應(yīng)用曲線的切線與法平面曲線 SKIPI

5、F 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 上一點(diǎn) SKIPIF 1 0 （對(duì)應(yīng)參數(shù)為 SKIPIF 1 0 ）處的切線方程為： SKIPIF 1 0 法平面方程為： SKIPIF 1 0 曲面的切平面與法線曲面 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 上一點(diǎn) SKIPIF 1 0 處的切平面方程為： SKIPIF 1 0 法線方程為： SKIPIF 1 0 第十章重積分二重積分 ：幾何意義：曲頂柱體的體積定義： SKIPIF 1 0 計(jì)算：直角坐標(biāo) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 極坐標(biāo) SKIPIF 1 0 ， SKIP

6、IF 1 0 三重積分定義： SKIPIF 1 0 計(jì)算：直角坐標(biāo) SKIPIF 1 0 -“先一后二” SKIPIF 1 0 -“先二后一”柱面坐標(biāo) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 球面坐標(biāo) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 應(yīng)用曲面 SKIPIF 1 0 的面積： SKIPIF 1 0 第十一章曲線積分與曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分定義： SKIPIF 1 0 計(jì)算：設(shè) SKIPIF 1 0 在曲線弧 SKIPIF 1 0 上有定義且連續(xù)， SKIPIF 1 0 的參數(shù)方程為 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上具有一階連續(xù)

7、導(dǎo)數(shù)，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義：設(shè) L 為 SKIPIF 1 0 面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧，函數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 L 上有界，定義 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .向量形式： SKIPIF 1 0 計(jì)算：設(shè) SKIPIF 1 0 在有向光滑弧 SKIPIF 1 0 上有定義且連續(xù), SKIPIF 1 0 的參數(shù)方程為 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 兩類曲線積分之

8、間的關(guān)系：設(shè)平面有向曲線弧為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上點(diǎn) SKIPIF 1 0 處的切向量的方向角為： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 .格林公式格林公式：設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成，函數(shù) SKIPIF 1 0 在D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則有 SKIPIF 1 0 2、 SKIPIF 1 0 為一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 曲線積分 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF

9、1 0 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)對(duì)面積的曲面積分定義：設(shè) SKIPIF 1 0 為光滑曲面，函數(shù) SKIPIF 1 0 是定義在 SKIPIF 1 0 上的一個(gè)有界函數(shù)，定義 SKIPIF 1 0 計(jì)算：“一單二投三代入” SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義：設(shè) SKIPIF 1 0 為有向光滑曲面，函數(shù) SKIPIF 1 0 是定義在 SKIPIF 1 0 上的有界函數(shù)，定義 SKIPIF 1 0 同理， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 性質(zhì)：1） SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 計(jì)算：“一投二代三定號(hào)” S

10、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上連續(xù)，則 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 為上側(cè)取“+”， SKIPIF 1 0 為下側(cè)取“-”.兩類曲面積分之間的關(guān)系： SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 為有向曲面 SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 處的法向量的方向角。高斯公式高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域SKIPIF 1 0 由分片光滑的閉曲面SKIPIF 1 0 所圍成, SKIPIF 1 0 的方向取外側(cè), 函數(shù)SKIPIF

11、 1 0 在SKIPIF 1 0 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則有 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 通量與散度通量：向量場(chǎng) SKIPIF 1 0 通過(guò)曲面 SKIPIF 1 0 指定側(cè)的通量為： SKIPIF 1 0 散度： SKIPIF 1 0 斯托克斯公式斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面 S 的邊界 G是分段光滑曲線, S 的側(cè)與 G的正向符合右手法則, SKIPIF 1 0 在包含 在內(nèi)的一個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則有 SKIPIF 1 0 為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作: SKIPIF 1 0 環(huán)流量與旋度環(huán)流量：向量場(chǎng) SKIPIF 1 0 沿著有向閉曲線G的環(huán)流量為 S

12、KIPIF 1 0 旋度： SKIPIF 1 0 第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義：1）無(wú)窮級(jí)數(shù)： SKIPIF 1 0 部分和： SKIPIF 1 0 ，正項(xiàng)級(jí)數(shù)： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 交錯(cuò)級(jí)數(shù)： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 2）級(jí)數(shù)收斂：若 SKIPIF 1 0 存在，則稱級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 收斂，否則稱級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 發(fā)散3）條件收斂： SKIPIF 1 0 收斂，而 SKIPIF 1 0 發(fā)散；絕對(duì)收斂： SKIPIF 1 0 收斂。性質(zhì)：改變有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的收斂性；級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

13、 收斂，則 SKIPIF 1 0 收斂；級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 收斂，則任意加括號(hào)后仍然收斂；必要條件：級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 收斂 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .（注意：不是充分條件?。彅糠ㄕ?xiàng)級(jí)數(shù)： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 定義： SKIPIF 1 0 存在； SKIPIF 1 0 收斂 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 有界；比較審斂法： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 收斂，則 SKIPIF 1 0 收斂；若 SKIPIF 1 0 發(fā)散，則 SKI

14、PIF 1 0 發(fā)散.比較法的推論： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在正整數(shù) SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 收斂，則 SKIPIF 1 0 收斂；若存在正整數(shù) SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 發(fā)散，則 SKIPIF 1 0 發(fā)散. 比較法的極限形式： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 收斂，則 SKIPIF 1 0 收斂；若 SKIP

15、IF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 發(fā)散，則 SKIPIF 1 0 發(fā)散.比值法： SKIPIF 1 0 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè) SKIPIF 1 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 收斂；則當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 發(fā)散；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 可能收斂也可能發(fā)散.根值法： SKIPIF 1 0 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè) SKIPIF 1 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 收斂；則當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 發(fā)散；當(dāng) SK

16、IPIF 1 0 時(shí)，級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 可能收斂也可能發(fā)散.極限審斂法： SKIPIF 1 0 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，則級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 發(fā)散；若存在 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ，則級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 收斂.交錯(cuò)級(jí)數(shù)：萊布尼茨審斂法：交錯(cuò)級(jí)數(shù)： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 滿足： SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 收斂。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)： SKIPIF 1 0 絕對(duì)收斂，則 SKIPIF 1 0 收斂。常見(jiàn)典型級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)： SKIP

17、IF 1 0 ； p-級(jí)數(shù)： SKIPIF 1 0 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 ，收斂域，收斂半徑，和函數(shù)；冪級(jí)數(shù)： SKIPIF 1 0 收斂半徑的求法： SKIPIF 1 0 ，則收斂半徑 SKIPIF 1 0 泰勒級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 展開步驟：（直接展開法）求出 SKIPIF 1 0 ；求出 SKIPIF 1 0 ；寫出 SKIPIF 1 0 ；驗(yàn)證 SKIPIF 1 0 是否成立。間接展開法：（利用已知函數(shù)的展開式）1） SKIPIF 1 0 ；2） SKIPIF 1 0 ；3） SKIPIF 1 0 ；4） SKIPIF 1 0 ；5） SKIPIF 1 0 6） SKIPIF 1 0 7） SKIPIF 1 0 8） SKIPIF 1 0 傅里葉級(jí)數(shù)定義：